②滑动摩擦力的大小：
F＝μFN。
③滑动摩擦力与最大静摩擦力的关系：
一般最大静摩擦力比滑动摩擦力略大一些，在许多问题的处理过程中往往认为其大小等于滑动摩擦力。
2.动摩擦因数
（1）定义：
彼此接触的物体发生相对运动时，摩擦力的大小和压力的比值，μ＝
。
（2）决定因素：
与接触面的材料和粗糙程度有关。
小题速练
1.思考判断
（1）只要物体发生形变就会产生弹力作用。
（ ）
（2）物体所受弹力方向与施力物体形变的方向相反。
（ ）
（3）滑动摩擦力的方向不可能与物体运动方向相同。
（ ）
（4）滑动摩擦力的大小与物体的运动速度无关，与接触面的面积大小也无关。
（ ）
（5）运动的物体也可能受到静摩擦力的作用。
（ ）
答案
（1）×
（2）√ （3）×（4）√ （5）√
2.在下列各图中，a、b均处于静止状态，且接触面均光滑，a、b间一定有弹力的是（ ）
答案 B
3.（2016·江苏卷）一轻质弹簧原长为8cm，在4N的拉力作用下伸长了2cm，弹簧未超出弹性限度。
则该弹簧的劲度系数为（ ）
A.40m/N B.40N/m
C.200m/ND.200N/m
解析 由胡克定律得劲度系数k＝
＝200N/m，选项D正确。
答案 D
4.[人教版必修1·P61·T3改编]（多选）重量为100N的木箱放在水平地板上，至少要用35N的水平推力，才能使它从原地开始运动。
木箱从原地移动以后，用30N的水平推力，就可以使木箱继续做匀速运动。
由此可知（ ）
A.木箱与地板间的最大静摩擦力为35N
B.木箱所受的滑动摩擦力为30N
C.木箱与地板间的动摩擦因数为0.35
D.木箱与地板间的动摩擦因数为0.3
答案 ABD
弹力的分析与计算
1.“三法”研判弹力的有无
2.弹力方向的判断
（1）常见模型中弹力的方向
（2）根据共点力的平衡条件或牛顿第二定律判断。
3.计算弹力大小的方法
（1）弹簧、橡皮条等物体的弹力可以由胡克定律F＝kx计算。
（2）其他弹力可以根据物体的受力情况和运动情况，利用平衡条件或牛顿第二定律来确定大小。
1.匀速前进的车厢顶部用细线竖直悬挂一小球，如图1所示，小球下方与一光滑斜面接触。
关于小球的受力，下列说法正确的是（ ）
图1
A.重力和细线对它的拉力
B.重力、细线对它的拉力和斜面对它的支持力
C.重力和斜面对它的支持力
D.细线对它的拉力和斜面对它的支持力
解析 小球匀速运动，处于平衡状态，合力为零，则水平方向不能有力的作用，否则细线不可能处于竖直状态，故选项A正确。
答案 A
2.（2017·河北遵化一中月考）（多选）如图2所示，为一轻质弹簧的弹力大小和长度的关系，根据图象判断，正确的结论是（ ）
图2
A.弹簧的劲度系数为1N/m
B.弹簧的劲度系数为100N/m
C.弹簧的原长为6cm
D.弹簧伸长0.02m时，弹力的大小为4N
解析 弹力与弹簧长度的关系图象中，图象的斜率表示劲度系数，图象与横轴的交点（横轴的截距）表示弹簧的原长。
k＝
＝
N/m＝100N/m，选项A错误，B正确；弹簧原长为6cm，选项C正确；弹簧伸长2cm，即L＝8cm时，弹力大小为2N，选项D错误。
答案 BC
3.（多选）如图3所示，一重为10N的球固定在支杆AB的上端，今用一段绳子水平拉球，使杆发生弯曲，已知绳的拉力为7.5N，则AB杆对球的作用力（ ）
图3
A.大小为7.5N
B.大小为12.5N
C.方向与水平方向成53°角斜向右下方
D.方向与水平方向成53°角斜向左上方
解析 对小球进行受力分析可得，AB杆对球的作用力F和绳的拉力的合力与小球的重力等大反向，可得F方向斜向左上方，其大小F＝
N＝12.5N，故选项B正确；令AB杆对小球的作用力与水平方向夹角为α，可得tanα＝
＝
，α＝53°，故选项D正确。
答案 BD
摩擦力的分析和计算
