初高中数学衔接学习专题6 二元二次方程组的解法.docx

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初高中数学衔接学习专题6二元二次方程组的解法

初高中数学衔接学习专题6二元二次方程组的解法

我们知道含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．至少有一个二次项、最高次不超过二次且包含两个未知数的整式方程组叫做二元二次方程组．通常由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成，或由两个二元二次方程组组成。

二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。

由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。

【例题1】判断下列二元二次方程解的情况：

（1）

（2）

（3）

【解】由

（1）得

，有无数组解；

由

（2）得

，只有一个解

；

由（3）得

，无解。

【小结】与二元一次方程不同，二元二次方程组的解可能有无穷多组、只有一解或无解。

【例题2】解方程组：

【解】把y=2x代入另一方程得到：

即：

，解得

所以方程组的解为

，

【小结】

（1）本题中的方程组是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，这是二元二次方程组在高中数学应用中主要的类型；

（2）解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：

①由二元一次方程变形为用

表示

的方程，或用

表示

的方程（3）；

②把方程（3）代入二元二次方程，得一个一元二次方程；

③解消元后得到的一元二次方程；

④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程（3），求相应的未知数的值；

⑤写出答案．

（3）消

，还是消

，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如方程

，可以消去

，变形得

，再代入消元．

（4）消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记．

【例题3】解关于x的方程组

【解】由①得

③，代入②式得到：