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数学能力的学习报告

宜宾县二中吴巧容

培养学生的数学能力是中学数学教学的主要目的之一，发展学生的数学能力，是数学学习目标的一个重要组成部分，从数学学习本身来说，数学能力直接参与其中并起着重要的作用，因此，很有必要谈谈数学学习与数学能力之间的关系，分析数学能力的结构，研究如何随着数学学习的深入，使数学能力不断得到发展与提高。

（一）数能力的意义

心理学认为，能力是符合活动要求，影响活动效果的个性心理特征的综合。

即能力对活动效率有直接影响，是一种相对稳定的个性心理特征，是在活动中形成，活动中体现，活动中发展的。

　数学能力是一种特殊的能力，数学能力是顺利完成数学活动所必备且直接影响其活动效率的一种个性心理特征，它是在数学活动中形成和发展起来的，并主要在这类活动中表现出来的比较稳定的心理特征。

在这里要弄清数学能力的含义，就必须要涉及到数学活动的水平问题

究竟什么是数学能力？

许多数学家和数学教育学家对此给出个不同的答案，罪有影响力的是克鲁捷茨基在他的《中小学心从一般能力理学》中从从一般能力出发来研究数学能力。

他从两个方面看待数学能力;

把数学能力看做创造性能力——科学的数学活动方面的能力，，这种能力能产生对人类有意义的新成果和新成就，对社会做出有价值的贡献。

把数学能力看做一般学习能力——学习（学会，掌握）数学（中小学数学课程）的能力，迅速而顺利的掌握适当的知识和技能的能力

数学能力包含两种不同层次的能力水平，即学习数学的能力和研究数学的能力，这两种数学能力既有区别又有联系。

研究数学的能力体现出一种创造性能力，学习数学的能力是创造性数学能力的一种表现，是创造性数学能力的初级阶段。

以下讨论中，数学能力指的是学习数学的能力。

二数学能力的结构分析

（一）数学能力的成分

数学能力的基本成分及结构是什么？

目前国内外学者尚无统一的看法，具有代表性的观点有如下几种。

瑞典心理学家魏德林（I．Werdelin）运用因素分析数学能力的各种成分，

把数学能力分成5种成分，

（1）普通因素G，即一般能力

（2）数字因素N即数学运算能力

（3）空间因素，空间观察和空间能力

（4）语言因素，语言推理能力

（5）推理因素R.归纳推理与演绎推理能力。

魏德林认为，推理因素是数学能力结构中起决定作用的因素，即逻辑思维能力是数学能力的核心。

前苏联心理学家克鲁捷茨基系统地研究了数学能力的性质和结构，提出数学能力是由九种成分组成：

①概括数学材料的能力；②能使数学材料形式化、并用形式的结构，即关系和联系的结构来进行运算的能力；③能用数学和其他符号来进行运算的能力；④连续而有节奏的逻辑推理能力；⑤缩短推理过程的能力，即用缩短了的结构进行思维的能力；⑥逆转心理过程的能力；⑦思维的灵活性——从一种心理运算转向另一种心理运算的能力；⑧数学记忆，主要指对概括内容、形式化结构和逻辑模式的记忆能力；⑨形成空间概念的能力。

①克鲁捷茨基：

《中小学生数学能力心理学》，上海上海教育出版社，1983。

克鲁捷茨基的观点体现了从数学特点出发，数学能力有别于其他学科能力的特征，比较完整、系统的规范了数学能力结构。

在我国，俞平教授的《中小学的数学能力>>中对数学能力系统进行了重构，数学能力结构在整体上应当分为三个层面，这三个层面是指数学能力各因素的特征，将其分为三大类，

第一类数学元能力:

自我监控能力

第二类共同任务能力；数学阅读能力，数学概括能力，数学变化能力，逻辑思维能力，空间思维能力，

第三类特定任务能力：

上述各观点从不同角度探讨了数学能力的成分，虽然各家观点不尽相同，但认为数学思维能力是数学能力的核心却为共识。

传统心理学把能力分为一般能力和特殊能力两种结构，我们认为，一般能力因素中的观察力、注意力和记忆力是数学能力中的必要成分，称为数学一般能力；而作为特殊能力的运算能力、数学思维能力和空间想象能力，则是数学能力中的另一组成部分，称为数学的特殊能力。

