人教版五年级数学下册 长方体与正方体 讲义.docx
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人教版五年级数学下册长方体与正方体讲义
长方体和正方体
知识点一、长方体与正方体的认识
各位同学们，今天我们来学习长方体和正方体。
首先看一下下面几幅图，你能归纳出长方体和正方体的特征吗？
长方体：
橡皮书本纸箱
正方体：
粉笔盒魔方骰子（tóuzi）
长方体特征：
（1）长方体由（）个面围成，相对的面互相（）且形状大小（）。
通常这些面的形状都是（），特殊情况下可有（）个相对的面是正方形。
（2）长方体有（）个顶点。
（3）长方体两个面相交的边叫做这个长方体的棱，共有（）条棱。
相邻的三条棱互相（）。
相对的两条棱互相（）。
（4）相交于一个顶点的三条棱分别叫做这个长方体的长、宽、高。
底面中较长的一条棱是（），较短的一条棱是（），垂直于底面的棱是（）。
长方体有（）条长、（）条宽、（）条高。
正方体特征：
（1）正方体由（）个面围成，每个面的形状大小都（），且形状都是（），其中相对的两个面互相（）。
（2）正方体有（）个顶点。
（3）正方体两个面相交的边叫做这个正方体的棱，共（）条棱，且每条棱长都（）。
相邻的三条棱互相（）。
相对的两条棱互相（）。
（4）正方体可以视为长、宽、高都相等的（）。
因此正方体是特殊的（）。
（5）从某一点观察，能够呈现几何体整体形状的绘图叫做（），其中看见不见的边要用（）表示。
这里长方体和正方体的图都是直观图。
例1、一个长方体的棱长之和是36cm，相交于一个顶点的棱长和是（）cm。
例2、至少需要（）厘米长的铁丝，才能做一个底面周长是18厘米，高3厘米的长方体框架。
例3、小卖部要做一个长2.2米，宽0.4米,高0.8米的玻璃柜台各边都安上角铁，这个柜台需要多少米角铁？
课堂练习
1、一个正方体的棱长为A，棱长之和是（），当A=6厘米时，这个正方体的棱长总和是（）厘米。
2、一个长方体最多可以有（）个面是正方形，最多可以有（）条棱长度相等。
3、相交于长方体一个顶点的三条棱的长度分别叫做它的（）、（）和（）。
4、长方体有____个顶点，有___条棱，有___个面。
相对的面____________，相对的棱_______，相交于长方体5、长方体一个顶点的三条棱的长度分别叫做它的____、____、____。
6、我们在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体（ ）。
A、只有三个面 B、只能看到三个面 C、最多只能看到三个面
7、至少要用（）个完全一样的小正方体，才能拼成一个大正方体。
A、4B、8C、27
8、用一根长（ ）铁丝正好可以做一个长6厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体框架。
A．28厘米 B．126平方厘米 C．56厘米 D．90立方厘米
9、将下面这个展开图围成正方体后，与6号面相对的面是（）号面。
①1②2③3
10、下面的图形中，能按虚线折成正方体的是（）。
A、
B、
C、
D、
11、用棱长1cm的小正方体拼成如下的大正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。
①、②、③中，三面、两面、一面涂色以及没有涂色的小正方体各有多少块？
按这样的规律摆下去，第④、⑤个正方体的结果会是怎样的呢？
序号
三面涂色
两面涂色
一面涂色
没有涂色
1
8
0
0
0
2
③
④
⑤
知识点二、长方体、正方体的表面积和体积
认识了长方体和正方体的基本概念，我们来学习一下它们的表面积和体积。
那么什么是表面积？
什么是体积呢？
1、物体外部各个面的面积之和叫做物体的（）。
2、表面积和面积的单位是一样的，常用的有：
（）、（）、（），分别写作（）、（）、（）。
先来看长方体的表面积，我们把它展开来，发现它有（）个面，因此它的表面积就是这些面的面积之（）。
长方体表面积=___________________________，公式表示：
_________________________
再来看正方体的表面积，我们依然把它展开来，发现它有6个形状、大小都（）面，它的表面积也是这些面的面积之（）。