1.明晰“三个方向”
名称
释义
运动方向
一般指物体相对地面（以地面为参考系）的运动方向
相对运动方向
指以其中一个物体为参考系，另一个物体相对参考系的运动方向
相对运动趋势方向
由两物体间静摩擦力的存在导致，能发生却没有发生的相对运动的方向
2.静摩擦力的有无及方向的判断方法
（1）假设法
（2）状态法
根据平衡条件、牛顿第二定律，判断静摩擦力的方向。
（3）牛顿第三定律法
先确定受力较少的物体受到的静摩擦力的方向，再根据“力的相互性”确定另一物体受到的静摩擦力方向。
3.摩擦力的计算
（1）在确定摩擦力的大小之前，首先分析物体所处的状态，分清是静摩擦力还是滑动摩擦力。
（2）滑动摩擦力有具体的计算公式，而静摩擦力要利用平衡条件列方程或牛顿第二定律列方程等计算。
1.如图4所示，物体A、B在力F作用下一起以相同速度沿F方向匀速运动，关于物体A所受的摩擦力，下列说法正确的是（ ）
图4
A.甲、乙两图中物体A均受摩擦力，且方向均与F相同
B.甲、乙两图中物体A均受摩擦力，且方向均与F相反
C.甲、乙两图中物体A均不受摩擦力
D.甲图中物体A不受摩擦力，乙图中物体A受摩擦力，方向和F相同
解析 用假设法分析：
甲图中，假设A受摩擦力，与A做匀速运动在水平方向合力为零不符，所以A不受摩擦力；乙图中，假设A不受摩擦力，A将相对B沿斜面向下运动，则知A受沿F方向的摩擦力。
选项D正确。
答案 D
2.如图5所示，质量为m的木块P在质量为M的长木板ab上滑行，长木板放在水平面上一直处于静止状态。
若ab与地面间的动摩擦因数为μ1，木块P与长木板ab间的动摩擦因数为μ2，则长木板ab受到地面的摩擦力大小为（ ）
图5
A.μ1MgB.μ1（m＋M）g
C.μ2mgD.μ1Mg＋μ2mg
解析 木块P对长木板的滑动摩擦力大小为F＝μ2mg，长木板始终静止，则地面对长木板的静摩擦力大小为F′＝F＝μ2mg，故选项C正确。
答案 C
3.（多选）如图6甲所示，A、B两个物体叠放在水平面上，B的上下表面均水平，A物体与一拉力传感器相连接，连接拉力传感器和物体A的细绳保持水平。
从t＝0时刻起，用一水平向右的力F＝kt（k为常数）作用在B物体上，拉力传感器的示数随时间变化的图线如图乙所示，已知k、t1、t2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
据此可求（ ）
图6
A.A、B之间的最大静摩擦力
B.水平面与B之间的滑动摩擦力
C.A、B之间的动摩擦因数μAB
D.B与水平面间的动摩擦因数μ
解析 当B被拉动后，拉力传感器才有示数，地面对B的最大静摩擦力为Ffm＝kt1，A、B相对滑动后，拉力传感器的示数保持不变，则FfAB＝kt2－Ffm＝k（t2－t1），选项A、B正确；由于A、B的质量未知，则μAB和μ不能求出，选项C、D错误。
答案 AB
计算摩擦力时的三点注意
（1）首先分清摩擦力的性质，因为只有滑动摩擦力才能利用公式计算，静摩擦力通常只能根据物体的运动状态求解。
（2）公式F＝μFN中，FN为两接触面间的正压力，与物体的重力没有必然联系，不一定等于物体的重力。
（3）滑动摩擦力的大小与物体速度的大小无关，与接触面积的大小也无关。
摩擦力的突变问题
1.“静—静”突变
物体在摩擦力和其他力的作用下处于静止状态，当作用在物体上的其他力的合力发生变化时，如果物体仍然保持静止状态，则物体受到的静摩擦力的大小和方向将发生突变。
2.“静—动”突变或“动—静”突变
物体在摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当其他力变化时，如果物体不能保持静止状态，则物体受到的静摩擦力将“突变”成滑动摩擦力。
3.“动—动”突变