因此，数学能力的成分应包括数学一般能力和数学特殊能力，其中数学一般能力由数学观察能力、数学注意能力及数学记忆能力组成；数学特殊能力由数学运算能力、数学思维能力和数学空间想象能力组成。

数学思维能力是数学能力结构的核心，它包括概括能力、逻辑思维能力、数学问题解决能力、直觉思维能力以及创造思维能力。

这样能力因素相互联系，彼此交织，组成一个复合的、多层次的体系，这就是数学能力结构。

（二）数学一般能力

　1．数学观察能力

数学观察能力指对用符号、字母、数字所表示的或文字所表示的数学关系式、命题、问题及对图表、图象、几何图形的结构特点的观察能力，即对概括化、形式化、空间结构和逻辑模式的识别能力。

例如，要从一个复杂的图形中找出某一特殊图形；要从一个代数式或方程组中发现有关系数、指数之间的某些特定关系；要从一个推理过程或从某些数学内容之间发现一定的逻辑关系等，都表现出数学观察能力的作用。

实验表明，优生与差生的数学观察能力是有差异的。

例如，解方程　　

法去解，而善于观察的学生则会在通过观察方程的结构后，很快地发现方程无解。

又如，对于题目：

已知a1，a2，a3，a4为非零实数，且满足等式（a12+a22）a42-2a2a4（a1+a3）+a22+a32=0，求证a1，a2，a3成等比数列。

若不注意对题目进行观察，将其展开，则使计算复杂化。

若注意到a1，a2，a3，a4为非零实数，就可以把等式看成以a4为未知数的方程，且△≥0，由此很快便使问题得

2．数学注意能力

数学注意能力指在数学活动中，对数学关系和数学问题及思维过程和情感体验的注意能力。

按人对所指向认识活动的深度不同，注意可分为内部注意和外部注意。

内部注意是对本身的思想、情感或体验的注意，外部注意则是指对周围的对象和现象的注意。

注意又可分为无意注意和有意注意。

无意注意指没有人的任何意图，没有自觉目的，不要求在意志努力的情况下引起的注意；有意注意是指自觉的、有预定目的的注意。

具有较强数学注意能力的学生，表现在内部注意上有良好的自我评价意识，在外部注意上不但善于用分析的态度对某个对象的局部或个别属性加以注意，而且善于用综合的态度对对象的整体或全部特征属性加以注意。

实验研究表明，有意注意是直接影响注意能力提高或减弱的重要因素，因此，为了培养学生的数学注意能力，在教学中应注意充分地引发和保持学生的有意注意。

3．数学记忆能力

数学记忆能力是指记忆抽象概括的数学规律，形成结构，知识系统，推理模式和解题方法的能力研究表明，数学能力并不是与数学记忆能力成正比的，但数学能力的发展和提高又与数学记忆能力密切相关。

因为数学的学习过程首先是掌握知识的过程，而掌握知识必须利用原有的知识对新知识进行同化和顺应，如果知识不能在一定的时候再现和回忆起来，那么便无从对新知识进行理解、概括和运用，也就谈不上使数学能力得以提高。

数学记忆包括：

①对数学材料的背景事实及本质属性的记忆；②对数学概念、命题的结构形式的记忆；③对概念之间、命题之间关系的记忆；④对数学问题类型及解题模式的记忆。

教学实践表明，数学能力强的学生，数学记忆突出表现为③④，而数学能力差的学生在③④上表现形式不明显，这说明数学能力与数学记忆能力的相关性，而数学记忆能力的强弱又与记忆的选择性直接相关。