正方体表面积=___________________________，公式表示：
_________________________
接下来我们讲讲正方体体积该怎么算，但在这之前，我们先了解一下体积的概念，以及体积单位。
3、物体所占空间的大小叫做物体的（）。
4、常用体积单位有：
（）、（）、（），分别可以写作（）、（）、（）。
规定：
（1）棱长为1厘米的正方体体积是1立方厘米。
（2）棱长为1分米的正方体体积是1立方分米。
（3）棱长为1米的正方体体积是1立方米。
例1、根据生活中物体的体积连线：
1立方厘米
1立方分米
1立方米
例2、在括号里填上适当的单位。
（1）一个牙膏盒的体积约是180（）。
（2）明卧室的空间约是36（）。
（3）一碗水大约是600（）。
（4）一瓶鲜橙汁约有2.5（）。
（5）制作一只文具盒约用铁皮2（）。
例3、在括号里填上适当的单位名称。
（1）电视机的体积约50（）
（2）指甲盖的面积约1（）
（3）一瓶色拉油约4.2（）
（4）一个铅笔盒的体积大约是400（ ）
（5）一颗糖的体积约2（）
（6）一个苹果重50（）
例4、单位换算：
①1m=（）dm，1dm=（）cm。
（进率是____）
②1m2=（）dm2，1dm2=（）cm2。
（进率是____）
③1m3=（）dm3，1dm3=（）cm3。
（进率是____）
5、大单位转化为小单位，要（）进率。
小单位转化为大单位，要（）进率。
例5、单位换算：
（1）（）
=6200
（2）0.48
=（）
（3）（）
=350
（4）45.3
=（）
（5）0.017
=（）
（6）1800
=（）
（7）0.0785
=（）
（8）58200
=（）
学会了体积单位的概念，以及体积单位的换算，那对于求长方体、正方体的体积有什么用呢？
来，我们来看看。
我们用12个棱长为1cm的小正方体摆出不同的长方体，记录如下表，你发现了什么规律了吗？
长（cm）
宽（cm）
高（cm）
体积（
）
第一个长方体
4
3
1
12
第二个长方体
3
2
2
12
第三个长方体
12
1
1
12
第四个长方体
6
2
1
12
长方体体积=____________________，公式表示：
___________
由于长×宽就是长方体的底面积，因此长方体体积=____________________，公式表示：
___________
因为正方体是特殊的长方体，所以正方体体积=___________________，公式表示：
___________
例6、这个长方体的表面积和体积分别是多少？
例7、一个正方体的棱长和是12分米，它的体积是（）立方分米。
例8、一个长方体水箱（无盖）的长是6分米，宽是5分米，高是4分米，给它的四周安上角铁一共需要（）分米。
给它表面装上铁皮一共需要（）平方分米。
例9、一个长方体的长是8厘米，宽是长的一半，高2厘米，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。
例10、一个长方体方钢，横截面积是12平方厘米，长2分米，体积是（）立方厘米。
例11、一个长方体的长、宽、高分别是a米、b米、h米。
如果高增加2米，体积比原来增加（）立方米。
例12、如果把长方体的长、宽、高都扩大3倍，那么它的体积扩大（）倍。
A、3 B、6C、9 D、27
例13、一根长方体木料，长1.5米，宽和厚都是2分米，把它锯成4段，表面积最少增加（）平方分米．
A、8 B、16 C、24 D、32
例14、一个无盖的水桶，长a厘米，宽b厘米，高h厘米，做这个水桶用料（）平方厘米。
A、abhB、abh+2abC、ab+2（bh+ah）D、2（bh+ah）
例15、一个长方体的底是面积为3平方米的正方形，它的侧面展开图正好是一个正方形，这个长方体的侧面积是（）平方米。
A、18B、48C、54D、64
例16、一个长方体正好可以切成两个棱长是3厘米的正方体，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。
A、108 B、54 C、90 D、99
例17、一个长方体游泳池，长50米，宽40米，深1.8米，四壁用每块边长0.5米的大理石砌成，需要大理石多少块?
