奥数讲座4年级综合练习12讲.docx
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奥数讲座4年级综合练习12讲
四年级奥数讲座综合练习
第一讲：
乘法原理
第二讲：
加法原理
第三讲：
排列
第四讲：
组合
第五讲：
排列、组合
第六讲：
排列组合的综合应用
第七讲：
有趣的数阵
第八讲：
数学游戏
第九讲：
简单的幻方及其他数阵图
第十讲：
数字综合题选讲
第十一讲：
数字谜
第十二讲：
数学竞赛试题选讲
第一讲：
乘法原理
基础班
1、有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。
从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。
问：
有多少种不同的装束？
2、四角号码字典，用4个数码表示一个汉字。
小王自编一个"密码本"，用3个数码（可取重复数字）表示一个汉字，例如，用"011"代表汉字"车"。
问：
小王的"密码本"上最多能表示多少个不同的汉字？
3、"IMO"是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母写成三种不同颜色。
现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的"IMO"？
4、在右图的方格纸中放两枚棋子，要求两枚棋子不在同一行也不在同一列。
问：
共有多少种不同的放法？
5、要从四年级六个班中评选出学习和体育先进集体各一个（不能同时评一个班），共有多少种不同的评选结果？
6、甲组有6人，乙组有8人，丙组有9人。
从三个组中各选一人参加会议，共有多少种不同选法？
7、如下图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）．在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：
一共可以画出多少个这样的三角形？
8、在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式？
9、一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：
共有多少种不同的站位方法？
10、由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个
①三位数？
②三位偶数？
③没有重复数字的三位偶数？
④百位为8的没有重复数字的三位数？
⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？
11、某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？
解答
1.30种。
2.1000个。
3.60种。
4.400种。
提示：
第一枚棋子有25种放法，去掉这枚棋子所在的行和列，还有16个空格，所以第二枚棋子有16种放法。
5.30种。
6.432种。
7．1×4×3=12（个）．
8．90×9=810（个）．
9．4×4×3×2×1=96（种）．
10．①8×8×8=512（个）；②4×8×8=256（个）；
③4×7×6=168（个）；④1×7×6=42（个）；
⑤1×3×6=18（个）．
11．9×10×10×10×10×10=900000（部）．
提高班
1.用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。
问：
共有多少种不同的染色方法？
2．由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个
①三位数？
②三位偶数？
③没有重复数字的三位偶数？
④百位为8的没有重复数字的三位数？
⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？
答案
1.48种。
2．①8×8×8=512（个）；②4×8×8=256（个）；
③4×7×6=168（个）；④1×7×6=42（个）；
⑤1×3×6=18（个）．
第二讲：
加法原理
基础班
1.南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。
如果每天有20班火车、6班飞机、8班汽车和4班轮船，那么共有多少种不同的走法？
2.光明小学四、五、六年级共订300份报纸，每个年级至少订99份报纸。
问：
共有多少种不同的订法？
3.将10颗相同的珠子分成三份，共有多少种不同的分法？
4.在所有的两位数中，两位数码之和是偶数的共有多少个？
5.用1，2，3这三种数码组成四位数，在可能组成的四位数中，至少有连续两位是2的有多少个？
6.下图中每个小方格的边长都是1。
有一只小虫从O点出发，沿图中格线爬行，如果它爬行的总长度是3，那么它最终停在直线AB上的不同爬行路线有多少条？
7．如下图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：