某物体相对于另一物体滑动的过程中，若突然相对运动方向变了，则滑动摩擦力方向发生“突变”。
【典例】 （2017·玉林模拟）如图7所示，物体A静止在粗糙水平面上，左边用一轻质弹簧和竖直墙相连，弹簧的长度大于原长。
现用从零开始逐渐增大的水平力F向右拉A，直到A被拉动，在A被拉动之前的过程中，弹簧对A的弹力F1的大小和地面对A的摩擦力Ff大小的变化情况是（ ）
图7
A.F1减小B.F1增大
C.Ff先减小后增大D.Ff始终减小
审题关键点 ①A静止在粗糙水平面上。
②弹簧的长度大于原长。
③从零开始逐渐增大的水平力F向右拉A。
④直到A被拉动。
解析 在A被拉动之前的过程中，弹簧仍处于原状，因此弹力F1不变，静止时弹簧的长度大于原长，则弹簧对A的拉力向左，由于水平面粗糙，因此物体受到水平向右的静摩擦力Ff。
当再用一个从零开始逐渐增大的水平力F向右拉A，直到把A拉动前过程中，物体A受到的静摩擦力Ff从向右变为水平向左，所以Ff大小先减小后增大，故选项C正确，A、B、D错误。
答案 C
1.一木块放在水平桌面上，在水平方向共受到三个力即F1、F2和摩擦力的作用，木块处于静止状态，如图8所示，其中F1＝10N，F2＝2N，若撤去F1，则木块受到的摩擦力为（ ）
图8
A.10N，方向向左B.6N，方向向右
C.2N，方向向右D.0
解析 当物体受F1、F2及摩擦力的作用而处于平衡状态时，由平衡条件可知物体所受的摩擦力的大小为8N，方向向左。
可知最大静摩擦力Ffmax≥8N。
当撤去力F1后，F2＝2N＜Ffmax，物体仍处于静止状态，由平衡条件可知物体所受的静摩擦力大小和方向发生突变，且与作用在物体上的F2等大反向，选项C正确。
答案 C
2.如图9所示，斜面固定在地面上，倾角为37°（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。
质量为1kg的滑块以初速度v0从斜面底端沿斜面向上滑行（斜面足够长，该滑块与斜面间的动摩擦因数为0.8），则该滑块所受摩擦力F随时间变化的图象是下图中的（取初速度v0的方向为正方向，g＝10m/s2）（ ）
图9
解析 滑块上升过程中受到滑动摩擦力作用，由F＝μFN和FN＝mgcosθ联立得F＝6.4N，方向为沿斜面向下。
当滑块的速度减为零后，由于重力的分力mgsinθ<μmgcosθ，滑块不动，滑块受的摩擦力为静摩擦力，由平衡条件得F＝mgsinθ，代入可得F＝6N，方向为沿斜面向上，故选项B正确。
答案 B
易错问题：
摩擦力方向的判定——缜密思维能力的培养
摩擦力方向与运动方向的三类关系
摩擦力的方向与物体间的相对运动或相对运动趋势方向相反，但与物体的实际运动方向可能相同、可能相反、也可能不共线。
第一类：
摩擦力方向与运动方向相同
【例1】 （多选）如图10所示，皮带运输机将物体匀速地送往高处，下列结论正确的是（ ）
图10
A.物体受到与运动方向相同的摩擦力作用
B.传送的速度越大，物体受到的摩擦力越大
C.物体所受的摩擦力与传送的速度无关
D.物体受到的静摩擦力为物体随皮带运输机上升的动力
解析 物体随皮带运输机一起上升的过程中，物体具有相对于皮带下滑的趋势，受到沿皮带向上的摩擦力作用，是使物体向上运动的动力，其大小等于物体重力沿皮带向下的分力，与传送带的速度大小无关，故选项A、C、D正确，B错误。
答案 ACD
第二类：
摩擦力方向与运动方向相反
【例2】 （2017·全国卷Ⅱ，16）如图11所示，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。
若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动。
物块与桌面间的动摩擦因数为（ ）
图11
A.2－
B.
C.
D.
