它的自相关函数为
（1-7）
其中：
τ为时延，
（1-8）
白噪声的自相关函数具有函数的特点，说明它具有尖锐的自相关特性。
但是对于白噪声信号的产生、加工和复制，迄今为止仍存在着许多技术问题和困难。
然而人们已经找到一些易于产生又便于加工和控制的伪噪声码序列，它们的统计特性逼近于高斯白噪声的统计特性。
假设某种伪噪声序列的周期（长度）为N，且码元都是二元域上的元素。
一个周期（长度）为N，码元为的伪噪声二元序列的归一化自相关函数为
（1-9）
式中，1，2，3，…。
当伪噪声序列周期（长度）N取足够长或N→∞时，式（1-9）可简化为
（1-10）
比较式（1-7）和式（1-10），看出它们比较接近，当序列周期（长度）足够长时，式（1-10）就逼近式（1-7）。
所以伪噪声序列具有和白噪声相类似的统计特性，也就是说它逼近于高斯信道要求的最佳信号形式。
因此用伪噪声码扩展待传输基带信号频谱的扩频通信系统，优于常规通信体制[3]。
2.1.2数学模型
我们以二元直接序列扩展频谱通信系统为例，来讨论扩展频谱通信系统的数学模型。
假设系统的调制方式为PSK，图1-1（a）就是在这种情况下的发射机系统数学模型。
发射机输出PSK信号的表达式为
（2-1）
式中：
为载波的中心频率；
A为载波的振幅；
为载波的初始相位；
为二进制序列所控制的载波相位。
图2-1扩频通信系统模型
以上建立的DS-SS数学模型，是扩展频谱通信系统在理论上的抽象和概括，对扩频通信系统的本质作了描述。
虽然这种描述是在若干假设的情况下，忽略了许多次要的因素进行的，但它反映了扩频通信系统最本质的特性。
因此这个模型是很有用的，在以后讨论扩频通信系统的抗干扰性能时，我们要经常用到这个模型。
以下图1-2给出了频率跳变扩展频谱通信系统的模型[4]。
设跳频频率合成器能提供的频率数为N，则发射机输出的信号为
（2-2）
式中：
为跳频频率合成器输出信号的中心频率；
为跳频频率合成器跳变频率的最小间隔；
为每个频率信号的初相位，n=，1，2，3，…，。
图2-2跳频通信系统模型
跳频信号经过信道传输后，受到各种干扰信号的污染，假如不考虑传播损耗，则接收机收到的信号为
（2-3）
式中：
为信道传播时延；
代表各种干扰；
为高斯噪声。
假设接收机已与发射机同步，接收信号经射频滤波器滤波后，与本地跳频频率合成器输出的信号相乘，经混频器混频后，然后经中频滤波器滤波，中频滤波器的输出信号为
（2-4）
式中：
为接收机的本振频率，与相差一个中频频率。
当收发两端以相同的跳变规律跳频时，式（1-14）中的第一项中的和频分量不能通过中频滤波器，被中频滤波器滤除；差频分量在理想同步的情况下（，），通过中频滤波器的信号为
（2-5）
式中：
，为接收机的中频频率。
从式（1-15）可看出，跳频信号已经被解跳。
中频信号经解调器解调后，即可恢复出发射端传来的信息。
式（1-14）中，第二项是接收机所受的干扰情况，其中一部分是其它无线电设备对接收机的干扰，这部分干扰通常可认为是窄带干扰；另一部分是同一系统中其它发射机输出跳频信号对本接收机造成的干扰，即多址干扰，这部分干扰是宽带干扰。
窄带干扰信号在通过混频器后，只有其载波频率和跳频系统的载波频率相差不多的那部分才能通过中频滤波器，而其它大部分窄带干扰信号和接收机的本振信号混频后，落在了中频滤波器的通频带之外，被中频滤波器滤除了。
同一系统中其它发射机输出的跳频信号可以写作
（2-6）
式中，k为同一系统中发射机的个数，即用户数；
是第i个发射机的载波频率。
第i个发射机输出的跳频信号只有在载波频率时，和接收机的本振信号混频后，才落在中频滤波器的通频带之内，对接收机造成干扰。
因为和n是时间t的函数，在进行系统设计时，总可以选择，或在大部分时间内，在很小的一部分时间内。
经过中频滤波器后，大部分其它发射机输出的跳频信号被滤除，只有很小一部分落入中频滤波器的通带内造成干扰。
设为解跳后带来的窄带高斯噪声，那么
（2-7）
其中表示窄带干扰通过中频滤波器的那部分干扰信号。
在不考虑干扰和噪声的情况下，式（1-17）可表示为
（2-8）
从（1-18）式可知，只要收信端的中频滤波器能无失真的传输受信息调制的已调信号，经解调可恢复除信息信号。
2.2扩频通信系统的主要特点
扩频通信技术是一种具有优异抗干扰性能的新技术，它的主要优点是：
（1）抗干扰性能好。
（2）选择性寻址能力强，可以用码分多址的方式来组成多址通信网。
（3）保密性能好，信息隐蔽以防窃取。
