小学数学各类题型分类讲解高分必备.docx
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小学数学各类题型分类讲解高分必备
1归一问题
【含义】
在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。
这类应用题叫做归一问题。
【数量关系】
总量÷份数＝1份数量
1份数量×所占份数＝所求几份的数量
另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数
【解题思路和方法】
先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
例1：
3头牛4天吃了24千克的草料，照这样计算5头牛6天吃草_____千克。
解:
1、根据题意先算出1头牛1天吃草料的质量：
24÷3÷4=2（千克）。
2、那么5头牛一天吃2×5=10（千克）的草料。
3、那么6天就能吃10×6=60（千克）草料。
例2：
5名同学8分钟制作了240张正方形纸片。
如果每人每分钟制作的数量相同，并且又来了2位同学，那么再过15分钟他们又能做_____张正方形纸片？
解：
1、可以先算出5名同学1分钟能制作正方形纸片的数量，240÷8=30（张）。
2、再算出1名同学1分钟制作的数量，30÷5=6（张）。
3、现在有5+2=7（名）同学，每人每分钟做6张，要做15分钟，那么他们能做7×6×15=630（张）正方形纸片。
例3：
某车间用4台车床5小时生产零件600个，照这样计算，增加3台同样的车床后，如果要生产6300个零件，需要_____小时完成？
解：
1、4台车床5小时生产零件600个，则每台车床每小时生产零件600÷4÷5=30（个）。
2、增加3台同样的车床，也就是4+3=7（台）车床，7台车床每小时生产零件7×30=210（个）。
3、如果生产6300个零件，需要6300÷210=30（小时）完成。
2归总问题
【含义】
解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。
所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时走的总路程等。
【数量关系】
1份数量×份数＝总量 总量÷1份数量＝份数总量÷另一份数＝另一每份数量
【解题思路和方法】
先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。
例1：
王大伯家的干草够8只牛吃一个星期的，照这样计算，这些草够4只牛吃（ ）天？
解：
1、可以算出这些草够1只牛吃多少天，用8×7=56（天）。
2、算4只牛能吃多久，用56÷4=14（天）。
例2：
小青家有个书架共5层，每层放36本书。
现在要空出一层放碟片，把这层书平均放入其它4层中，每层比原来多放（ ）本书。
解：
方法一：
1、根据题意可以算出书架上有5×36=180（本）书。
2、现在还剩下5-1=4（层）书架。
3、所以每层书架上有180÷4=45（本）书。
比原来多45-36=9（本）书。
方法二：
也可以这样考虑，就是要把其中一层的36本书平均分到其他4层，所以每层比原来多放36÷4=9（本）书。
例3：
一个长方形的水槽可容水480吨，水槽装有一个进水管和一个排水管。
单开进水管8小时可以把空池注满；单开排水管6小时可以把满水池排空，两管齐开需要多少小时把满池水排空？
解：
1、要求两管齐开需要多少小时把满池水排光，关键在于先求出进水速度和排水速度，进水每小时480÷8=60（吨）；排水每小时480÷6=80（吨）。
2、当两管齐开，排水速度大于进水速度，即每小时排80-60=20（吨）。
3、再根据总水量就可以求出排空满池水所需的时间。
480÷20=24（小时）。
3和差问题
【含义】
已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
【数量关系】
大数＝（和＋差）÷2小数＝（和－差）÷2
【解题思路和方法】
简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。
例1：
两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多18千克，第一筐水果重_____千克，第二筐水果重_____千克。
解：
因为第一筐比第二筐重
1、根据大大数＝（和＋差）÷2的数量关系，可以求出第一筐水果重（150+18）÷2=84（千克）。
2、根据小数＝（和－差）÷2的数量关系，可以求出第二筐水果重（150-18）÷2=66（千克）。
例2：
登月行动地面控制室的成员由两组专家组成，两组共有专家120名，原来第一组人太多，所以从第一组调了20人到第二组，这时第一组和第二组人数一样多，那么原来第二组有（）名专家。
解：