从甲地到丙地共有多少种走法？
8．书架上有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？
9．如下图中，沿线段从点A走最短的路线到B，各有多少种走法？
10．在1～1000的自然数中，一共有多少个数字0？
11．在1～500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？
12．十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：
最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？
答案
1.38种。
2.10种。
提示：
没有年级订99份时，只有三个年级各订100份一种订法；只有一个年级订99份时，另外两个年级分别订100份和101份，有6种订法；有两个年级订99份时，另外一个年级订102份，有3种订法。
3.8种。
4.45个。
提示：
两个数码都是奇数的有5×5（个），两个数码都是偶数的有4×5（个）。
5.21个。
提示：
与例5类似，连续四位都是2的只有1种，恰有连续三位是2的有4种，恰有连续两位是2的有16种。
6.10条。
提示：
第一步向下有5条，第一步向上有1条，第一步向左或向右各有2条。
7．3×3+2×4=17（种）．
8．6+7+15+21+6×7=91（种）．
提示：
拿两本的情况分为2本画报或2本书或一本画报一本书．
9．
（1）6；
（2）10；（3）20；（4）35．
10．9+180+3=192（个）．
11．8+8×8+3×8×8=264（个）．
12．9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）．
我们通常解题，总是要先列出算式，然后求解。
可是对有些题目来说，这样做不仅麻烦，而且有时根本就列不出算式。
这一讲我们介绍利用加法原理在“图上作业”的解题方法。
提高班
1.用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。
问：
共有多少种不同的染色方法？
11.小明要登15级台阶，每步登1级或2级台阶，共有多少种不同登法？
12.小明要登20级台阶，每步登2级或3级台阶，共有多少种不同登法？
13.有一堆火柴共10根，每次取走1～3根，把这堆火柴全部取完有多少种不同取法，
答案
1.420种。
解：
如上图所示，按A，B，C，D，E顺序染色。
若B，D颜色相同，则有
5×4×3×1×3=180（种）；
若B，D颜色不同，则有
5×4×3×2×2=240（种）。
共有不同的染色方法180+240=420（种）。
2.987种。
3.114种。
4.274种。
提示：
取走1根有1种方法，取走2根有2种方法，取走3根有4种方法。
将1，2，4作为数列的前三项，从第4项起每项都是它前三项的和，得到
1，2，4，7，13，24，44，81，149，274。
第10项274就是取走10根火柴的方法数。
第三讲：
排列
基础班
1．计算
2．某铁路线共有14个车站，这条铁路线共需要多少种不同的车票．
3．有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少种不同的信号？
4．班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员．问：
有多少种不同的分工方式？
5．由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的
①三位数？
②个位是5的三位数？
③百位是1的五位数？
④六位数？
解答
1．
（1）30；
（2）2002；（3）156；（4）1．
第四讲：
组合
基础班
1.计算：
①C315；②C19982000；
③C34×C28；④P28-C68.
2.从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张作成一道两个一位数的加法题.问：
①有多少种不同的和？
②有多少个不同的加法算式？
3.某班毕业生中有10名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？
4.在圆周上有12个点.
①过每两个点可以画一条直线，一共可以画出多少条直线？
②过每三个点可以画一个三角形，一共可以画出多少个三角形？
5.如图，图上一共有六个点，且六个点中任意三个点不共线，问：
①从这六个点中任意选两点可以连成一条线段，这些点一共可以连成多少条线段？
②从这六个点中任意选两点可以作一条射线，这些点一共可以作成多少条射线？
（射线是一端固定，经另一点可以无限延长的.）
6．下图中共有4×4＝16个小方格，要把A，B，C，D四个不同的棋子放在方格里，每行和每列只能出现一个棋子，共有多少种放法？
解答
1.①455；②1999000；③112；④28.
2.①C28＝28；②P28＝56.
3.C28＝45.
4.①C212＝66；②C312＝220.
5.①C26＝15；②P26＝30.
