电大历年离散数学试题汇总.docx
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电大历年离散数学试题汇总
计算机科学与技术专业级第二学期离散数学试题
2012年1月
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．C2．C3．B4．A5．D
1．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．
A．10B．100C．1024D．1
2．设A={a,b}，B={1,2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={,}，R2={,,}，R3={,}，则（）是从A到B的函数．
A．R1和R2B．R2C．R3D．R1和R3
3．设A={1,2,3,4,5,6,7,8}，R是A上的整除关系，B={2,4,6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为（）．
A．8、2、8、2B．无、2、无、2
C．6、2、6、2D．8、1、6、1
4．若完全图G中有n个结点（n≥2），m条边，则当（）时，图G中存在欧拉回路．
A．n为奇数B．n为偶数C．m为奇数D．m为偶数
5．已知图G的邻接矩阵为
则G有（）．
A．6点，8边B．6点，6边
C．5点，8边D．5点，6边
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6．设集合A＝{a}，那么集合A的幂集是{,{a}}．
7．若R1和R2是A上的对称关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2，R2-R1中对称关系有4个．
8．设图G是有5个结点的连通图，结点度数总和为10，则可从G中删去1条边后使之变成树．
9．设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为3．
10．设个体域D＝{a,b}，则谓词公式（x）（A（x）∧B（x））消去量词后的等值式为（A（a）∧B（b））∧（A（a）∧B（b））．
三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）
11．将语句“今天有联欢活动，明天有文艺晚会．”翻译成命题公式．
设P：
今天有联欢活动，Q：
明天有文艺晚会，（2分）
P∧Q．（6分）
12．将语句“如果小王来，则小李去．”翻译成命题公式．
设P：
小王来，Q：
小李去（2分）
P→Q．（6分）
四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）
判断下列各题正误，并说明理由．
13．若偏序集的哈斯图如图一所示，
则集合A的最大元为a，极小元不存在．
错误．（3分）
对于集合A的任意元素x，均有R（或xRa），所以a是集合A中的最大元．（5分）
但按照极小元的定义，在集合A中b,c,d均是极小元．（7分）
14．┐P∧（P→┐Q）∨P为永假式．
错误．（3分）
┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式，
如果P的值为真，则┐P∧（P→┐Q）∨P为真，（5分）
如果P的值为假，则┐P与P→┐Q为真，即┐P∧（P→┐Q）为真，
也即┐P∧（P→┐Q）∨P为真，
所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．（7分）
另种说明：
┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式，
只要其中一项为真，则整个公式为真．（5分）
可以看到，不论P的值为真或为假，┐P∧（P→┐Q）与P总有一个为真，
所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．（7分）
或用等价演算┐P∧（P→┐Q）∨PT
五．计算题（每小题12分，本题共36分）
15．设集合A={1，2，3，4}，R={|x,yA；|xy|=1或xy=0}，试
（1）写出R的有序对表示；
（2）画出R的关系图；
（3）说明R满足自反性，不满足传递性．
15．
（1）R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>}（3分）
（2）关系图如图二：
图二（6分）
（3）因为<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R，即A的每个元素构成的有序对均在R中，故R在A上是自反的．（9分）
因有<2,3>与<3,4>属于R，但<2,4>不属于R，所以R在A上不是传递的．
（12分）
16．设图G=，V={v1，v2，v3，v4，v5}，E={（v1,v2），（v1,v3），（v2,v4），（v3,v5），（v4,v5）}，试
（1）画出G的图形表示；
（2）写出其邻接矩阵；
（3）求出每个结点的度数；
（4）画出图G的补图的图形．
16．
（1）关系图如图三：
（3分）
（2）邻接矩阵
（6分）
（3）deg（v1）=2
deg（v2）=2
deg（v3）=2
deg（v4）=2
deg（v5）=2（9分）
（4）补图如图四
（12分）
17．求PQ∧R的合取范式与主析取范式．
P→（R∧Q）
┐P∨（R∧Q）（4分）
（┐P∨Q）∧（┐P∨R）（合取范式）（6分）
P→（R∧Q）
┐P∨（R∧Q）
（┐P∧（┐Q∨Q））∨（R∧Q）（7分）
（┐P∧┐Q）∨（┐P∧Q）∨（R∧Q）（8分）
（（┐P∧┐Q）∧（┐R∨R））∨（┐P∧Q）∨（R∧Q）（9分）
（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧Q）∨（R∧Q）（10分）