1、原来从第一组调了20人到第二组，这时第一组和第二组人数一样多，说明原来第一组比第二组多20+20=40（人）
2、根据小数＝（和－差）÷2的数量关系，第二组人数应该为（120-40）÷2=40（人）。
例3：
某工厂第一、二、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人，三个车间各有多少人？
解：
1、第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人，那么第一车间就比第三车间多25人，因此第三车间的人数是（280-25-15）÷3=80（人）。
2、据此可得出第一、二车间的人数。
5差倍问题
【含义】
已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
【数量关系】
两个数的差÷（几倍－1）=较小的数较小的数×几倍=较大的数
【解题思路和方法】
简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1：
莉莉的科技书比故事书多16本，科技书是故事书3倍，莉莉有科技书（ ）本。
A、8
B、12
C、16
D、24
解：
1、解决差倍问题，可以画线段图解决，也可以直接套用公式解决。
2、把故事书的本数看作1倍数，科技书的本数就是3倍数，科技书比故事书多16本，所以根据差倍公式两个数的差÷（几倍－1）=较小的数，可以求出故事书有16÷2=8本。
3、根据差倍公式较小的数×几倍=较大的数，可以求出科技书有8×3=24本。
例2：
甲桶油是乙桶油4倍，如果从甲桶倒出15千克给乙桶，两桶油的重量就相等了，则原来甲桶有油____千克，乙桶有油____千克。
解：
1、根据题意，从甲桶倒出15千克给乙桶，两桶油的重量就相等了，说明原来甲桶油比乙桶油多15×2=30（千克）。
2、根据差倍公式两个数的差÷（几倍-1）=较小的数，可以求出乙桶有油30÷（4-1）=10（千克）。
3、根据差倍公式较小的数×几倍=较大的数，可以求出甲桶原有油10×4=40（千克）。
例3：
每件成品需要5个甲零件，2个乙零件。
开始时，甲零件的数量是乙零件数量的2倍，加工了30个成品之后甲零件和乙零件的数量一样多，那么还可以加工_____个成品。
解：
1、加工一个成品，甲零件比乙零件多用5-2=3（个），加工30个成品，甲零件比乙零件多用3×30=90（个）。
根据“加工了30个成品之后甲零件和乙零件的数量一样多”说明原来甲零件比乙零件多90个。
。
2、把乙原来的零件数看成1倍，甲就是这样的2倍，甲比乙多1倍，对应90个，求出乙原来有90÷（2-1）=90（个）
3、那么甲原来有90×2=180（个）零件。
4、每件成品需要5个甲零件，2个乙零件，那么加工30个成品，甲零件用了5×30=150（个），乙零件用了2×30=60（个），所以甲零件还剩180-150=30（个），乙零件还剩90-60=30（个）。
剩下的甲零件还能做30÷5=6（个）成品，剩下的乙零件还能做30÷2=15（个）成品。
因为每件成品需要甲、乙两种零件共同完成，所以剩下的零件数还可以加工6个成品。
6年龄问题
【含义】
已知两个或多个人年龄关系，求各自年龄或年龄关系，这类应用题叫做和倍问题。
【数量关系】
大数＝（和＋差）÷2小数＝（和－差）÷2总和÷（几倍+1）＝较小的数 总和-较小的数＝较大的数较小的数×几倍＝较大的数两个数的差÷（几倍－1）=较小的数较小的数×几倍=较大的数
【解题思路和方法】
年龄问题具有年龄同增同减，年龄差不变的特性。
年龄问题都可以转化为和差、和倍、差倍问题。
简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例1：
爸爸今年38岁，妈妈今年36岁，当爸爸42岁时，妈妈_____岁。
解：
1、本题考查的年龄差不变（简单），不管过了多少年年龄差是不变的。
2、爸爸比妈妈大2岁，根据不管过了多少年年龄差是不变的，当爸爸42岁时，妈妈是40岁。
例2：
姐姐今年15岁，妹妹今年12岁，当她们的年龄和是39岁时，那时妹妹_____岁。
解：
方法一：
1、利用年龄同增同减的思路。
2、姐妹俩今年的年龄之和是：
15+12=27（岁），年龄之和到达39岁时需要的年限是：
（39-27）÷2=6（年）。
3、那是妹妹的年龄是12+6=18（岁）。
方法二：
1、利用年龄差不变的思路。
2、两姐妹的年龄差为15-12=3（岁），再根据小数＝（和－差）÷2的公式，可以求出妹妹的年龄为（39-3）÷2=18（岁）。
例3：
爸爸今年50岁，哥哥今年14岁，_____年前，爸爸的年龄是哥哥的5倍。
解：
1、不管过了多少年，年龄差是不变的，当爸爸的年龄是哥哥的5倍时，年龄差仍是50-14=36（岁）。
2、问什么时候爸爸的年龄是哥哥的5倍，实际上年龄差就是哥哥的5-1=4倍。
