高一数学竞赛 参考答案.docx
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高一数学竞赛参考答案
2021年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
〔考试时间:
5月11日上午8:
30-11:
00〕
一、选择题〔每题6分,共36分〕
1.集合,,假设,那么实数的取值范围为〔〕
A.B.C.D.
【答案】A
【解答】时,,符合要求。
时,,。
由知,。
,解得。
∴的取值范围为。
2.假设一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面,那么该圆锥内切球的体积为〔〕
A.B.C.D.
【答案】A
【解答】设圆锥底面半径为,母线长为,那么,。
又。
因此,,。
圆锥的轴截面是边长为2的正三角形。
所以,其内切球半径,其体积。
3.函数的值域为〔〕
A.B.C.D.
【答案】B
【解答】由,知,。
∴,。
又,因此,。
值域为。
4.给出以下命题:
〔1〕设,是不同的直线,是一个平面,假设,,那么。
〔2〕,是异面直线,为空间一点,过总能作一个平面与,之一垂直,与另一条平行。
〔3〕在正四面体中,与平面所成角的余弦值为。
〔4〕在空间四边形中,各边长均为1,假设,那么的取值范围是。
其中正确的命题的个数为〔〕
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解答】〔1〕显然正确。
〔2〕假设存在平面,使得,,那么。
但,是未必垂直。
故不正确。
〔3〕作于,那么为正三角形的中心,是与平面所成角。
设,那么,。
故,〔3〕正确。
〔4〕取中点,那么。
由、、构成三角形知,。
故,〔4〕正确。
5.是定义在上的奇函数,且对任意,均有,当时,,那么函数在区间上的零点个数为〔〕
A.6个B.7个C.8个D.9个
【答案】D
【解答】由知,,或。
∴在区间内有唯一零点1。
结合为奇函数知,在区间内有唯一零点。
又由知,在区间内有唯一零点2;在区间内有唯一零点4;在区间内有唯一零点5。
又由,知,,。
又。
∴在区间上的零点个数为9。
6.函数。
给出以下四个判断:
〔1〕的值域是;〔2〕的图像是轴对称图形;
〔3〕的图像是中心对称图形;〔4〕方程有解。
其中正确的判断有〔〕
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B
【解答】设,,,
那么。
〔1〕∵,与轴不相交〔即、、三点不共线〕。
∴等号不成立,的值域是。
〔1〕不正确。
〔2〕∵,
∴,的图像关于直线对称。
〔或从几何图形上看,当与关于点对称时,〕。
〔2〕正确。
〔3〕显然不正确。
〔假设〔3〕正确,那么结合〔2〕可得为周期函数,矛盾。
〕
〔4〕∵,又,
∴方程有解〔是方程的解〕。
〔4〕正确。
二、填空题〔每题6分,共36分〕
7.集合,,假设,那么实数的取值范围为。
【答案】
【解答】问题等价于圆在菱形内部〔不含边界〕。
∴,且圆心到直线的距离。
∴。
8.如图,在等腰直角三角形中,,、分别为、的中点。
将沿折起,使得折起后二面角为。
那么折起后四棱锥的体积为。
【答案】
【解答】由条件知,在四棱锥中,,。
∴是二面角的平面角,且。
∴,且。
作于,那么。
由知,为正三角形,。
∴四棱锥的体积。
9.函数的图像关于点对称,那么点的坐标为。
【答案】
【解答】由函数定义域为;值域为。
猜想点坐标为。
下面给出证明:
∵
。
∴的图像关于点对称。
10.中,,假设,那么面积的最大值为。
【答案】
【解答】以中点为坐标原点,直线为轴建立直角坐标系,那么,。
设。
那么由,知。
整理,得。
∴点在以为圆心,半径为的圆〔除与轴的交点〕上运动。
∴点到直线即轴距离的最大值为。
∴面积的最大值为。
11.二次函数,假设对任意均有成立,那么的最大值为。
【答案】8
【解答】,,,,,。
∴,
当且仅当,即时,等号成立。
∴的最大值为8。
12.不等式的解集为。
【答案】
【解答】不等式化为………①;或………②。
由,得,由于函数为增函数,且。
所以,不等式①的解为。
由,得。
设,。
如图,在同一坐标系内作函数与的图像,它们有两个交点,,其中,。
所以,②的解为。
由①、②可知,不等式的解集为。
三、解答题〔第13、14、15、16题每题16分,第17题14分,总分值78分〕
13.〔此题总分值16分〕
求二次函数在区间上的最小值的表达式。
【解答】。
当时,,在区间上的最小值为。
……………4分
当时,。
假设,即时,在区间上的最小值为。
……………8分
假设,即时,在区间上的最小值为。
………………………12分
假设,即时,在区间上的最小值为。
∴。
………………………16分
14.〔此题总分值16分〕
两个同心圆:
和:
,圆上一点。
过点作圆的两条切线,切点分别为、。
〔1〕假设点坐标为,求四边形的面积。
〔2〕当点在圆上运动时,是否存在定圆恒与直线相切?