解析 当F水平时，根据平衡条件得F＝μmg；当保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角时，由平衡条件得Fcos60°＝μ（mg－Fsin60°），联立解得μ＝
，故选项C正确。
答案 C
第三类：
摩擦力方向与运动方向不共线
【例3】 如图12，光滑斜面固定于水平面，滑块A、B叠放后一起冲上斜面，且始终保持相对静止，A上表面水平，则在斜面上运动时，B受力的示意图为（ ）
图12
解析 滑块A、B一起冲上光滑斜面，以A、B为整体研究对象，加速度沿斜面向下，大小为a＝gsinθ，整体向上做匀减速直线运动，加速度方向沿斜面向下，由于B的加速度方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律知，B受到合力沿斜面向下，则B一定受到水平向左的摩擦力以及重力和支持力，故选项A正确，B、C、D错误。
答案 A
活页作业
（时间：
30分钟）
A级：
保分练
1.（多选）玩具汽车停在模型桥面上，如图1所示，下列说法正确的是（ ）
图1
A.桥面受向下的弹力，是因为汽车发生了弹性形变
B.汽车没有发生形变，所以汽车不受弹力
C.汽车受向上的弹力，是因为桥梁发生了弹性形变
D.汽车受向上的弹力，是因为汽车发生了弹性形变
解析 弹性形变指物体形变之后撤去外力能完全恢复原来形状的形变，模型桥受到向下的弹力，是因为汽车发生了弹性形变，选项A正确，B错误；汽车受到向上的弹力，是因为桥梁发生了弹性形变，选项C正确，D错误。
答案 AC
2.（2017·湖南省五市十校教研教改共同体高三联考）下列情景中，物体M所受摩擦力Ff的示意图正确的是（ ）
解析 物体静止在水平面上时，不受摩擦力，选项A错误；汽车停在斜坡上时，有沿斜坡向下滑动的趋势，则摩擦力方向沿斜坡向上，选项B正确；物体贴着竖直墙壁自由下落时，物体与墙壁间没有正压力，则没有摩擦力，选项C错误；瓶子被握在手中时，有下滑的趋势，则摩擦力方向向上，选项D错误。
答案 B
3.如图2所示，质量为2kg的物体与水平地面间的动摩擦因数为0.2，水平地面足够大。
t＝0时，物体以2m/s的初速度向右运动，同时对物体施加一个水平向左的大小恒为2N的拉力F，取向右为正方向，g＝10m/s2，则在t＝0之后（ ）
图2
A.物体所受摩擦力不会变化
B.物体所受摩擦力会由－4N变为＋2N
C.物体所受摩擦力会由－4N变为－2N
D.物体所受摩擦力会由＋4N变为＋2N
解析 分析摩擦力问题的关键是弄清楚是滑动摩擦力还是静摩擦力，由题意知，刚开始物体向右运动，所以物体受到向左的滑动摩擦力为－4N；又因为t＝0时，物体受到向左的水平恒力，所以物体会向右做匀减速直线运动直到速度为0；之后水平恒力小于最大静摩擦力，故物体受到向右的静摩擦力，与水平恒力等大反向，大小为＋2N，选项B正确。
答案 B
4.（2017·南京模拟）（多选）如图3所示，A、B、C三个物体质量相等，它们与传送带间的动摩擦因数也相同。
三个物体随传送带一起匀速运动，运动方向如图中箭头所示。
则下列说法正确的是（ ）
图3
A.A物体受到的摩擦力方向向右
B.三个物体中只有A物体受到的摩擦力是零
C.B、C受到的摩擦力方向相同
D.B、C受到的摩擦力方向相反
解析 A物体与传送带一起匀速运动，它们之间无相对运动或相对运动趋势，即无摩擦力作用，选项A错误；B、C两物体虽运动方向不同，但都处于平衡状态，由沿传送带方向所受合力为零可知，B、C两物体均受沿传送带方向向上的摩擦力作用，故选项B、C正确，D错误。
答案 BC
5.（2017·沧州模拟）如图4所示，质量为m的木块放在粗糙的水平地面上，木块与地面间的动摩擦因数为0.5，水平推力F作用于木块上，但未把木块推动，则在四个选项中反映木块受到的静摩擦力Ff的大小随水平推力F的大小变化的关系图线是（ ）
图4
答案 A
6.（2017·浙江温州八校联考）如图5所示，弹簧测力计一端固定在墙壁上，另一端与小木块A相连，当用力加速抽出长木板B的过程中，观察到弹簧测力计的示数为3.0N，若匀速抽出木板B，弹簧测力计的示数大小（ ）
图5
A.一定大于3.0NB.一定小于3.0N
C.一定等于3.0ND.一定为零
解析 不管是加速抽出还是匀速抽出木板B，小木块A均处于平衡状态，所以弹簧测力计的示数都等于B对A的滑动摩擦力大小，显然，在这两个过程中，该摩擦力大小是不变的，所以弹簧测力计的示数大小也不变，即一定等于3.0N，选项C正确。
答案 C
7.如图6所示，将两个完全相同的均匀长方体物块A、B叠放在一起置于水平地面上。
两物块重均为2mg。