3、根据两个数的差÷（几倍－1）=较小的数，可以求出哥哥当时的年龄是（50-14）÷4=9（岁）。
4、再根据题意可求出14-9=5（年）前。
例4：
今年姐妹两人的年龄和是50岁，曾经有一年，姐姐的年龄与妹妹今年的年龄相同，且那时姐姐的年龄恰好是妹妹年龄的2倍。
那么姐姐今年_____岁。
解：
1、当姐姐的年龄恰好是妹妹年龄的2倍时，我们设那时妹妹的年龄是1份，那么姐姐的年龄就是2份，那么姐姐与妹妹的年龄差就是1份。
2、因为那时姐姐的年龄与妹妹今年的年龄相同，所有妹妹今年的年龄也是2份。
因为年龄差不变，所以今年姐姐的年龄应该是2+1=3份。
3、今年姐妹两人的年龄和是50岁，对应2+3=5份，求出1份是50÷5=10（岁），那么姐姐今年是10×3=30（岁）。
7相遇问题
【含义】
两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。
这类应用题叫做相遇问题。
这类应用题叫做相遇问题。
【数量关系】
相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间
【解题思路和方法】
简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。
例1：
欢欢和乐乐在一条马路的两端相向而行，欢欢每分钟行60米，乐乐每分钟行80米，他们同时出发5分钟后相遇。
这条马路长（）。
解：
根据公式总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间，可以求出这条马路长（60＋80）×5=700（米）。
例2：
甲乙两车分别以不变的速度从AB两地同时出发，相向而行。
到达目的地后立即返回。
已知第一次相遇地点距离A地50千米，第二次相遇地点距离B地60千米，AB两地相距_____千米。
解：
1、本题考查的是二次相遇问题，灵活的运用画线段图的方法来分析是解决这类问题的关键。
2、画线段图
3、从图中可以看出，第一次相遇时甲行了50千米。
甲乙合行了一个全程的路程。
从第一次相遇后到第二次相遇，甲乙合行了两个全程的路程。
由于甲乙速度不变，合行两个全程时，甲能行50×2=100（千米）。
4、因此甲一共行了50+100=150（千米），从图中看甲所行路程刚好比AB两地相距路程还多出60千米。
所以AB两地相距150-60=90（千米）。
例3：
欢欢和乐乐在相距80米的直跑道上来回跑步，乐乐的速度是每秒3米，欢欢的速度是每秒2米。
如果他们同时分别从跑道两端出发，当他们跑了10分钟时，在这段时间里共相遇过_____次。
解：
1、根据题意，第一次相遇时，两人共走了一个全程，但是从第二次开始每相遇一次需要的时间都是第一次相遇时间的两倍。
（线段图参考例2。
）
2、根据“相遇时间=总路程÷速度和”得到，欢欢和乐乐首次相遇需要80÷（3+2）=16（秒）。
3、因为从第一次相遇结束到第二次相遇，欢欢和乐乐要走两个全程，所以从第二次开始每相遇一次需要的时间是16秒的2倍，也就是32秒，则经过第一次相遇后，剩下的时间是600-16=584（秒），还要相遇584÷32=18.25（次），所以在这段时间里共相遇过18+1=19（次）。
8追及问题
【含义】
两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。
这类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】
追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）
追及路程＝（快速－慢速）×追及时间
【解题思路和方法】
简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。
例1：
某警官发现前方100米处有一匪徒，匪徒正以每秒2米的速度逃跑。
警官赶紧以每秒3米的速度追，（ ）秒后警官可以追上这个匪徒。
解：
1、从警官追开始到追上匪徒，这就是一个追及过程。
根据公式：
路程差÷速度差=追及时间。
2、路程差为100米，警官每秒比匪徒多跑3-2=1（米），即速度差为1米/秒。
所以追及的时间为100÷1=100（秒）。
例2：
甲乙二人同时从400米的环形跑道的起跑线出发，甲每秒跑6米，乙每秒跑8米，同向出发。
那么甲乙二人出发后（ ）秒第一次相遇？
解：
1、由题可知，甲乙同时出发后，乙领先，甲落后，那么两人第一次相遇时，乙从后方追上甲，所以，乙的路程=甲的路程+一周跑道长度，即追及路程为400米。
2、由追及时间=总路程÷速度差可得：
经过400÷（8-6）=200（秒）两人第一次相遇。
例3：
小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时、48千米/时和42千米/时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。
