山东中考数学专题训练3类比拓展类探究10道.docx

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山东中考数学专题训练3类比拓展类探究10道

类比、拓展类探究

1．

（1）【观察猜想】

如图①，点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则线段BC、BD、CE之间的数量关系为________；

（2）【问题解决】

如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝4，AB＝2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD的长；

（3）【拓展延伸】

如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，

CB＝4，AB＝2，DC＝DA，请直接写出BD的长．

第1题图

解：

（1）BC＝CE＋BD；

【解法提示】∵∠B＝90°，∠DAE＝90°，

∴∠D＋∠DAB＝∠DAB＋∠EAC＝90°，

∴∠D＝∠EAC，

∵∠B＝∠C＝90°，AD＝AE,

∴△ADB≌△EAC，

∴BD＝AC，EC＝AB，

∴BC＝AB＋AC＝CE＋BD；

（2）如解图①，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，

第1题解图①

易证△ABC≌△DEA，

∴DE＝AB＝2，AE＝BC＝4，

∴BE＝AB＋AE＝6，

在Rt△BED中，由勾股定理得BD＝＝2；

（3）BD的长为3.

【解法提示】如解图②，过点D作DE⊥BC于点E，作DF⊥AB交BA的延长线于点F，则四边形BEDF为矩形．

第1题解图②

易证△CED≌△AFD，

∴CE＝AF，ED＝DF，

∴四边形BEDF为正方形，

∴BE＝DF＝BF＝DE.

设AF＝x，DF＝y，

则，解得，

∴BF＝2＋1＝3，DF＝3，

在Rt△BDF中，由勾股定理得BD＝＝3.

2．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE＝OA，以OB，OC为邻边作▱OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF.

【问题发现】

（1）如图①，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是________，数量关系为________；

【拓展探究】

（2）如图②，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），

（1）中的两个结论是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论再给予证明；

【解决问题】

（3）如图③，若△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝2，BC＝3，请你直接写出线段EF的长．

第2题图

解：

（1）EF⊥BC，EF＝BC；

【解法提示】如解图①，连接AH，

第2题解图①

∵四边形OBFC是平行四边形，

∴BH＝HC＝BC，OH＝HF，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，AH⊥BC，

∴AH＝BC，

∵OA＝AE，OH＝HF，

∴AH是△OEF的中位线，

∴AH∥EF，AH＝EF，

∴EF⊥BC，BC＝EF，

∴EF⊥BC，EF＝BC.

（2）EF⊥BC仍然成立，但EF＝BC.

证明：

如解图②，连接AH，

第2题解图②

∵四边形OBFC是平行四边形，

∴BH＝HC＝BC，OH＝HF，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AH⊥BC，AH＝BH＝BC，

∵OA＝AE，OH＝HF，

∴AH是△OEF的中位线，

∴AH∥EF，AH＝EF，∴EF⊥BC，BC＝EF，

∴EF⊥BC，EF＝BC；

（3）线段EF的长为.

【解法提示】如解图③，连接AH，

第2题解图③

∵四边形OBFC是平行四边形，

∴BH＝HC＝BC，OH＝HF，

∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝2，BC＝3，

∴AH＝＝，

∵OA＝AE，OH＝HF，

∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝EF，

∴EF＝2AH＝.

3．在等边△ABC中，F为BC的中点，D为BC上的动点，以AD为边作等边△ADE，过点F作AB的平行线FG，交AE于点G.

【特例发现】

（1）如图①，当点D与点F重合时，直线CE和AB的位置关系是________；DG与AE的位置关系是________．

【类比探究】

（2）如图②，当点D移动到如图所示的位置时，上述结论还成立吗？

如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．

【拓展延伸】

（3）如图③，在四边形ABCD中，AB＝AC＝BC，∠ADB＝60°，过点A作AE⊥BD于点E，过点E作EF∥CD交AC于点F，若AD＝5，CD＝，请直接写出线段EF的长度．

第3题图

解：

（1）CE∥AB；DG⊥AE.