（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（（┐P∧Q）∧（┐R∨R））∨（R∧Q）
（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧Q∧┐R）∨（┐P∧Q∧R）∨（R∧Q）
（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧Q∧┐R）∨
（┐P∧Q∧R）∨（（┐P∨P）∧（R∧Q））
（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧Q∧┐R）∨
（┐P∧Q∧R）∨（P∧R∧Q）（主析取范式）（12分）
说明：
此题解法步骤多样，若能按正确步骤求得结果，均可给分．
六、证明题（本题共8分）
18．设连通无向图G有14条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其它顶点的度数均小于3，试说明G中可能有的顶点数．
证明：
可利用数列可图化及握手定理解答
顶点度数和为214=28，（2分）
28-（34+43）=4，则知其他顶点度数和为4，（4分）
对于有限图，若无零度顶点，则除4度及3度顶点外，可能的顶点情况有：
2个2度点；
1个2度点和2个1度点；
4个1度点，（6分）
即对应图的顶点数分别至少为9、10、11．（8分）
2011年7月
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A2．C3．C4．D5．B
1．若集合A={1，{1}，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是（）．
A．{2}AB．{1，2}A
C．1AD．2A
2．设G为无向图，则下列结论成立的是（）．
A．无向图G的结点的度数等于边数的两倍．
B．无向图G的结点的度数等于边数．
C．无向图G的结点的度数之和等于边数的两倍．
D．无向图G的结点的度数之和等于边数．
3．图G如图一所示，以下说法正确的是（）．
A．{（a，b）}是边割集
B．{a，c}是点割集
C．{d}是点割集
D．{（c，d）}是边割集
图一
4．设集合A={1}，则A的幂集为（）．
A．{{1}}B．{1，{1}}
C．{，1}D．{，{1}}
5．设A（x）：
x是人，B（x）：
x犯错误，则命题“没有不犯错误的人”
可符号化为（）．
A．┐（
x）（A（x）→┐B（x））B．┐（
x）（A（x）∧┐B（x））
C．┐（
x）（A（x）∧B（x））D．（
x）（A（x）∧B（x））
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6．命题公式
的真值是 真（或T，或1） ．
7．若无向图T是连通的，则T的结点数v与边数e满足关系v=e+1时，T是树．
8．无向图G是欧拉图的充分必要条件是G是连通的且结点度数都是偶数．
9．设集合A={1，2}上的关系R＝{<2,2>,<1,2>}，则在R中仅需加入一个元素<1,1>，就可使新得到的关系为自反的．
10．（x）（P（x）→R（y）∨S（z））中的约束变元有x．
三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）
11．将语句“雪是黑色的．”翻译成命题公式．
设P：
雪是黑色的，（2分）
则命题公式为：
P．（6分）
12．将语句“如果明天下雨，则我们就在室内上体育课．”翻译成命题公式．
设P：
如果明天下雨，Q：
我们在室内上体育课，（2分）
则命题公式为：
PQ．（6分）
四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）
判断下列各题正误，并说明理由．
13．设集合A={1，2}，B={3，4}，从A到B的关系为f={<1,3>，<1,4>}，则f是A到B的函数．
错误．（3分）
因为A中元素1有B中两个不同的元素与之对应，故f不是A到B的函数．（7分）
14．设G是一个连通平面图，有5个结点9条边，则G有6个面．
正确．（3分）
因G是一个连通平面图，满足欧拉定理，有v-e+r=2，
所以r=2-（v-e）=2-（5-9）=6（7分）
五．计算题（每小题12分，本题共36分）
15．试求出P→（R∧Q）的合取范式．
P→（R∧Q）┐P∨（R∧Q）（6分）
（┐P∨R）∧（┐P∨Q）（合取范式）（12分）
16．设A={{1},{1,2}，1}，B={1,2,{2}}，试计算
（1）（A∩B）
（2）（A∪B）（3）（A∩B）A．
（1）（A∩B）={1}（4分）
（2）（A∪B）={1,2,{1},{2},{1,2}}（8分）
（3）（A∩B）A=（12分）
17．试画一棵带权为2,3,3,4,5,的最优二叉树,并计算该最优二叉树的权．
最优二叉树如图二所示．
（10分）
图二
权为23+33+32+42+52=39（12分）
六、证明题（本题共8分）
18．试证明：
若R与S是集合A上的对称关系，则R∩S也是集合A上的对称关系．
证明：
设x，yA，因为R对称，所以若R，则R．（2分）
因为S对称，所以若S，则S．（4分）
于是若R∩S则R且S
即R且S（6分）
也即R∩S，故R∩S是对称的．（8分）
中央广播电视大学2010—2011学年度第一学期“开放本科”期末考试
离散数学（本）试题
2011年1月
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A2．D3．B4．D5．C
1．若集合A＝{a，{1}}，则下列表述正确的是（）．
A．{1}AB．{1}A
C．{a}AD．A
2．设图G＝，vV，则下列结论成立的是（）．
A．deg（v）=2EB．deg（v）=E
C．
D．
3．如图一所示，以下说法正确的是（）．
A．（e,c）是割边B．（d,e）是割边