例18、“十一”期间，学校计划将行知楼中的40间教室的屋顶和四壁粉刷一新。
经测量每间教室的长都是8米，宽6米，高3.5米，黑板和门窗共14平方米。
如果每平方米用涂料0.8千克，涂料每千克15元，每平方米还要付给粉刷工人工资0.5元，请帮学校测算一下，这次粉刷教室需花多少元钱？
总结：
长方体和正方体的表面积公式：
表面积公式
表面积字母表示
长方体
正方体
温馨提示：
计算表面积的时候，要注意物体是否有6个面。
例如游泳池、鱼缸等物体并不是完整长方体，它们只有（）个面，我们算出长方体的表面积后，还要减去那1个缺少的面。
又例如烟囱、水管只有（）个面，我们算出长方体的表面积后，还要减去那2个缺少的面。
长方体和正方体的体积公式：
体积公式
表面积字母表示
长方体
正方体
6、有些题目涉及到不规则图形的体积我们无法套公式解决，那么就可以通过（）法求出。
（1）把物体浸没于一个装满水的箱子中，排出了一部分水，则这个物体的体积就等于（）。
（2）把物体浸没于一个装了水的箱子中，水升高了但没有排出，则这个物体的体积就等于（）。
（3）把物体浸没于一个装了水的箱子中，水升高了而且排出了一部分水，则这个物体的体积就等于
（）
例19、有一个无盖金鱼缸，长4分米，宽3分米，水深2分米，把一个小块假山石头浸入水中后，水面上升了0.8分米,这块假山石的体积是多少立方分米。
课堂练习
1、一个正方体的棱长是8分米，它的棱长总和是（）分米，表面积是（）平方分米，体积是（）立方分米。
2、乐乐家有一个长8分米、宽5分米、高6分米的长方体金鱼缸，正面的玻璃不小心被打碎了，修理时配上的玻璃面积是（）平方分米。
3、一个长方体的长是24cm，宽、高都是5cm。
这个长方体有（）个面是正方形，每个面的面积是（）
；有（）个面是长方形，每个面的面积是（）cm²。
4、一个长方形纸盒的表面积是24dm²，这个纸盒的底面积是（），体积是（）。
5、一个从里面量棱长是5dm的正方体水箱中装有半箱水。
把一块石头完全浸入水中，水面上升了4cm，这块石头的体积是（）dm³。
6、将3个棱长是8cm的正方体拼成一个长方体，表面积减少了（），棱长减少了（）。
7、把一个长14cm、宽6cm、高4.5cm的长方体锯成两个相同的长方体后，表面积最多增加（），最少增加（）。
8、把一个棱长1dm的正方体木块切成若干个体积为1cm³的小正方体，再把这些小正方体排成一行，一共长（）m。
9、一个长方体的长、宽、高分别是7cm、6cm和5cm，它的棱长总和是（）cm。
做这样一个长方体盒子，需要（）cm2材料。
10、一个长方体的金鱼缸，长是8dm，宽是5dm，高是6dm，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是________dm2。
11、一块长25cm，宽12cm的，厚8cm的砖，所占的空间是________cm3，占地面积最大是_________cm2。
12、正方体的棱长扩大3倍，表面积扩大_____倍，体积扩大_____倍。
13、一个长方体平均分成两个正方体（右图），正方体的棱长是4m，则这个长方体的表面积是_____m2，体积是_____m3。
14、填空：
图形
长（cm）
宽（cm）
高（cm）
体积（cm3）
底面积（cm2）
长方体
12
5
120
8
6
480
20
3
300
正方体
36
15、一个长方体水池，长20米，宽10米，深2米，这个水池占地（）平方米。
A．200 B．400 C．520
16、一个长6分米，宽4分米，高5分米的长方体纸盒，最多能放（）个棱长为2分米的正方体木块。
A、14B、12C、15
17、一个体积为40立方分米的长方体木块，从顶点挖掉一个棱长为1分米的小正体后，（）。
A、表面积变小，体积变小
B、表面积不变，体积变小
C、表面积变小，体积不变
18、一个长方体的长、宽、高分别扩大到原来的3倍，它的表面积扩大到原来的（）倍。
①3②9③27
19、一个从里面量长6dm、宽4dm、高5dm的长方体木箱，最多能放进（）个棱长为2dm的正方体木块。
①15②14③12
20、下面的两个长方形分别是一个长方体的前面和左面。
请画出这个长方体上面的形状，并标出各边的长。
21、为了迎接“国庆节”的到来，某镇政府准备用LED灯带装饰一幢长方体形状的办公大楼（如下图），如果只装饰该办公大楼除地面外的8条棱，至少需要多长的LED灯带？
22、南湖小学要修建一个长100m、宽80m的长方形操场，先铺8cm厚的三合土，再铺5cm厚的煤渣。
需要三合土和煤渣各多少方？
23、做一个长方形状的鱼缸，长10分米，宽4分米，高4分米，需要玻璃多少平方分米？
24、用72厘米长的铁丝围成一个有两个面是正方形的长方体框架，每个正方形面的面积是25平方厘米，这个长方体的体积是多少？
25、一间教室长为9m、宽为6m、高为3m。
现在要粉刷它的四壁和顶棚。
如果门窗及黑板共24平方米，每平方米要用石灰粉0.6kg，共需石灰粉多少千克？
26、一个长方体，如果长减少2厘米就成了一个正方体，而且表面积要减少56平方厘米。
原来这个长方体的体积是多少立方厘米？