（三）数学特殊能力

数学特殊能力包括数学运算能力、数学思维能力和空间想象能力

1．数学运算能力

数学运算能力指能合理地、简捷地、灵活地、正确地完成数学运算的能力。

这里的“运算”包括各种数字计算，各种数学式子及方程的变形，函数、向量、极限、微积分、逻辑代数的运算等。

数学运算能力是在掌握各种运算法则和形成一定的运算技能基础上发展起来的，表现在灵活运用运算法则、性质、公式方面。

同时，运算能力又不是孤立发展的，它与观察能力、记忆能力、推理能力及空间

=0。

若采用展开方程左边的方法去解，则解答是很繁的，通过观察发现，　　

方法体现了运算的合理、简捷和灵活性。

显然这种运算能力受到观察能力、推理能力的制约，学生不熟记各种数据和公式，就无法进行各种运算；缺乏观察能力，运算就带有盲目性，就不可能进行合理、简捷的运算；缺乏逻辑思维能力，就无法保证运算的灵活性和正确性另一方面，运算能力又是从简单到复杂，从低级到高级，从具体到抽象发展的。

例如，由三角形到多边形再到曲边梯形的面积计算，计算方法由割补法到代数法再到三角函数法、行列式法，最后发展为积分法，运算能力就是在这种过程中得到发展的，同时，运算能力的这种发展过程又促进了其他能力的发展。

2．逻辑思维能力

　数学逻辑思维能力，是已有数学信息运用数学推理的方式进行思维的能力。

逻辑思维包括形式逻辑思维和辩证逻辑思维。

形式逻辑思维就是依据形式逻辑的规则来反映数学对象、结构及其关系，达到对其本质特征和内在联系的认识过程。

辩证逻辑思维是逻辑思维发展的高级阶段，它是从运动过程及矛盾相互转化中去认识客体，遵循质量互变、对立统一及否定之否定等规律去认识事物本质的过程。

数学是一门逻辑性、系统性强，论证严谨的学科，数学中的公式、法则、定理和规律，都必须通过逻辑思维去进行推导、归纳和总结而获得，其概念、判断和推理是建立在逻辑基础上的，没有一定的逻辑思维能力，就不可能学好数学。

因此，逻辑思维能力是数学能力结构中一个主要的、重要的能力要素。

3．空间想象能力

空间想象能力指正确运用空间或图象反映和掌握事物的空间特性和关系的能力。

想象是一种特殊的形象思维，它以感性材料为基础，并且具有直观形象和抽象概括两方面认识事物的特点。

空间图形的想象是在对实物模型进行观察、分解组合、抽象概括的基础上，通过按一定规则作出图形和由图形想象出它的空间形状、大小、位置关系而形成的。

空间想象能力和观察、概括、逻辑思维能力紧密联系，是学生学习、掌握和运用数学必须具备的能力。

三形成和发展数学能力的基本途径

数学能力的形成发展是在数学学习中实现的，但并非任意的数学学习都能促进数学能力的形成和发展，有的甚至会起阻碍作用，因此有必要探讨;怎样的学习有利于促进数学能力的形成和发展，数学能力的强弱，主要体现在数学认知结构中和解决数学问题上，所以学习数学时需要考察怎样的内容，学习的方式和个性品质，能促进良好的数学能力的形成和发展，

（一）注重数学思想方法的学习

学习基本的数学思想方法是形成和发展数学能力的基础。

美国心理学家J.S.布鲁纳在《教育过程>>中学习学科的基本理论和观点，他认为有四点好处，第一懂得基本原理可以使学科更容易理解，第二学习基本原理，观点，有助于长期记忆，就是在部分知识遗忘的时候，也能得以重新构思起来，第三领会基本原理和概念是通向适当的“训练迁移”的大道，第四学习基本的原理和概念，能够缩小“高级知识”和“初级知识”的差距基本思想方法由通常数学（主要是中学数学）范围内的基本概念，原理，观念和方法提炼概括形成，一般有;

1符号化思想方法

数学中引进“符号”，是它很大的一个特点，采用符号化语言表达数学内容，使数学面貌焕然一新，采用符号语言，使复杂的内容与关系表现的十分简洁明白，并易于开展复杂的高难度的思维活动。

