开锁法讲座名师讲堂群讲座.docx
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开锁法讲座名师讲堂群讲座
开锁法讲座(名师讲堂群讲座)
全国同行们,向各位拜个早年,承蒙大家厚爱,送我一个雅号“锁王”,千万别误会,咱不是梁上君子,不会去别人家拿年货的。
去年青岛论坛,我做过一次“开锁法”讲座,效果不错,某位同行赠给我这个雅号。
今天我们就探讨一下这个神奇的方法。
在直角坐标系中,我们常常遇到等腰直角三角形及45°的构建问题,传统方法主要是“就地解决”,一般通过构建一线三直角,利用全等处理。
必须承认的是,此方法极为有效,美中不足之处在于辅助线构造繁杂,特别在分类讨论时,容易出现漏解。
此外,我个人认为,在坐标系中解决问题,尽可能以代数思想为主,几何方法为辅。
这不仅是我个人观点,其实也符合笛卡尔老先生的初衷,这位鼻祖认为尽量将几何问题代数化。
相信大家对坐标系的起源及意义都非常熟悉,因此我开始探索此类问题代数化方法。
开锁法也就应运而生了。
所谓开锁法,就是将静态的问题,用动态的方法进行处理的一种手段。
可广泛应用于等腰直角三角形及45°的构建问题。
以下我们通过简单的问题,探索开锁法的基本步骤
例1:
A(4,1),若将点A绕原点旋转90°得到点B,求点B坐标
显然点B的坐标为(1,-4)或(-1,4),此时,AOB为等腰三角形。
例2:
A(a,b),若将点A绕原点旋转90°得到点B,求点B坐标
显然点B的坐标为(b,-a)或(-a,b),此时,AOB为等腰三角形。
例3:
如图,已知△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形,A(-1,3),C(2,2),求点B坐标。
解:
因为△ABC是等腰直角三角形
点B可视为点A绕点C顺时针旋转90°而成
将点C(2,2)平移到原点C′(0,0)
则点A(-1,3)平移后对应点为A′(-3,1)
将点A′(-3,1)绕原点顺时针旋转90°
得点B′(1,3)
将点C′(0,0)平移回点C(2,2)
点B′(1,3)平移后即为点B(3,5)
例4:
如图:
已知△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形,A(a,b),C(c,d),求点B坐标。
解:
因为△ABC是等腰直角三角形
点B可视为点A绕点C顺时针旋转90°而成
将点C(c,d)平移到原点C′(0,0)
则点A(a,b)平移后为A′(a-c,b-d)
将点A′绕原点顺时针旋转90°,
得点B′(b-d,c-a)
将点C′(0,0)平移回点C(c,d)
点B′(b-d,c-a)平移后即为点B
∴B点坐标为(b-d+c,c-a+d)
“开锁法”口诀:
等腰直角有诀窍,平移原点再旋转,横纵坐标顺序换。
符号确定由象限,平移原位坐标现。
此问题分三种情况:
(1)若两定点已知,可直接通过“开锁法”确定第三点坐标;
(2)一定点一动点,可直接通过“开锁法”确定第三点参数坐标;
(3)同一参数两动点,可直接通过“开锁法”确定第三点参数坐标。
注:
开锁过程。
第一步,将钥匙平移至锁眼位置;
第二步,将钥匙绕锁眼旋转90°;
第三步,将钥匙平移回原位,开锁过程结束。
“开锁法”:
第一步,将等腰直角三角形直角顶点平移至原点位置;
第二步,将斜边上一点绕原点旋转90°;
第三步,将等腰直角三角形平移回原位,求出另一点坐标。
类比一下整个过程,两者是否有异曲同工之妙。
熟练掌握开锁法的意义:
首先,此法操作性很强,易于教学;其次,真正体现了代数思想,可以“盲做”,即不通过几何构建,达到解题目的;最后,能秒杀这类问题,具有很强的实战性。
美中不足的是,此法并未大面积推广,不熟悉的老师中考阅卷可能面临难题,解答虽正确,但没有中考评分标准。
以下,我们将通过全国各地区中考压轴题验证此法的妙处。
§8.1.(2014•黑龙江松北区)抛物线
与直线y=
x+2交于C、D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,
).