C．（b,a）是割边D．（b,c）是割边
4．命题公式（P∨Q）的合取范式是（）．
A．PB．（P∧Q）
C．（P∨P）D．（P∨Q）
5．下列等价公式成立的为（）．
A．PQPQB．QPPQ
C．PPQQD．PPQ
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6．设集合A={0,1,2}，B={1,2,3,4,}，R是A到B的二元关系，
则R的有序对集合为 {<1,1>，<1,2>，<2,1>，<2,2>} ．
7．设G是连通平面图，v,e,r分别表示G的结点数，边数和面数，则v，e和r满足的关系式v-e+r=2．
8．设G＝是有20个结点，25条边的连通图，则从G中删去6条边，可以确定图G的一棵生成树．
9．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G所有结点的度数全为偶数且连通．
10．设个体域D＝{1,2}，则谓词公式
消去量词后的等值式为A
（1）A
（2）．
三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）
11．将语句“如果小李学习努力，那么他就会取得好成绩．”翻译成命题公式．
12．将语句“小张学习努力，小王取得好成绩．”翻译成命题公式．
11．设P：
小李学习努力，Q：
小李会取得好成绩，（2分）
PQ．（6分）
12．设P：
小张学习努力，Q：
小王取得好成绩，（2分）
PQ．（6分）
四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）
判断下列各题正误，并说明理由．
13．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1R2是自反的．
14．如图二所示的图中存在一条欧拉回路．
13．正确．（3分）
R1和R2是自反的，xA，R1，R2，
则R1R2，
所以R1R2是自反的．（7分）
14．正确．（3分）
因为图G为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数．（7分）
五．计算题（每小题12分，本题共36分）
15．设A={{2},1,2}，B={1,{1,2}}，试计算
（1）（AB）；
（2）（A∩B）；（3）A×B．
16．设G=，V={v1，v2，v3，v4，v5}，E={（v1,v3），（v2,v3），（v2,v4），（v3,v4），（v3,v5）}，试
（1）给出G的图形表示；
（2）写出其邻接矩阵；
（3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形．
17．设谓词公式
，试
（1）写出量词的辖域；
（2）指出该公式的自由变元和约束变元．
15．
（1）AB={2,{2}}（4分）
（2）A∩B={1}（8分）
（3）A×B={<{2},1>，<{2},{1,2}>，<1,1>，<1,{1,2}>，
<2,1>，<2,{1,2}>}（12分）
16．
（1）G的图形表示如图三：
（3分）
（2）邻接矩阵：
（6分）
（3）v1，v2，v3，v4，v5结点的度数依次为1，2，4，2，1（9分）
（4）补图如图四：
（12分）
17．
（1）x量词的辖域为
，（2分）
z量词的辖域为
（4分）
y量词的辖域为
．（6分）
（2）自由变元为
中的y，以及
中的z（9分）
约束变元为
中的x与
中的z，以及
中的y．（12分）
六、证明题（本题共8分）
18．试证明集合等式A（BC）=（AB）（AC）．
18．证明：
设S=A（BC），T=（AB）（AC），若x∈S，则x∈A或x∈BC，（1分）
即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C．（2分）
也即x∈AB且x∈AC，（3分）
即x∈T，所以ST．（4分）
反之，若x∈T，则x∈AB且x∈AC，（5分）
即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C，（6分）
也即x∈A或x∈BC，即x∈S，所以TS．（7分）
因此T=S．（8分）
2011年1月
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．D2．B3．C4．A5．B
1．若集合A={a，b}，B={a，{a，b}}，则（）．
A．ABB．AB
C．ABD．AB
2．集合A={x|x为小于10的自然数}，集合A上的关系R={|x+y=10且x,y
A}，则R的性质为（）．
A．自反的B．对称的
C．传递且对称的D．反自反且传递的
3．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图一所示，则下列结论成立的是（）．
图一
A．（a）仅为弱连通的B．（b）仅为弱连通的
C．（c）仅为弱连通的D．（d）仅为弱连通的
4．设图G的邻接矩阵为
则G的边数为（）．
A．5B．6C．7D．8
5．下列公式（）为永真式．
A．PQPQB．（P（QP））（P（PQ））
C．（Q（PQ））（Q（PQ））D．（P（PQ））Q
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6．设集合A＝{1，2，3}，那么集合A的幂集是{,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}．
7．设A={a，b}，B={1，2}，作f：
A→B，则不同的函数个数为4．
8．若A={1,2}，R={|xA,yA,x+y<4}，则R的自反闭包为{<1,1>,<2,2>,<1,2>,<2,1>}．
9．无向连通图在结点数v与边数e满足e=v-1关系时是树．
10．（x）（A（x）→B（x））∨C（x，y）中的自由变元为C（x，y）中的x与y．