假设存在,求出定圆的方程;假设不存在,请说明理由。
【解答】〔1〕依题意,,,且,。
∴。
∴四边形的面积为。
…………………4分
〔2〕设,那么。
当点在圆上运动时,恒有。
∴点、在以为圆心,为半径的圆上。
该圆方程为。
……………………8分
又点、在圆:
上。
联立两圆方程,消二次项,得。
即。
∴直线方程为。
…………………12分
∵原点到直线的距离为定值。
∴圆恒与直线相切。
∴存在定圆恒与直线相切,定圆方程为。
………………16分
注:
此题也可以用平面几何方法求解:
设与的交点为,那么。
…………………8分
在中,由,,,知。
…………………12分
∴以为圆心,1为半径的圆恒于直线相切。
∴存在定圆恒与直线相切,定圆方程为。
…………………16分
15〔此题总分值16分〕
如图,在中,为的平分线且与交于点,为中点,、为、上的点,且。
求证:
。
【解答】如图,过点作的平行线交直线于点,于点。
那么由为中点知,为中点。
…………………4分
∵平分,
∴。
∴,。
结合知,、、、四点共圆。
……………8分
∴。
∴。
∴,。
同理,。
………………………12分
∴,、、、四点共圆。
∴。
……………………16分
16.〔此题总分值16分〕
给出5个互不相同的实数,假设这5个数中任意两个数的和或积中至少有一个是有理数,求证:
这5个数的平方都是有理数。
【解答】设为其中的一个数,依题意,其余的4个数为或的形式,其中为有理数。
…………………………4分
〔1〕假设这4个数中至少有2个为〔〕的形式,设它们为,〔且,〕。
那么由条件知,与中至少有1个成立。
当时,,,成立。
当时,,成立。
………………………8分
〔2〕假设这4个数中最多只有1个为〔〕的形式,那么至少有3个数为〔〕的形式。
设这三个数为,,〔,,互不相同,且,,〕。
下面考虑这三个数的和与积。
①假设,,中至少有两个为有理数。
不妨设,为有理数,
那么。
∴,成立。
………………………12分
②假设,,中最多只有1个为有理数,那么,,中至少有两个为有理数。
不妨设,为有理数。
那么,。
两式相减,得,。
∴,成立。
由①、②知,此时成立。
综上可得,。
因此,这5个数的平方都是有理数。
……………16分
17.〔此题总分值14分〕
〔1〕设集合,集合是的子集,且集合中任意两数之差都不等于6或7。
问集合中最多有多少个元素?
〔2〕设集合,集合是的子集,且集合中任意两数之差都不等于6或7。
问集合中最多有多少个元素?
【解答】〔1〕构造的以下13个子集:
,,,,,,,,,,,,〔中每一个数恰好属于2个子集〕。
由于从中任取7个元素,它们分别属于上述13个子集中的14个子集,由抽屉原理知其中必有2个元素属于同一个子集,它们的差为6或7。
因此,中任意7个元素都不能同时属于集合。
即中最多只有6个元素。
…………………………4分
又中任意两数之差都不等于6或7。
集合符合要求。
∴集合中最多有6个元素。
…………………………7分
〔2〕由〔1〕知,任意连续13个正整数中最多只有6个数满足任意两数之差都不等于6或7。
由于,因此,集合中最多只有个数满足任意两数之差都不等于6或7。
……………………………11分
又显然集合是集合的子集,且集合中任意两数之差都不是6或7。
集合中有930个元素。
∴集合中最多有930个元素。
…………………………14分