6．16×9×4×1＝576（种）或4！
×4！
＝576（种）
提高班
1．5件不同的商品陈列在橱窗内，排成一排。
（1）如果某件商品不放在中间，有几种不同排法？
（2）如果某件商品不能放在两端，有几种不同排法？
2．有四封不同的信，随意投入三个信筒里，有多少种不同投法？
解答
1．
（1）5×4×3×2×1－4×3×2×1＝96；
（2）3×4×3×2×1＝72。
2．34＝81（种）
第五讲：
排列、组合
基础班
1．有6名同学参加象棋决赛，得冠军和亚军的名单有几种可能的情况？
2．一个口袋装有6个小球，另一个口袋装有5个小球，所有小球的颜色都不相同。
（1）从两个口袋中任取一个小球，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋中各取一个小球，有多少种不同的取法？
3．某市电话号码是五位数，每一数位上的数码可以是0，l，2，…8，9中的任意一个（数字可以重复出现，如00000也算一个电话号码）那么这个城市最多有多少个电话号码？
4．在“希望杯”足球赛中，共有27支小足球队参赛。
（l）如果这27个队进行单循环赛（两队间只比赛一次，称作一场），需要比赛多少场？
（2）如果这27个队进行淘汰赛，最后决出冠军，共需比赛多少场？
5．如上图，从A地到B地有两条路；从B地到D地有两条路；从A地到C地只有一条路；从C地到D地有3条路。
那么从A地到D地有多少种不同走法？
6．5件不同的商品陈列在橱窗内，排成一排。
（1）如果某件商品不放在中间，有几种不同排法？
（2）如果某件商品不能放在两端，有几种不同排法？
7．有四封不同的信，随意投入三个信筒里，有多少种不同投法？
8．下图中共有4×4＝16个小方格，要把A，B，C，D四个不同的棋子放在方格里，每行和每列只能出现一个棋子，共有多少种放法？
9.由数字0、1、2、3、4可以组成多少个
①三位数？
②没有重复数字的三位数？
③没有重复数字的三位偶数？
④小于1000的自然数？
答案
1．由乘法原理，有6×5种不同情况。
2．
（1）11；
（2）30。
3．100000。
5．7。
6．
（1）5×4×3×2×1－4×3×2×1＝96；
（2）3×4×3×2×1＝72。
7．34＝81（种）
8．16×9×4×1＝576（种）或4！
×4！
＝576（种）9.①100；②48；③30；④124.
提高班
1.从15名同学中选5人参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种？
①某两人必须入选；
②某两人中至少有一人入选；
③某三人中恰入选一人；
④某三人不能同时都入选.
答案
1.①C313＝286；②C515－C513＝1716；
③C13·C412＝1485；④C515－C212＝2937.
第六讲：
排列组合的综合应用
基础班
1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？
2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？
3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？
4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？
5.有两个小盒子，第一个盒子中有标有数字1，2，3，…，10的十张卡片，第二个盒子中有标有11，12，13，…，20的十张卡片.若从两个盒子中各拿出一张卡片相加，一共可列出多少种不同的加法式子？
6.小文和小静两位同学帮花店扎花，要从三只篮子中各取一只花扎在一起，已知每只篮子里都有3种不同的花，问她们可以扎成多少种不同式样的花束？
7.某学校组织学生开展登山活动.在山的北坡有两条路直通山项；在山的南坡也有两条路，一条直通山顶，另一条通向山腰小亭，从小亭有两条路通向山顶；山的西坡有两条路通向山间寺庙，由寺庙有两条路通向山顶.要登上山顶共有多少种不同的道路？
解答
1.若投一封信看作一个步骤，则完成投信的任务可分三步，每封信4个邮筒都可投，即每个步骤都有4种方法.故由乘法原理：
共有不同的投法4×4×4=64种.
2.甲（或乙）胜就写一个甲（或乙）字，
画树形图：
由图可见共有14种可能.
甲甲、甲乙甲甲、甲乙甲乙甲、甲乙甲乙乙、甲乙乙甲甲、甲乙乙甲乙、甲乙乙乙、乙甲甲甲、乙甲甲乙甲、乙甲甲乙乙、乙甲乙甲甲、乙甲乙甲乙、乙甲乙乙、乙乙.
3.现有4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，则站在两端的都是女同学.将位置从右到左编号，第1、3、5、7号位是女同学，第2、4、6号位是男同学.于是完成适合题意的排列可分两步：
第一步：
从6名女同学中任选4名排在第1、3、5、7号位.有P46种排法.
第二步：
从5名男同学中任选3名排在第2、4、6号位，有P35种排法.
因此，由乘法原理排出不同队形数为
P46·P35=6×5×4×3×5×4×3=21600.
4.图示：
分两类：
第一类：
十万位上是3或5之一的六位偶数有
P12·P14·P45个.
第二类：
十万位上是4或6之一的六位偶数有
P12·P13·P45个.
∴P12P14P45+P12P13P45=1680.