27、把一块棱长是0.5米的正方体钢坯，锻成高2分米、宽4分米的长方体钢材，锻成的长方体钢材有多少长？
28、把一个底面是正方形，长为30厘米的长方体截成三段，表面积增加了196平方厘米，原来长方体的表面积是多少？
29、做一个长方体鱼缸（无盖），长8分米，宽0.4米，高6分米，至少需要玻璃多少平方分米？
如果每平方分米玻璃4元钱，至少需要多少钱买玻璃？
30、某长方体仓库从里面量长40米，宽25米，高5米。
仓库门窗的总面积为45平方米。
（1）这个仓库的占地面积是多少？
（2）这个仓库最多能装多少货物？
（3）如果要粉刷仓库的顶部和四周墙壁，每平方米用涂料0.8升，那么需要多少升涂料？
知识点三、容积
在日常生活中我们经常要拿容器来装东西，例如我们喝水时要用杯子来装水，加油站要把汽油装在罐子里。
那么如果要描述：
物体内部所能容纳其它物体的大小，就要引入（）的概念。
1、计量容积也可以用体积单位。
但如果容纳的物体是水、油等液体，则常用的容积单位是（）和（），分别简写为（）和（）。
例1、单位换算：
1L=（）dm3，1mL=（）cm3，1L=（）mL。
例2、一瓶矿泉水的容积大约是500（），也即0.5（）。
例3、单位换算：
（1）7.8cm³＝（）mL
（2）7800cm²＝（）dm²（3）400mL＝（）L
（4）890dm³＝（）m³（5）4m³70dm³＝（）m³（6）7.35L＝（）dm³＝（）cm³
（7）873ml=__________L（8）790dm3=__________m3（9）45dm3=______L
（10）1.2m3=__________cm3（11）354ml＝_________cm3（12）1500cm3=_____dm3
（13）4.07m3=___m3___dm3（14）90020cm3=____L____ml
2、容积和体积的计算方法是（）的。
例如计算长方体容器的容积时，也可以套公式“长×宽×高”解决。
但公式中的长、宽、高应该在物体的（）部测量。
例4、一个装满水的长方体金鱼缸，如果考虑玻璃壁的厚度，那么它外壁的长、宽、高分别是90cm、65cm、45cm，内壁的长、宽、高分别是80cm、60cm、40cm。
求它的容积列式为______，求它的体积列式为______。
A、90×65×45=263250（
）
B、80×60×40=192000（
）
3、体积和容积有以下不同点：
①含义不同。
体积强调“所占空间的大小”，容积强调“容纳物体的大小”。
有体积的物体，（）有容积。
②测量方法不同。
求体积要从物体（）部来进行测量的，但求容积要从物体（）部来进行测量。
如果一个物体既有体积，又有容积，那么它的体积一定（）容积。
例、一只装满水的玻璃杯，这些水所占空间的大小是300mL，那么我们可以说这只玻璃杯的容积就是300mL。
而这只玻璃杯的体积，就是300mL再加上玻璃材料所占空间的大小。
例5、一个水箱的底面积为7600cm²，深为5dm。
这个水箱的容积是多少毫升？
合多少升？
例6、把30L水装入容积是250ml的水瓶里，能装（）瓶。
例7、挖一个长和宽都是5m的长方体水池，要使水池的容积是50m3，应该挖（）米深。
例8、求一个长方体油箱可以装多少油，是求这个油箱的（）。
A、表面积B、体积C、容积
例9、加工一个长方体油箱要用多少铁皮，是求这个油箱的（）。
A、表面积B、体积C、容积
课堂练习
1、一个油箱从里面量，长4dm，宽3dm，深2dm，如果每升柴油重0.82kg，这个油箱能装柴油多少kg？
2、在一个底面积是20dm²、水深35cm的长方体容器里放入一块不规则的大理石，水面上升到50cm（水未溢出）。
这块大理石的体积是多少？
3、一个底面长和宽都是2分米的长方体玻璃容器，里面装有5.6升水，再将一个苹果浸没在水中，这时量得容器内水深1.5分米，这个苹果的体积是多少立方分米？
4、判断题。
（1）求一个容器的容积，就是求这个容器的体积。
（）
（2）一般来说，一个物体的体积比它的容积大。
（）
（3）棱长是6厘米的正方体，表面积与体积相等。
（ ）
（4）一个长方体横着放、竖着放，它所占的空间一样大。
（）
（5）棱长6m的正方体的表面积和体积相等。
（）
（6）两个表面积相等的正方体，它们的体积一定相等。
（）
（7）一瓶白酒有500升。
（）
（8）物体的体积越大，容积就越大。
（）
（9）把一块长方体橡皮泥捏成正方体后，它的体积和表面积都不变。
（）
（10）长方体的各个面中可能有正方形，正方体的各个面中可能有长方形。
（）
（11）体积相等的两个正方体，它们的表面积一定相等。
（）
（12）在一个正方体的一角切下一个小正方体，正方体的体积和表面积都变小。
（）
（13）把两个一样的正方体拼成一个长方体后，体积和表面积都不变。
（ ）
（14）把一块正方体橡皮泥捏成一个长方体后，虽然它的形状变了，但是它所占有的空间大小不变。
（）
（15）正方体和长方体的体积都可以用底面积乘高来进行计算。
（）
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