现用弹簧测力计竖直向上拉物块A，当弹簧测力计示数为mg时，下列说法正确的是（ ）
图6
A.物块A对物块B的压力大小为mg
B.物块B对地面的压力大小等于2mg
C.地面与物块B之间存在静摩擦力
D.物块A与物块B之间存在静摩擦力
解析 弹簧测力计示数为mg时，物块A、B均处于平衡状态，对A由平衡条件知，物块B对物块A的支持力大小为mg，故A对B的压力大小为mg，选项A正确；对A、B整体由平衡条件知，地面对物块B的支持力大小等于3mg，故B对地面的压力大小等于3mg，选项B错误；物块A与物块B之间、物块B与地面之间均无相对运动的趋势，故地面与物块B之间、物块A与物块B之间都不存在静摩擦力，选项C、D错误。
答案 A
8.（2017·江阴段考）如图7所示，P是位于水平粗糙桌面上的物块，用跨过光滑轻质定滑轮的轻绳将P与钩码Q相连，Q的质量为m，在P向右匀速运动的过程中，桌面上的绳子始终是水平的，重力加速度为g。
下列说法正确的是（ ）
图7
A.P所受拉力的施力物体是钩码Q，大小等于mg
B.P所受拉力的施力物体是绳子，大小于等于mg
C.P所受摩擦力的方向水平向左，大小一定小于mg
D.P所受摩擦力的方向水平向左，大小一定大于mg
解析 P受绳子的作用，不受钩码的作用，故选项A错误；P受拉力的施力物体为绳子，大小等于钩码的重力mg，故选项B正确；P所受到的摩擦力方向与拉力方向相反，故向左，但根据平衡关系可知，其大小一定等于mg，故选项C、D错误。
答案 B
9.如图8所示，斜面体放在光滑的水平面上，一物块放在斜面体上，并用细绳连接在天花板上，绳与竖直方向的夹角为θ，给斜面体一个水平向左的推力，使物块和斜面体处于静止状态，如果斜面体的斜面是光滑的，需要的水平推力大小为F1，如果斜面体的斜面是粗糙的，需要的水平推力大小为F2，则（ ）
图8
A.F1>F2B.F1＝F2
C.F1解析 由于物块与斜面体间没有相对滑动，对物块与斜面体整体受力分析可知，推力等于绳的拉力的水平分力。
若斜面是粗糙的，且物块与斜面间刚好没有摩擦，则选项B正确；如果物块受到沿斜面向上的摩擦力，则绳的拉力小于没有摩擦力时绳的拉力，这时选项A正确；如果物块受到沿斜面向下的摩擦力，则绳的拉力大于没有摩擦力时绳的拉力，这时选项C正确；因此选项A、B、C均有可能，选项D正确。
答案 D
B级：
拔高练
10.（2017·天津静海区模拟）如图9所示，甲、乙、丙、丁四种情况，光滑斜面的倾角都是α，球都是用轻绳系住处于平衡状态，则下列说法正确的是（ ）
图9
A.球对斜面压力最大的是甲图
B.球对斜面压力最小的是丙图
C.球对斜面压力第二大的是丁图
D.球对斜面压力第二大的是乙图
解析
甲图中，根据平衡条件得斜面对小球的支持力FN1＝
mgcosα乙图中，受力如图，由平衡条件得FN2＝
>mg。
丙图中，斜面对小球的支持力FN3＝0。
丁图中，设绳子与斜面的夹角为θ，绳子的拉力大小为F，则斜面对小球的支持力FN4＝mgcosα－Fsinθ根据牛顿第三定律得知，斜面对小球的支持力与小球对斜面的压力大小相等，所以球对斜面压力最大的是乙图，压力最小的是丙图，压力第二大的是甲图，故选项B正确。
答案 B
11.如图10所示，质量为m的物体用细绳拴住放在水平粗糙的传送带上，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，当传送带分别以v1、v2的速度做逆时针运动时（v1图10
A.物体受到的摩擦力Ff1B.物体所受摩擦力方向向右
C.F1＝F2
D.传送带速度足够大时，物体受到的摩擦力可为0
解析
物体的受力如图所示，滑动摩擦力与绳的拉力的水平分量平衡，因此方向向左，选项B错误；设绳与水平方向成θ角，则Fcosθ－μFN＝0，FN＋Fsinθ－mg＝0，解得F＝
，θ不变，F恒定不变，选项C正确；滑动摩擦力Ff＝Fcosθ＝
，也不变，选项A、D错误。
答案 C
12.（多选）如图11所示，斜面体A静置于水平地面上，其倾角为θ＝45°，上表面水平的物块B在A上恰能匀速下滑。
现对B施加一个沿斜面向上的力F，使B能缓慢地向上匀速运动，某时刻在B上轻轻地放上一个质量为m的小物体C（图中未画出），A始终静止，B保持运动状态不变，关于放上C之后的情况，下列说法正确的是（ ）
图11
A.B受到的摩擦力增加了
mg
B.推力F增大了
mg
C.推力F增大了
mg
D.A受到地面的摩擦力增加了mg
解析 设物块B的质量为M，根据物块B在A上恰能匀速下滑可知Mgsinθ＝μMgcosθ。
放上C之后，B
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