(2)点P是y轴右侧的抛物线上一个动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交直线CD于点F,是否存在点P,使∠PCF=45°,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
典型的一个定点,一个参数点,用开锁法求出点P参数点,代入抛物线,直接秒杀
§8.3.(2016•广安)如图,抛物线
与直线y=
x-3交于A、B两点,其中点A在y轴上,点B坐标为(-4,-5),点P为y轴左侧的抛物线上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交AB于点D.当点P运动到直线AB下方某一处时,过点P作PM⊥AB,垂足为M,连接PA使△PAM为等腰直角三角形,请直接写出此时点P的坐标.
与上例一样,两者并无本质差异,不一样的大餐,同样的烹饪手法。
§8.4.(2016•贵港)如图,抛物线
与x轴交于点A(-5,0)和点B(3,0),与y轴交于点C。
E(-2,-5)的坐标;(3)在
(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使∠BAP=∠CAE,若存在,求出点P的横坐标,若不存在,请说明理由.
典型的两个定点,用开锁法求出点H坐标,求出AP方程,联立抛物线,直接秒杀
看到没,大餐的做法很简单。
§8.5(2016•哈尔滨)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax²+2ax+c经过A(-4,0),B(0,4)两点,与x轴交于另一点C,直线y=x+5与x轴交于点D,与y轴交于点E。
(1)求抛物线解析式;
(2)点P是第二象限抛物线上的一个动点,连接EP,过点E作EP的垂线l,在l上截取线段EF,使EF=EP,且点F在第一象限,过点F作FM⊥x轴于点M,设点P的横坐标为t,线段FM的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);(3)在
(2)的条件下,过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H,连接DH,点G为DH的中点,当直线PG经过AC的中点Q时,求点F的坐标.
§3.16.(2014•四川乐山)如图,抛物线
(m>0)与x轴的另一个交点为A,过P(1,-m)作PM⊥x轴与点M,交抛物线于点B.点B关于抛物线对称轴的对称点为C.
(1)若m=2,求点A和点C的坐标;
(2)令m>1,连接CA,若△ACP为直角三角形,求m的值;(3)在坐标轴上是否存在点E,使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形?
若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
§8.14.(2014•山东临沂)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A(-1,0)和点B(1,0),直线y=2x-1与y轴交于点C,
与抛物线交于点C,D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点A到直线CD的距离;(3)平移抛物线,使抛物线的顶点P在直线CD上,抛物线与直线CD的另一个交点为Q,点G在y轴正半轴上,当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时,求出所有符合条件的G点的坐标.
§8.15.(2015•北海)如图1所示,已知抛物线y=-x2+4x+5的顶点为D,与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,E为对称轴上的一点,连接CE,将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后,点C的对应点C′恰好落在y轴上.
(1)直接写出D点和E点的坐标;
(2)点F为直线C′E与已知抛物线的一个交点,点H是抛物线上C与F之间的一个动点,若过点H作直线HG与y轴平行,且与直线C′E交于点G,设点H的横坐标为m(0<m<4),那么当m为何值时,S△HGF/S△BGF=5/6?
(3)图2所示的抛物线是由y=-x2+4x+5向右平移1个单位后得到的,点T(5,y)在抛物线上,点P是抛物线上O与T之间的任意一点,在线段OT上是否存在一点Q,使△PQT是等腰直角三角形?
若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
§8.17.(2013•成都)在平面直角坐标系中,已知抛物线
(b,c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限.
(1)如图,若该抛物线过A,B两点,求该抛物线的函数表达式;
(2)平移
(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上滑动,且与AC交于另一点Q.(i)若点M在直线AC下方,且为平移前
(1)中的抛物线上的点,当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点M的坐标;(ii)取BC的中点N,连接NP,BQ.试探究
是否存在最大值?
若存在,求出该最大值;若不存在,请说明理由.