开锁法讲座名师讲堂群讲座.docx

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开锁法讲座名师讲堂群讲座

开锁法讲座（名师讲堂群讲座）

全国同行们，向各位拜个早年，承蒙大家厚爱，送我一个雅号“锁王”，千万别误会，咱不是梁上君子，不会去别人家拿年货的。

去年青岛论坛，我做过一次“开锁法”讲座，效果不错，某位同行赠给我这个雅号。

今天我们就探讨一下这个神奇的方法。

在直角坐标系中，我们常常遇到等腰直角三角形及45°的构建问题，传统方法主要是“就地解决”，一般通过构建一线三直角，利用全等处理。

必须承认的是，此方法极为有效，美中不足之处在于辅助线构造繁杂，特别在分类讨论时，容易出现漏解。

此外，我个人认为，在坐标系中解决问题，尽可能以代数思想为主，几何方法为辅。

这不仅是我个人观点，其实也符合笛卡尔老先生的初衷，这位鼻祖认为尽量将几何问题代数化。

相信大家对坐标系的起源及意义都非常熟悉，因此我开始探索此类问题代数化方法。

开锁法也就应运而生了。

所谓开锁法，就是将静态的问题，用动态的方法进行处理的一种手段。

可广泛应用于等腰直角三角形及45°的构建问题。

以下我们通过简单的问题，探索开锁法的基本步骤

例1：

A（4,1），若将点A绕原点旋转90°得到点B，求点B坐标

显然点B的坐标为（1，－4）或（－1,4），此时，AOB为等腰三角形。

例2：

A（a,b），若将点A绕原点旋转90°得到点B，求点B坐标

显然点B的坐标为（b，－a）或（－a,b），此时，AOB为等腰三角形。

例3：

如图，已知△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，A（－1,3），C（2,2），求点B坐标。

解：

因为△ABC是等腰直角三角形

点B可视为点A绕点C顺时针旋转90°而成

将点C（2，2）平移到原点C′（0，0）

则点A（－1，3）平移后对应点为A′（－3，1）

将点A′（－3，1）绕原点顺时针旋转90°

得点B′（1,3）

将点C′（0，0）平移回点C（2，2）

点B′（1，3）平移后即为点B（3，5）

例4：

如图：

已知△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，A（a,b），C（c,d），求点B坐标。

解：

因为△ABC是等腰直角三角形

点B可视为点A绕点C顺时针旋转90°而成

将点C（c，d）平移到原点C′（0，0）

则点A（a,b）平移后为A′（a－c，b－d）

将点A′绕原点顺时针旋转90°，

得点B′（b－d,c－a）

将点C′（0，0）平移回点C（c，d）

点B′（b－d,c－a）平移后即为点B

∴B点坐标为（b－d＋c,c－a＋d）

“开锁法”口诀：

等腰直角有诀窍，平移原点再旋转，横纵坐标顺序换。

符号确定由象限，平移原位坐标现。

此问题分三种情况：

（1）若两定点已知，可直接通过“开锁法”确定第三点坐标；

（2）一定点一动点，可直接通过“开锁法”确定第三点参数坐标；

（3）同一参数两动点，可直接通过“开锁法”确定第三点参数坐标。

注：

开锁过程。

第一步，将钥匙平移至锁眼位置；

第二步，将钥匙绕锁眼旋转90°；

第三步，将钥匙平移回原位，开锁过程结束。

“开锁法”：

第一步，将等腰直角三角形直角顶点平移至原点位置；

第二步，将斜边上一点绕原点旋转90°；

第三步，将等腰直角三角形平移回原位，求出另一点坐标。

类比一下整个过程，两者是否有异曲同工之妙。

熟练掌握开锁法的意义：

首先，此法操作性很强，易于教学；其次，真正体现了代数思想，可以“盲做”，即不通过几何构建，达到解题目的；最后，能秒杀这类问题，具有很强的实战性。

美中不足的是，此法并未大面积推广，不熟悉的老师中考阅卷可能面临难题，解答虽正确，但没有中考评分标准。

以下，我们将通过全国各地区中考压轴题验证此法的妙处。

§8.1.（2014•黑龙江松北区）抛物线

与直线y＝

x＋2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3,

）．

（2）点P是y轴右侧的抛物线上一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线CD于点F，是否存在点P，使∠PCF＝45°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

典型的一个定点，一个参数点，用开锁法求出点P参数点，代入抛物线，直接秒杀

§8.3.（2016•广安）如图，抛物线

与直线y＝

x－3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（－4，－5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标.

与上例一样，两者并无本质差异，不一样的大餐，同样的烹饪手法。

§8.4.（2016•贵港）如图，抛物线

与x轴交于点A（－5，0）和点B（3,0），与y轴交于点C。

E（－2，－5）的坐标；（3）在

（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP＝∠CAE，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由.

典型的两个定点，用开锁法求出点H坐标，求出AP方程，联立抛物线，直接秒杀

看到没，大餐的做法很简单。

§8.5（2016•哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax²＋2ax＋c经过A（－4,0），B（0,4）两点，与x轴交于另一点C，直线y＝x＋5与x轴交于点D，与y轴交于点E。

（1）求抛物线解析式；

（2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接EP，过点E作EP的垂线l，在l上截取线段EF，使EF＝EP，且点F在第一象限，过点F作FM⊥x轴于点M，设点P的横坐标为t，线段FM的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在

（2）的条件下，过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H，连接DH，点G为DH的中点，当直线PG经过AC的中点Q时，求点F的坐标.

§3.16.（2014•四川乐山）如图，抛物线

（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，－m）作PM⊥x轴与点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．

（1）若m＝2，求点A和点C的坐标；

（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？

若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

§8.14.（2014•山东临沂）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（－1，0）和点B（1，0），直线y＝2x－1与y轴交于点C，

与抛物线交于点C，D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点A到直线CD的距离；（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标.

§8.15.（2015•北海）如图1所示，已知抛物线y＝－x2＋4x＋5的顶点为D，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，E为对称轴上的一点，连接CE，将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上．

（1）直接写出D点和E点的坐标；

（2）点F为直线C′E与已知抛物线的一个交点，点H是抛物线上C与F之间的一个动点，若过点H作直线HG与y轴平行，且与直线C′E交于点G，设点H的横坐标为m（0＜m＜4），那么当m为何值时，S△HGF/S△BGF＝5/6？

（3）图2所示的抛物线是由y＝－x2＋4x＋5向右平移1个单位后得到的，点T（5，y）在抛物线上，点P是抛物线上O与T之间的任意一点，在线段OT上是否存在一点Q，使△PQT是等腰直角三角形？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

§8.17.（2013•成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线

（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，－1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．

（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；

（2）平移

（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．（i）若点M在直线AC下方，且为平移前

（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究

是否存在最大值？

若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.