【解法提示】∵△ABC与△ADE为等边三角形，

∴AB＝AC，AF＝AE，∠BAC＝∠FAE＝∠ABF＝60°，

∵∠BAC＝∠BAF＋∠FAC，∠FAE＝∠FAC＋∠CAE，

∴∠BAF＝∠CAE，∴△ABF≌△ACE，

∴∠ACE＝∠ABF＝60°，∴∠BAC＝∠ACE，∴CE∥AB，

∵AB∥FG，∴CE∥FG∥AB，

∵点F为BC的中点，∴点G为AE的中点，

∵△AEF为等边三角形，∴DG⊥AE.

（2）结论仍然成立．

证明如下：

∵△ABC和△DAE均为等边三角形，

∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC，AD＝AE，

∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE，

∴∠ACE＝∠ABF＝60°，∴∠ACE＝∠BAC，∴AB∥CE.

∵FG∥AB，∴AB∥FG∥CE，

∵点F是BC的中点，∴点G是AE的中点，

∵△ADE为等边三角形，∴DG⊥AE.

（3）线段EF的长为.

【解法提示】如解图，过点A作AG＝AD，交BD于点G，延长EF交AD于点H，

第3题解图

∵∠ADB＝60°，AB＝AC＝BC，

∴△ABC和△ADG均为等边三角形，

∴∠BAC＝∠DAG＝∠AGD＝60°，AG＝AD＝5，

∴∠BAG＝∠CAD，∠AGB＝120°，∴△ABG≌△ACD，

∴∠AGB＝∠ADC＝120°，∴∠CDE＝120°－60°＝60°.

又∵∠AGD＝60°，∴CD∥AG.

∵EF∥CD，∴EF∥CD∥AG.

在等边△ADG中，∵AE⊥GD，

∴点E是DG的中点，∴点H是AD的中点，

∴EH是△ADG的中位线，∴EH＝AG＝.

在△ACD中，∵FH∥CD，

∴FH是△ACD的中位线，∴FH＝CD＝，

∴EF＝EH－FH＝－＝.

4．【问题发现】

（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则线段BE、EF、DF之间的数量关系为________；

【拓展探究】

（2）如图②，在△ADC中，AD＝2，CD＝4，∠ADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值？

若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；

【解决问题】

（3）如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长是否存在最大值？

若存在，请直接写出其最大值；若不存在，请说明理由．

第4题图

解：

（1）BE＋DF＝EF；

【解法提示】如解图①，延长CD至点G，使得DG＝BE，

第4题解图①

∵在正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADG＝90°，

∴△ABE≌△ADG，

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，

∴∠BAE＋∠DAF＝45°，

∴∠DAG＋∠DAF＝45°，即∠GAF＝∠EAF，

又∵AF＝AF，

∴△AEF≌△AGF，

∴EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF.

（2）存在．

在等边△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，

如解图②，将△ABD绕着点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接DE.

第4题解图②

由旋转可得，CE＝AD＝2，BD＝BE，∠DBE＝60°，

∴△DBE是等边三角形，∴DE＝BD，

∵DE≤DC＋CE＝4＋2＝6，

∴当D、C、E三点共线时，DE存在最大值，且最大值为6，∴BD的最大值为6；

（3）存在，AC的最大值为2＋2.

【解法提示】如解图③，以BC为边作等边△BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，则BC＝BE，∠CBE＝60°.

F

第4题解图③

∵AB＝AD，∠BAD＝60°，

∴△ABD为等边三角形，

∴AB＝BD，∠ABD＝60°.

∴∠ABD＋∠CBD＝∠CBE＋∠CBD，即∠ABC＝∠DBE，

∵AB＝BD，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，

∴△ABC≌△DBE，

∴AC＝DE，

∵在等边△BCE中，EF⊥BC，

∴BF＝BC＝×4＝2，

∴EF＝BF＝×2＝2，

以BC为直径作⊙F，则点D在⊙F上，连接DF，

∴DF＝BC＝2，

∴AC＝DE≤DF＋EF＝2＋2，

即AC的最大值为2＋2.

5.【问题发现】

（1）如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE；

填空：

①∠AEB的度数为________；

②线段AD、BE之间的数量关系为________．

【拓展探究】

（2）如图②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由；

【解决问题】

（3）如图③，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．

第5题图

解：

（1）①60°；②AD＝BE；

【解法提示】①∵△ABC和△DCE均为等边三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，

∵∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠ADC＝∠BEC，AD＝BE，

∵∠CDE＝∠CED＝60°，

∴∠ADC＝∠BEC＝120°，

∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60°.