那么甲、乙两地相距多远？
解：
1、根据题意，将较复杂的综合问题分解为若干个单一问题。
首先是小轿车和面包车的相遇问题；其次是面包车和大客车的相遇问题；然后是小轿车与大客车的追及问题。
最后通过大客车与面包车共行甲、乙两地的一个单程，由相遇问题可求出甲、乙两地距离。
2、画线段图，图上半部分是小轿车和面包车相遇时三车所走的路程。
图下半部分是第一次相遇30分钟之后三车所走的路程。
3、由图可知，当面包车与大客车相遇时，大客车与小轿车的路程差为小轿车与大客车30分钟所走的路程。
有小轿车与大客车的速度差，有距离，所以可以求出车辆行驶的时间。
（60+48）×0.5÷（60-42）=3（小时）。
4、由于大客车与面包车相遇，共行一个行程，所以AB两地路程为（42+48）×3=270（千米）。
9植树问题
【含义】
按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。
【数量关系】
线形植树：
一端植树：
棵数＝间隔数=距离÷棵距
两端植树：
棵数＝间隔数+1=距离÷棵距＋1
两端都不植树：
棵数＝间隔数-1=距离÷棵距-1
环形植树：
棵数＝间隔数=距离÷棵距
正多边形植树：
一周总棵数=每边棵数×边数-边数
每边棵树=一周总棵数÷边数+1
面积植树：
棵数＝面积÷（棵距×行距）
【解题思路和方法】
先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。
例1：
植树节到了，少先队员要在相距72米的两幢楼房之间种8棵杨树。
如果两头都不栽，平均每两棵树之间的距离应是多少米？
解：
1、本题考察的是植树问题中的两端都不栽的情况，解决此类问题的关键是要理解棵数比间隔数少1。
2、因为棵数比间隔数少1，所以共有8+1=9个间隔，每个间隔距离是72÷9=8米。
3、所以每两棵树之间的距离是8米。
例2：
佳一小学举行运动会，在操场周围插上彩旗。
已知操场的周长是500米，每隔5米插一根红旗，每两面红旗之间插一面黄旗，那么一共插红旗多少面，一共插黄旗多少面。
解：
1、本题考查的是植树问题中封闭图形间隔问题，本题中只要抓住棵数＝间隔数，就能求出插了多少面红旗和黄旗。
2、棵数＝间隔数，一共插红旗500÷5＝100（面），这一百面红旗中一共有100个间隔，所以一共插黄旗100面。
例3：
多多从一楼爬楼梯到三楼需要6分钟，照这样计算，从三楼爬到十楼需要多少分钟？
解：
1、本题考查的是植树问题中锯木头、爬楼梯问题的情况。
需要理解爬的楼层、锯的次数与层数、段数之间的关系，所在楼层=爬的层数+1；木头段数=锯的次数+1。
2、从一楼爬楼梯到三楼，需要爬2层，需要6分钟，所以每层需要6÷2=3（分钟）。
因此从三楼爬到十楼，需要（10-3）×3=21（分钟）。
例4：
时钟敲3下要2秒钟，敲6下要多少秒？
解：
1、本题考查的是植树问题中敲钟声问题，与锯木头爬楼问题类似，本题中只要抓住敲的次数＝间隔数+1。
2、时钟敲3下，中间有2个间隔，2个间隔需要2秒钟，那么1个间隔需要1秒钟。
时钟敲6下，中间有5个间隔，需要5秒。
10行船问题
【含义】
行船问题也就是与航行有关的问题。
解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。
【数量关系】
（顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2
【解题思路和方法】
简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。
例1：
某船在同一条河中顺水船速是每小时20千米，逆水船速是每小时10千米，这条河的水流速度是每小时_____千米？
解：
顺水船速=船速+水流速度，逆水船速=船速-水流速度，可以看出，顺水船速比逆水船速多2个水流速度，
因此，水流速度=（20-10）÷2=5（千米/时）。
例2：
某条大河水流速度是每小时5千米，一艘静水船速是每小时20千米的货轮逆水航行5小时能到达目的地，这艘货轮原路返回到出发地需要多少小时？
解：
1、逆水速度=静水船速-水流速度，所以货轮逆水速度是20-5=15（千米/时），行驶5小时共行了15×5=75（千米）。
2、原路返回时是顺水航行，顺水速度是静水船速+水速，即20+5=25（千米/时），所以返回用时75÷25=3（小时）。
例3：
小船在两个码头间航行，顺水需4小时，逆水需5小时，若一只木筏顺水漂过这段距离需_____小时？
解：
1、我们可以假设一个路程。
假设两个码头之间的距离是200千米，顺水需4小时，则顺水的速度是每小时200÷4=50（千米），逆水需5小时，则逆水的速度是每小时200÷5=40（千米）。
2、根据“水速=（顺水行驶速度-逆水行驶速度）÷2”得到，水流速度是每小时（50-40）÷2=5（千米）。
3、一只木筏顺水漂过的速度就是水流速度，所以木筏顺水漂过这段距离需要200÷5=40（小时）。