（4）频谱密度低，对其它通信系统的干扰小。
（5）高分辨率测距。
2.3扩频通信系统分类
（1）直接序列（DS）扩频系统
（2）跳频（FH）扩频系统
（3）线性调频（Chirp）系统
（4）跳时（TH）扩频系统
（5）混合系统
目前实用的扩频通信中，以直接序列扩频系统应用的比较多。
而CDMA通信系统就是基于扩频技术的无线通信系统。
2.4伪随机序列在扩频通信中的应用
CDMA通信系统中的扩频码采用三层结构。
底层是信道码，通常采用正交码，CDMA2000标准给出的是码长为64的Walsh正交码，3GPP标准给出的是正交可变扩频因子码序列（OrthogonalVariableSpreadingFactorCode，简称OVSF码），用来区分不同的CDMA信道。
第二层是基站码，是由伪随机序列充当的，不同的基站使用不同的扩频码。
在CDMA2000系统中，使用的是码长为215-1的M序列，在WCDMA系统中采用的是码长为218-1的Gold码。
第三层是移动用户码，在CDMA2000系统中，使用的是码长为242-1的m序列，在WCDMA系统中采用的是码长为225-1的Gold码。
一个用户一个，各不相同，它是由相当长的伪随机序列加上移动用户自身代码复合而成的。
第二、三层的码统称扰码。
在这三层扩频码中，除第一层的信道编码外另两层扩频码都由伪随机序列来实现的。
3.m序列
3.1m序列的定义
二元m序列是一种伪随机序列，有优良的自相关函数，是狭义伪随机序列。
m序列易于产生和复制，在扩展频谱技术中得到广泛应用。
在DS系统中用于扩展基带信号，在FH系统中用来控制FH的频率合成器，组成跳频图案。
r级非退化的线性移位寄存器的组成示意图参见图2-1，其反馈逻辑可用二元域上的r次多项式来表示
（2-1）
式（2-1）称为线性移位寄存器的特征多项式。
其中表示移位寄存器的反馈连线，，表明第i级移位寄存器和反馈网络的连线存在；否则，表明连线不存在。
时，r级线性移位寄存器为动态的；时，r级线性移位寄存器为静态的。
时，r级线性移位寄存器为非退化的；时，r级线性移位寄存器为退化的，此时线性移位寄存器已退化为r-1级的。
以（2-1）式为特征多项式的r级线性反馈移位寄存器所产生的序列，其周期。
假设以GF
（2）上r次多项式（2-1）为特征多项式的r级线性移位寄存器所产生的非零序列的周期为，我们称序列是r级最大周期（最长）线性移位寄存器序列，简称m序列。
图3-1r级线性移位寄存器
若由r次特征多项式为r级线性移位寄存器所产生的序列是m序列，则称为r次本原多项式。
为一个由（2-1）式为特征多项式的r级线性移位寄存器产生的序列是否为m序列，与特征多项式有密切关系。
可以证明，产生m序列的特征多项式是不可约多项式，且是本原多项式。
但不可约多项式所产生的序列并不一定是m序列。
3.2m序列的原理
扰码的目的是使短周期输入序列变为长周期的信道序列。
从原则上看，就可以用将一个长周期序列叠加在输入序列上的方法来实现，并且叠加序列的周期越长越好。
从理论上说，一个真正的随机（二进制）序列的“周期”是无限长的，但是，采用这种序列时在接收端将无法产生相同的序列与之同步。
所以，人们就不得不企图用简单电路来产生尽量长的序列。
同时随机噪声在通信技术中，首先是作为有损通信质量的因素受到人们重视的。
信道中存在的随机噪声会使模拟信号产生失真，或使数字信号解调后出现误码；同时，它还是限制信道容量的一个重要因素。
因此，最早人们是企图设计消除或减小通信系统的随机噪声，但是，有时人们也希望获得随机噪声。
例如，在实验室中对通信设备或系统进行测试时，有时要故意加入一定的随机噪声，这时则需要产生它。
伪随机噪声具有类是与随机噪声的一些统计特性，同时又便于重复产生和处理。
由于它具有随机噪声的优点，又避免了它的缺点，因此获得了日益广泛的实际应用。
目前广泛应用的伪随机噪声都是由数字电路产生的周期序列（即滤波等处理后）得到的。
今后我们将这种周期序列称为伪随机序列。
m序列是最长线性反馈移存器序列的简称，它是由带线性反馈的移存器产生的周期最长的一种序列。
图2-2中示出了n级移位寄存器，其中有若干级经模2加法器反馈到第1级。
不难看出，在任何一个时刻去观察移位寄存器的状态，必然是个状态之一，其中每一状态代表一个n位的二进制数字；但是，必须把全0排斥在外，因为如果一个进入全0，不论反馈线多少或在哪些级，这种状态就不会再改变。
所以，寄存器的状态可以是非全0的状态之一。