②由①得△ACD≌△BCE，

∴AD＝BE.

（2）∠AEB＝90°，AE＝BE＋2CM；

理由：

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC＝180°－45°＝135°，

∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.

在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，

∴CM＝DM＝ME，

∴DE＝2CM，

∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM.

（3）或.

【解法提示】∵PD＝1，∠BPD＝90°，

∴BP是以点D为圆心，以1为半径的⊙D的切线，点P为切点．

第一种情况：

如解图①，过点A作AM⊥BP于点M，过点A作AP的垂线，交BP于点P′，

可证得△APD≌△AP′B，

∴PD＝P′B＝1，AP′＝AP，

∵CD＝，

∴BD＝2，

∵PD＝1，

∴PB＝，

∴AM＝PP′＝（PB－P′B）＝.

第5题解图

第二种情况：

如解图②，同理可得AM＝PP′＝（PB＋BP′）＝.

综上所述，点A到BP的距离为或.

6．如图①，以▱ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF，使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G.

（1）猜想BG与EG的数量关系，并说明理由；

（2）延长DE，BA交于点H，其他条件不变，

①如图②，若∠ADC＝60°，求的值；

②如图③，若∠ADC＝α（0°<α<90°），直接写出的值．（用含α的三角函数表示）

第6题图

解：

（1）BG＝EG；

理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∵四边形CDEF是菱形，

∴EF＝CD，EF∥CD，

∴AB＝EF，AB∥EF，

∴∠BAG＝∠EFG，∠ABG＝∠FEG，

∴△ABG≌△FEG（ASA），∴BG＝EG；

（2）①由

（1）知△ABG≌△FEG，

∴AG＝FG，

设CD＝a，FG＝b，则AB＝a，AG＝b，

∵四边形CDEF是菱形，∠ADC＝60°，

∴△EFD是等边三角形，∠FDE＝60°，

∴DF＝CD＝a，

∵AB∥CD，∴∠HAD＝60°，∴△ADH是等边三角形，

∴AH＝AD＝DF＋FG＋AG＝a＋2b，

∴BH＝AB＋AH＝a＋a＋2b＝2a＋2b，

∵DG＝DF＋FG＝a＋b，

∴＝＝；

②＝cosα.

【解法提示】如解图，分别过点C、H作CO⊥AD于点O，HN⊥AD于点N，

第6题解图

∵△ABG≌△FEG，∴AG＝FG，

设CD＝a，FG＝b，则AB＝a，AG＝b，

∵四边形CDEF是菱形，∠ADC＝α，

∴∠ADH＝α，∴DF＝2DO＝2acosα，

∴AD＝DF＋FG＋AG＝2acosα＋2b，

∵AB∥CD，∴∠HAD＝∠ADC＝α，

∴AN＝AD＝acosα＋b，

∴AH＝＝，

∴BH＝AB＋AH＝a＋＝，

∵DG＝DF＋FG＝2acosα＋b，

∴＝＝cosα.

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ.

（1）如图①，当点P在线段BC上时，线段BQ与CP的数量关系为________；

（2）如图②，当点P在CB延长线上时，

（1）中结论是否成立？

若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图③，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝15°，BP＝4，请直接写出BQ的长．

第7题图

解：

（1）BQ＝CP；

【解法提示】如解图①，连接OQ，

第7题解图①

∵PQ是由OP旋转60°得到的，

∴△OPQ是等边三角形，∴∠POQ＝60°，OP＝OQ.

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∵点O是AB的中点，

∴OC＝OB，

∴△OCB是等边三角形，

∴∠COB＝60°＝∠POQ，

∴∠COP＝∠BOQ，

∵CO＝BO，OP＝OQ，

∴△COP≌△BOQ，

∴CP＝BQ；

（2）成立，证明如下：

如解图②，连接OQ，

第7题解图②

∵线段PQ是由线段PO绕点P旋转60°得到的，

∴△PQO是等边三角形，

∴OQ＝OP，∠POQ＝60°.

∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝60°，

∵点O是AB的中点，

∴OC＝OB，∴△OBC是等边三角形，

∴∠COB＝60°＝∠POQ，

∴∠COB＋∠BOP＝∠BOP＋∠POQ，

即∠COP＝∠BOQ，

∵OC＝OB，PO＝OQ，

∴△COP≌△BOQ，

∴CP＝BQ；

（3）BQ的长为4－4.

【解法提示】如解图③，连接OQ，

第7题解图③

∵线段PQ是由线段PO绕点P旋转60°得到的，

∴△PQO是等边三角形，

∴∠POQ＝60°，PO＝OQ，

由

（2）知△OBC是等边三角形，

∴OB＝OC，∠BOC＝∠POQ＝60°，

∴∠BOQ＝∠COP，∴△COP≌△BOQ，

∴CP＝BQ，∠CPO＝∠BQO，

过Q作QD⊥BP于D，

∵∠QPO＝∠PQO＝60°，∠BPO＝15°，

∴∠QPD＝45°，

∵∠QDP＝90°，

∴∠PQD＝45°，

∴PD＝DQ，

∴∠DQO＝15°，

∵∠BQO＝∠BPO＝15°，

∴∠BQD＝30°，

∴BQ＝2BD，PD＝QD＝BD，

∴BP＝DB＋PD＝BD＋BD，

∵BP＝4，∴BD＝2－2，

∴BQ＝2BD＝4－4.

8．在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE＝α，点E在△ABC的内部，连接EC，EB和BD，并且∠ACE＋∠ABE＝90°.

（1）如图①，当α＝60°时，线段BD与CE的数量关系为________，线段EA，EB，EC的数量关系为________；

（2）如图②，当α＝90°时，请写出线段EA，EB，EC的数量关系，并说明理由；

（3）在

（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC＝2，请直接写出△BDE的面积．

第8题图

解：

（1）BD＝CE；BE2＋CE2＝EA2；

【解法提示】∵∠ABC＝∠ADE＝α＝60°，DA＝DE，BA＝BC，

∴△ADE,△ABC是等边三角形，

∴∠DAE＝∠BAC＝60°，

∴∠DAB＝∠EAC，

∵DA＝EA，BA＝AC，

∴△DAB≌△EAC，

∴BD＝CE，∠DBA＝∠ECA，

∴∠DBA＋∠ABE＝∠ECA＋∠ABE＝90°，

∴BD2＋BE2＝DE2.

∵△ADE是等边三角形，

∴DE＝AE，

∴BD2＋BE2＝AE2即EC2＋EB2＝EA2.

（2）CE2＋BE2＝AE2；

理由如下：

∵∠ADE＝∠ABC＝90°，

∴∠DAE＝∠BAC＝45°，AE＝AD，AC＝AB，

∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB∽△EAC，

∴∠DBA＝∠ECA，＝＝，

∴∠DBE＝90°，∴BD2＋BE2＝DE2，

即（CE）2＋BE2＝（AE）2，

则CE2＋BE2＝AE2；

（3）2.

【解法提示】如解图，

第8题解图

∵∠EBC＋∠EBA＝90°，∴∠EBC＝∠ECA，

∴∠EBC＋∠ECB＝∠ECA＋∠ECB＝∠BCA＝45°，

∵点D，E，C在一条直线上，∴∠BED＝45°，

∵∠DBE＝90°，∴∠BDE＝45°，∴BD＝BE，

设BD＝x，则DE＝CE＝AD＝x，

在Rt△ADC中，AC＝BC＝2，AD2＋CD2＝AC2，

即（x）2＋（2x）2＝

（2）2，解得x＝2或x＝－2（舍）．

则S△BDE＝BD·BE＝×2×2＝2.

9．已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G.