5.200种
第一个盒子中的每一张卡片都可以与第二个盒子中的十张卡片组成20种加法式子（包括被加数与加数交换位置，例如将1＋11与11＋1看成为两个加法式子），而第一个盒子中共有十张卡片，则由乘法原理，共10×20＝200种不同的加法式子。
6.27种
每束花共有3只，分别取自不同的篮子，每只篮子中都有三种不同的花，即从每只篮子中取出的花都有3种可能，由乘法原理，可以扎成3×3×3＝27种不同的花束。
7.9种
在山北坡有2条路，山南坡共有1＋1×2＝3条路；在山西坡共有2×2＝4条路；由加法原理，登上山顶共有2＋3＋4＝9条不同的道路。
提高班
1.如下图：
在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？
2.有十张币值分别为1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元的人民币，能组成多少种不同的币值？
并请研究是否可组成最小币值1分与最大币值（总和）之间的所有可能的币值.
3．从19，20，21，…，97，98，99这81个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？
4.现有五元人民币2张，十元人民币8张，一百元人民币3张，用这些人民币可以组成多少种不同的币值？
解答
1.五点共线有4组，四点共线的有9组，三点共线的有8组，利用排除法：
C320-4C35-9C34-8C33
=1140-4×10-9×4-8
=1056.
2.因为任一张人民币的币值都大于所有币值比它小的人民币的币值的和，例如1角的大于1分、2分、5分的和，因此不论取多少张，它们组成的币值都不重复，所以组成的币值与组合总数一致，有
C110+C210+……+C1010=210-1=1023种.
因为由这些人民币能组成的最小的币值是1分，最大的币值是十张币值的和，即1888分，而1023＜1888，可见从1分到1888分中间有一些币值不能组成.
3. 解：
从19到99共计81个不同的整数，其中有41个奇数、40个偶数。
若选取两数之和为偶数，则必须且只须选取的两个数有相同的奇偶性，所以选取的方法数分为两类：
第一类，选取两个不同偶数的方法数；第二类，选取两个不同奇数的方法数。
依加法原理，这两类方法数的总和即为所求的方法数。
第一类是从40个偶数中选取两个不同偶数的方法数，先取第一个偶数有40种方法，从其余39个偶数中选择第2个有39种方法，依乘法原理，共有40×39种不同的方法，但注意选取第1个数比如30，选取第2个数比如32，与选第1个数32，再选第2个数30，是同一组。
所以总的选法数应该折半，
第二类是从41个奇数中选取两个不同奇数的方法数，与上述方法相同，
4.75种。
由2张五元的人民币和8张十元的人民币可以组成：
5，10，15，…，90共18种币值.这与18张五元人民币所能组成的币值相当，故我们将2张五元和8张十元的人民币就当成18张五元的人民币，这18张五元币与3张百元币所组成的币值取决于这两种人民币的不同搭配对于五元币可以有0，l，2，…，18共19种取法，而对于百元币可以有0，l，2，3共4种取法，由乘法原理，则应有19×4＝76种搭配方法；再从其中除去五元币和百元币都不取的一种情形，则共有75种组合币值。
第七讲：
有趣的数阵
基础班
1.在下列各图空着的方格内填上合适的数，使每行、每列及每条对角线上的三数之和都等于27。
2.将下图中的数重新排列，使得每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等。
3.在下图的每个空格中填入一个数字，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。
4.在上图的每个空格中填入一个数字，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于24。
5.下列各图中的九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等，求x。
6.在下图的空格中填入七个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于48。
7.在下图的每个空格中填入不大于12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。
习题答案
1．
2.
3．4
．
5.