如用“A

B”表示“A是B的充分条件”或“B是A的必要条件”比用语普通语言叙述更为直观形象。

通常解决实际问题，总是使用符号把它化为数学问题，然后求解，如列方程解应用题。

2集合，对应思想方法

通常的函数思想方法，变更思想方法，数形结合思想方法等都是由集合对应数学方法衍生出来的，是数学更广为运用的十分重要的思想方法。

因此在数学学习中，不仅要理解掌握一个个有关的方法。

而且要从基本思想方法的高度，吧它们加以概括，以便于今后的学习和提高分析问题和解决问题的能力

3极限思想方法

中学数学中的圆的周长与面积，球面面积，圆锥曲线的切线等都是建立在极限思想方法的基础上，对一些问题的看法如把点看成半径为元O的圆或长短半轴为O的椭圆，平行线看成相交于无限远的二直线，以及有限与无限之间，曲与直之间的矛盾转化，都体现着朴素的直观的极限思想。

4公理化思想方法

公理化思想方法就是建立一个数学理论系统时，选取若干原始概念（或基本概念）和公里，组成公里系统，

（一）重视一般科学思想方法的训练并以此为基础，要求一切新的概念都用原始概念后以定义的概念来给予定义，一切新的命题的真实性都要以公里或已证明为真的命题即定理作为根据来加以证明，同时对公里系统需满足无矛盾性，独立性和完备性的要求。

中学数学同样体现着公理化数学方法，特别在平面几何，立体几何中，这种思想方法对推动数学发展起着重要作用，在训练逻辑思维，培养数学思维能力方面有很重要的作用。

（二）重视一般数学思想方法的训练

数学能力是在数学活动中形成，并随着数学活动的深入而不断向前发展与提高。

因此，怎样开展数学活动，或采用怎么的学习方式，就直接影响到数学能力的形成与发展。

从分析数学活动情况可知，其中经常起作用的是一般科学思想方法，如观察，实验，联想，类比，分析，综合，归纳，演绎，一般化，特殊化等等。

（三）知识的精炼与其运用相结合

学习中要注意知识的不断精炼与运用，这种可促进数学能力的形成和提高，在日常的学习中应注意一下几点;

在学习中，知识的精炼石一项经常性的工作，要从小到大，从局部到整体，学生不仅在学过一个单元后，要对知识技能进行归纳整理，而且还要在这基础上，对整节整章和整本书的内容进行整理，提炼。

在对知识的精炼过程中，不是罗列学过的概念，定理，公式法则等，而是建立知识间的内在联系，分清主次，找出其基本思想方法，并能反应出这部分内容的规律，特点，例如平面几何的面积，勾股定理这一章，如果仅列出有关图形的面积计算公式和勾股定理，那么还不能说是对知识的精炼，只有建立起各图形的面积公式之间的联系，找出本章的特殊思想方法，割补法，等积变形，用这一思想方法概括全章，才能达到对知识精炼的目的

（2）对知识要深刻领会，灵活运用。

（四）发展良好的个性品质

数学能力的形成和发展还受学习者自身某些个性品质的重要影响，如兴趣，勤奋和意志。

（1）对数学的热爱，对数学活动的浓厚兴趣，是发展数学能力的强大动力。

（2）勤奋是发展数学能力的重要条件。

（3）发展意志品质对促进能力的提高有密切的关系。

数学能力的提高，往往需要在学习过程中通过客服各种困难，经受种种磨练，并持之以恒，才有可能达到。

这期间靠的就是顽强的意志，缺乏它，就会严重影响能力的提高。

（4）促进数学能力的形成和发展一定要符合学生的心理发展规律，其中特别是感知，记忆，思维等

数学能力的形成与发展，除上述的学习者自身的因素外，还受到环境的重要影响，其中特别是受数学教师的影响，这是不严而语的了。

参考文献

（1）郑文君，张恩华《数学学习论》广西教育出版社出版日期:

1996

（2）喻平《数学教育心理学》北京师范大学出版.2010（3）鲍建生.周超《数学学习的教育心理基础与过程》，上海教育出版社，2009（3）克鲁捷茨基：

《中小学数学能力心理学》，上海教育出版社，1983（4）李笑忠，《能力心理学》，陕西人民教育出版社，1985