（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF.求证：

DE·CD＝CF·AD；

（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：

当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得DE·CD＝CF·AD成立？

并证明你的结论；

（3）如图③，若BA＝BC＝3，DA＝DC＝4，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出的值．

第9题图

（1）证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠FDC＝90°，

∵CF⊥DE，

∴∠DGF＝90°，

∴∠ADE＋∠CFD＝90°，∠ADE＋∠AED＝90°，

∴∠CFD＝∠AED，

∵∠A＝∠CDF，

∴△AED∽△DFC，

∴＝，

∴DE·CD＝CF·AD；

（2）解：

当∠B＋∠EGC＝180°时，DE·CD＝CF·AD成立．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，

∴∠B＋∠A＝180°，

∵∠B＋∠EGC＝180°，

∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，

∵∠FDG＝∠EDA，

∴△DFG∽△DEA，∴＝，

∵∠B＝∠ADC，∠B＋∠EGC＝180°，∠EGC＋∠DGC＝180°，

∴∠CGD＝∠CDF，

∵∠GCD＝∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴＝，

∵＝，＝，∴DE·CD＝CF·AD，

即当∠B＋∠EGC＝180°时，DE·CD＝CF·AD成立；

（3）解：

＝.

【解法提示】如解图，过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，

第9题解图

∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD.

∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，

∴四边形AMCN是矩形，

∴AM＝CN，AN＝CM，

在△BAD和△BCD中，，

∴△BAD≌△BCD（SSS），

∴∠BCD＝∠A＝90°，

∴∠ABC＋∠ADC＝180°，

∵∠ABC＋∠CBM＝180°，

∴∠MBC＝∠ADC，

∵∠CND＝∠M＝90°，

∴△BCM∽△DCN，

∴＝，

∴＝，

∴CM＝x，

在Rt△CMB中，CM＝x，BM＝AM－AB＝x－3，由勾股定理得：

BM2＋CM2＝BC2，

∴（x－3）2＋（x）2＝32，解得x＝0（舍去），x＝，

∴CN＝，

∵∠A＝∠FGD＝90°，

∴∠AED＋∠AFG＝180°，

∵∠AFG＋∠NFC＝180°，

∴∠AED＝∠CFN，

∵∠A＝∠CNF＝90°，

∴△AED∽△NFC，

∴＝＝＝.

10.已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在BC、AC边上，连接BE、AD交于点P.设AC＝kBD，CD＝kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：

（1）如图①，若k＝1，则∠APE的度数为；

（2）如图②，若k＝，试问

（1）中的结论是否成立？

若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数；

（3）如图③，若k＝，且D、E分别在CB、CA的延长线上，

（2）中的结论是否成立，请说明理由．

第10题图

解：

（1）45°；

（2）

（1）中的结论不成立，理由如下：

作AF∥CB，BF∥AD，AF、BF相交于点F，连接EF，交AD于点H，

如解图①，∵AF∥CB，BF∥AD，

第10题解图①

∴∠FBE＝∠APE，∠FAC＝∠C＝90°，四边形ADBF是平行四边形．

由题意知AC＝BD，CD＝AE，

∴＝＝，

又∵BD＝AF，

∴＝＝，

又∵∠FAC＝∠C＝90°，

∴△FAE∽△ACD，

∴＝＝＝，∠FEA＝∠ADC，

又∵∠ADC＋∠CAD＝90°，

∴∠FEA＋∠CAD＝90°＝∠EHD，

∵AD∥BF，

∴∠EFB＝90°，

在Rt△EFB中，tan∠FBE＝＝，

∴∠FBE＝30°，∴∠APE＝30°，

∴

（1）中结论不成立；

（3）

（2）中的结论成立，其理由如下：

如解图②，作EH∥CD，DH∥BE，DH、EH相交于点H，连接AH，

第10题解图②

∵EH∥CD，DH∥BE，

∴∠APE＝∠ADH，∠HEC＝∠C＝90°，四边形EBDH是平行四边形，

∴BE＝DH，EH＝BD，

由题意知AC＝BD，CD＝AE，

∴＝＝，

又∵BD＝EH，

∴＝＝，

又∵∠HEA＝∠C＝90°，

∴△ACD∽△HEA，

∴＝＝，∠ADC＝∠HAE，∠CAD＋∠ADC＝90°，

∴∠HAE＋∠CAD＝90°，∴∠HAD＝90°，

在Rt△DAH中，tan∠ADH＝＝，

∴∠ADH＝30°，

∴∠APE＝30°.