（1）11；
（2）9。
提示：
（1）右下角的数为（3+7）÷2=5，所以
x=8×2-5=11。
（2）右下角的数为（5+9）÷2=7，中心数为
（6+9）-7=8，所以x=8×2-7=9
6．
提示：
左下角的数为（13+27）÷2=20，中心数为48÷3=16。
7．
第八讲：
数学游戏
基础班
1.桌上有30根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取1～3根，且取最后一根者为赢。
问：
先取者如何拿才能保证获胜？
2.有1999个球，甲、乙两人轮流取球，每人每次至少取一个，最多取5个，取到最后一个球的人为输。
如果甲先取，那么谁将获胜？
3.甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报1～4个数，谁报到第888个数谁胜。
谁将获胜？
怎样获胜？
4.有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但不能不取，谁取到最后一枚棋子谁获胜。
如果甲后取，那么他一定能获胜吗？
5.黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，…，51。
甲、乙两人轮流划掉连续的3个数。
规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。
问：
甲有必胜的策略吗？
6.有三行棋子，分别有1，2，4枚棋子，两人轮流取，每人每次只能在同一行中至少取走1枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜。
问：
要想获胜是先取还是后取？
7.甲、乙两人轮流报数，必须报1～4的自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的和是1000，谁就取胜.如果甲要取胜，是先报还是后报？
报几？
以后怎样报？
习题答案
1.先取者取两根，以后每次把4的倍数根火柴留给对方取。
先取者获胜。
2.乙胜。
无论甲取几个球，只要乙接着取的球数与甲所取的球数之和为6即可。
因为1999÷6余1，所以最后一个球被甲取走。
3.甲胜。
甲先报3个数，以后每次与乙合报5个数即可获胜。
4.甲必胜。
5.甲先划，把中间25，26，27这三个数划去，就将1到51这51个数分成了两组，每组有24个数。
这样，只要乙在某一组里有数字可划，那么甲在另一组里相对称的位置上就总有数字可划。
因此，若甲先划，且按上述策略去进行，则甲必能获胜。
6.先取。
从4枚棋子的行中取走1枚。
7.解：
把胜利者报完数后累加起来的和倒着进行排列：
1000、995、990、985、…、10、5，这是一等差数列，公差d=5.且每个数都能被5整除.因此，胜利者第一次报完数后应为5，而进行的是1～4报数，所以甲要取胜，应让乙先报.然后根据乙报几，甲就报5减几，这样就能确保甲取胜.
提高班
1.有1994个格子排成一行，左起第一个格子内有一枚棋子，甲、乙两人轮流向右移动棋子，每人每次只能向右移动1格、2格、3格或4格，谁将棋子走到最后一格谁败.那么甲为了取胜，第一步走几格？
以后又怎样走？
2.54张扑克牌，两人轮流拿牌，每人每次只能拿1张到4张，谁拿到最后一张谁输，问先拿牌的人怎样确保获胜？
习题答案
1.解：
把这1994个格子从左至右编上号码为1，2，…，1994.把胜利者每走一步棋子所落
入的号数倒着进行排列：
1993、1988、1983、1978、…，这是一等差数列，公差d=5，且每个数被5除都余3.因而胜利者走第一步棋子所落入的号数是3号.所以，甲为了取胜，第一步向右移动2格.然后乙向右移动几个格，甲就向右移动5减几个格，这样就能确保获胜.
2.解：
把这54张扑克牌进行编号1～54，不妨设甲要取胜.把甲每次所拿牌中的最大序号倒着进行排列：
53、48、43、38、…，这个等差数列的公差为5，且每个数被5除均余3，因此甲第一次应拿3张牌，以后乙拿几张，甲就拿5减几张，这样就能确保甲胜.
第九讲：
简单的幻方及其他数阵图
基础班
1.在下图两分图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数（其中已填好一个数），使每一横行、竖列和对角线上的三数之和都等于30.
2.将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60.
3.将从1开始的九个连续奇数填入3行3列的九个空格中，使每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等.
4.将1～6六个自然数字分别填入下图的圆圈内，使三角形每边上的三数之和都等于定数S，指出这个定数S的取值范围.并对S=11时给出一种填法.
5.将1～10这十个自然数分别填入下左图中的10个圆圈内，使五边形每条边上的三数之和都相等，并使值尽可能大.
习题答案
1.提示：
首先找出中心数为10，然后设某一个空格数为x，根据横行、竖列、对角线的和都等于30，填上其余各数（含x）再由各数互不相同，且不大于15确定各数.
2.提示：
在三阶幻方的基础上每个数增加15即可.
3.提示：
与三阶幻方类似.
4.分析设三个顶点为x、y、Z，三条边中点处放置a、b、c，每边三数之和为S.
则有2（x+y+z）+a+b+c=3S.
对x+y+z+a+b+c
=1+2+…+6=21
∴定数S可取9、10、11、12.
经过试探、搜索知道：
顶点放2
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