三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）
11．将语句“他们去旅游，仅当明天天晴．”翻译成命题公式．
12．将语句“今天没有下雪．”翻译成命题公式．
11．设P：
他们去旅游，Q：
明天天晴，（2分）
P→Q．（6分）
12．设P：
今天下雪，（2分）
P．（6分）
四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）
判断下列各题正误，并说明理由．
13．汉密尔顿图一定是欧拉图．
错误．（3分）
存在汉密尔顿图不是欧拉图．（5分）
反例见图二．
（7分）
14．下面的推理是否正确，试予以说明．
（1）（x）（F（x）→G（y））前提引入
（2）F（y）→G（y）ES
（1）．
1、错误．（3分）
（2）应为F（a）→G（y），换名时，约束变元与自由变元不能混淆．（7分）
五．计算题（每小题12分，本题共36分）
15．设A={0，1，2，3，4，5，6}，R={|xA，yA且x+y<1}，S={|xA，yA且x+y3}，试求R，S，RS，R-1，S-1，r（R）．
R={<0,0>}（2分）
S={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>}（4分）
RS={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>}（6分）
R-1={<0,0>}（8分）
S-1=S（10分）
r（R）=IA．（12分）
16．画一棵带权为1,2,2,3,6的最优二叉树,计算它们的权．
14
最优二叉树如图四：
8
6
o
o
5
o
3
o
o
o
3
2
2
1
o
o
图四（10分）
权为：
13+23+23+33+61=30（12分）
注:
其他正确的最优二叉树参照给分．
17．求（P∨Q）→（R∨Q）的析取范式，合取范式．
（P∨Q）→（R∨Q）
（P∨Q）∨（R∨Q）（4分）
（P∧Q）∨（R∨Q）
（P∨R∨Q）∧（Q∨R∨Q）
（P∨R∨Q）析取、合取范式（12分）
注:
其他正确答案参照给分．
六、证明题（本题共8分）
18．试证明集合等式A（BC）=（AB）（AC）．
证明：
设S=A∩（B∪C），T=（A∩B）∪（A∩C），若x∈S，则x∈A且x∈B∪C，即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C，
也即x∈A∩B或x∈A∩C，即x∈T，所以ST．（4分）
反之，若x∈T，则x∈A∩B或x∈A∩C，
即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C
也即x∈A且x∈B∪C，即x∈S，所以TS．
因此T=S．（8分）
2010年7月
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．B2．D3．B4．C5．B
1．若集合A={1，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是（）．
A．2AB．{1}A
C．1AD．2A
2．已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为
（）．
A．6B．4C．3D．5
3．设无向图G的邻接矩阵为
则G的边数为（）．
A．1B．7C．6D．14
4．设集合A={a}，则A的幂集为（）．
A．{{a}}B．{a，{a}}
C．{，{a}}D．{，a}
5．下列公式中（）为永真式．
A．ABABB．AB（AB）
C．ABABD．AB（AB）
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6．命题公式
的真值是 假（或F，或0） ．
7．若无向树T有5个结点，则T的边数为4．
8．设正则m叉树的树叶数为t，分支数为i，则（m-1）i=t-1．
9．设集合A={1，2}上的关系R＝{<1,1>,<1,2>}，则在R中仅需加一个元素<2,1>，就可使新得到的关系为对称的．
10．（x）（A（x）→B（x，z）∨C（y））中的自由变元有z，y．
三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）
11．将语句“今天上课．”翻译成命题公式．
设P：
今天上课，（2分）
则命题公式为：
P．（6分）
12．将语句“他去操场锻炼，仅当他有时间．”翻译成命题公式．
设P：
他去操场锻炼，Q：
他有时间，（2分）
则命题公式为：
PQ．（6分）
四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）
判断下列各题正误，并说明理由．
13．设集合A={1，2}，B={3，4}，从A到B的关系为f={<1,3>}，则f是A到B的函数．
14．设G是一个有4个结点10条边的连通图，则G为平面图．
13．错误．（3分）
因为A中元素2没有B中元素与之对应，故f不是A到B的函数．（7分）
14．错误．（3分）
不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v≥3，则e≤3v-6．”
（7分）
五．计算题（每小题12分，本题共36分）
15．试求出（P∨Q）→（R∨Q）的析取范式．
（P∨Q）→（R∨Q）┐（P∨Q）∨（R∨Q）（4分）
（┐P∧┐Q）∨（R∨Q）（8分）
（┐P∧┐Q）∨R∨Q（析取范式）（12分）
16．设A={{1},1,2}，B={1,{2}}，试计算
（1）A∩B
（2）A∪B（3）A（A∩B）．
（1）A∩B={1}（4分）
（2）A∪B={1,2,{1},{2}}（8分）
（3）A（A∩B）={{1},2}（12分）
17．图G=，其
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