这个电路的输出序列是从寄存器移出的，尽管移位寄存器的状态每一移位节拍改变一次，但无疑地是循环的。
如果反馈线所分布的级次是恰当的，那么，移位寄存器的状态必然各态历经后才会循环。
这里所谓“各态历经”就是所有个状态都经过了。
由此可见，应用n级移位寄存器所产生的序列的周期最长是。
同时由于这种序列虽然是周期的，但当n足够大时周期可以很长，在一个周期内0和1的排列有很多不同方式，对每一位来说是0还是1，看来好像是随机的，所以又称为伪随机码；又因为它的某一些性质和随机噪声很相似，所以又称为伪噪声码（PN码）。
图3-2最长线性移位寄存序列的产生
要用n级移位寄存器来产生m序列，关键在于选择哪几级移位寄存器作为反馈，这里扼要陈述选择的方法，但不予证明。
将移位寄存器用一个n阶的多项式表示，这个多项式的0次幂系数或常数为1，其k次幂系数为1时代表第k级移位寄存器有反馈线；否则无反馈线。
注意这里的系数只能取0或1，x本生的取值并无实际意义，也不需要去计算x的值。
称为特征多项式。
例如特征多项式对应于图2-3所示的电路。
理论分析证明：
当特征多项式是本原多项式时，与它对应的移位寄存器电路就能产生m序列，如果加、减法采用模2运算，那么的倒量就代表所产生的m序列，这个序列各位的取值按自低至高的幂次的系数。
所谓“本原多项式”，即必须满足以下条件：
（1）为既约的，即不能被1或它本身以外的其他多项式除尽；
（2）当时，则f（x）能除尽；
（3）当时，f（x）不能除尽；
因此，只要找到了本原多项式，就能由它构成m序列产生器。
特征多项式与输出序列的周期有密切关系.当F（x）满足下列三个条件时，就一定能产生m序列：
（1）F（x）是不可约的，即不能再分解多项式；
（2）F（x）可整除,这里;
（3）F（x）不能整除，这里q满足上述条件的多项式称为本原多项式.
寻找本原多项式是一件繁琐的工作，计算的到的结果已列表。
表3-1本原多项式
n
本原多项式的八进制系数表达式
代数式
2
7
3
13
4
23
5
45
6
103
7
211
8
435
9
1021
10
2011
11
4005
12
10123
表3-1给出其中部分结果，每个n只给出一个本原多项式为了使序列发生器尽量简单，常用的只有3项的本原多项式表中列出的本原多项式都是项数最少的，为了简便起见，用八进制数字记载本原多项式的系数。
由系数写出本原多项式非常方便。
本文探讨n=7时，本多项式系数的八进制表示为211，将211写为二进制码，从右向左第一个1对应于，按系数可写。
从左向右的第一个1对应于C0，按系数可写出对应的寄存器函数[C1C2C3C4C5C6C7]=[0010001]。
3.3m序列的性质
（1）均衡性
在m序列的一个周期中，“1”和“0”的数目基本相等。
准确地说，“1”的个数比“0”的个数多一个。
（2）移位相加特性
m序列和它的位移序列模二相加后所得序列仍是该m序列的某个位移序列。
设是周期为p的m序列r次延迟移位后的序列，那么=
其中为某次延迟移位后的序列。
例如，
=000111101011001…延迟两位后得,再模二相加
=010001111010110,…
=+=010110010001111,…
可见，=+为mp延迟8位后的序列。
（3）自相关特性
m序列具有非常重要的自相关特性。
在m序列中，常常用+1代表0，用-1代表1。
此时定义：
设长为p的m序列，记作。
经过j次移位后，m序列为，其中（以p为周期），以上两序列的对应项相乘然后相加，利用所得的总和：
（2-2）
来衡量一个m序列与它的j次移位序列之间的相关程度，并把它叫做m序列（）的自相关函数。
记作
（2-3）
当采用二进制数字0和1代表码元的可能取值时
（2-4）
（2-5）
由移位相加特性可知，仍是m序列中的元素，所以上式分子就等于m序列中一个周期中0的数目与1的数目之差。
另外由m序列的均衡性可知，在一个周期中0比1的个数少一个，故得A-D=-1（j为非零整数时）或p（j为零时）。
因此得
（2-6）
m序列的自相关函数只有两种取值（1和-1p）。
R（j）是一个周期函数，即，式中，k=1,2,…,p=（2n-1）为周期。
而且R（j）是偶函数，即j=整数
图2-4m序列的自相关函数
由于m序列的均衡性、游程分布、自相关特性和与上述随机序列的基本性质很相似，所以通常认为m序列属于伪噪声序列或伪随机序列。
4.Gold序列
4.1Go
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