11列车问题
【含义】
与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。
【数量关系】
火车过桥：
过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速火车追及：
追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）火车相遇：
相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）
【解题思路和方法】
简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。
例1：
一列火车全长126米，全车通过611米的隧道需要67秒，火车的速度是多少米/秒？
解：
1、本题考查的是火车过桥的问题，解决本题的关键是知道火车完全经过隧道所走的路程是一个车身长＋隧道长，进而求出车速。
2、因此火车的速度为：
（126＋611）÷67＝11（米/秒）。
例2：
在两行轨道上有两列火车相对开来，一列火车长208米，每秒行18米，另一列火车每秒行19米，两列火车从相遇到完全错开用了12秒钟，那么另一列火车长多少米？
解：
两列火车从相遇到完全错开，所行路程之和刚好是它们的车身长度之和。
根据“路程和=速度和×时间”可得，另一列火车长=（18+19）×12-208=236（米）。
例3：
一列火车通过一座长90米的桥需要24秒，如果火车的速度加快1倍，它通过长为222米的隧道只用了18秒。
原来火车每秒行多少米？
解：
1、根据“火车的速度加快1倍，它通过长为222米的隧道只用了18秒”可知，如果火车用原来的速度通过222米的隧道，则要用18×2=36（秒）。
2、隧道比大桥长222-90=132（米），火车要多用36-24=12（秒）行驶这一段路程，根据速度=路程÷时间，可以求出原来火车每秒行132÷12=11（米）。
12时钟问题
【含义】
就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等，这类问题可转化为行程问题中的追及问题。
【数量关系】
分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为5.5度/分。
通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。
【解题思路和方法】
将两针重合，两针垂直，两针成一线，两针夹角60°等为“追及问题”后可以直接利用公式。
例1：
钟面上从时针指向8开始，再经过多少分钟，时针正好与分针第一次重合?
（精确到1分）
解：
1、此类题型可以把钟面看成一个环形跑道，那么本题就相当于行程问题中的追及问题，即分针与时针之间的路程差是240°。
2、分针每分钟比时针多转6°-0.5°=5.5°，所以需要240÷5.5≈44（分钟）。
也就是从8时开始，再经过44分钟，时针正好与分针第一次重合。
例2：
从早晨6点到傍晚6点，钟面上时针和分针一共重合了多少次？
解：
我们可以把钟面看成一个环形跑道，这样分针和时针的转动就可以转化成追及问题，从早晨6点到傍晚6点，一共经过了12小时，12个小时分针要跑12圈，时针只能跑1圈，分针比时针多跑12-1=11（圈），而分针每比时针多跑1圈，就会追上时针一次，也就是和时针重合1次，所以12小时内两针一共重合了11次。
例3：
一部记录中国军队时代变迁的纪录片时长有两个多小时，小明发现，纪录片播放结束时，手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下，这部纪录片时长多少分钟？
（精确到1分）
解：
1、解决本题的关键是认识到时针与分针合走的路程是1080°，进而转化成相遇问题来解决。
2、两个多小时，分针与时针位置正好交换，所以分针与时针所走的路程和正好是三圈，也就是分针和时针合走了360°×3=1080°，而分针和时针每分钟的合走6°+0.5°=6.5°，所以合走1080°需要1080÷6.5≈166（分钟），即这部纪录片时长166分钟。
13盈亏问题
【含义】
根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。
【数量关系】
一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：
参加分配总量＝（盈＋亏）÷分配差如果两次都盈或都亏，则有：
参加分配总量＝（大盈－小盈）÷分配差参加分配总量＝（大亏－小亏）÷分配差
【解题思路和方法】
大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
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