高二联赛班秋季第7讲算两次.docx

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高二联赛班秋季第7讲算两次

7.1组合问题

算两次，顾名思义就是对同一个量从两个不同角度进行计算，对分别计算出的结果进行比较，从而得到某个新的结论.实际上，数学研究中有很大比例的定理就是利用算两次的思想得来的.而在竞赛中也有很多问题用到了算两次的思想.其中，在组合中算两次的思想用到的最多，而在代数、几何等问题中算两次思想也有比较多的应用.

一般地，如果直接对某个量进行计算，可能会得到一个等式；而从一个方向得到确切值，从另一个方向得到对这个量的估计，那么我们会得到一个不等式.在组合中，前者我们常会得到某个组合恒等式等，而后者，我们会得到一个组合不等式.整个步骤如同“三步舞曲”：

一方面…，另一方面…，综合以上两方面可以得到….

在组合中有一类子集问题，运用“算两次”思想来解决有固定的套路，也就是列表方法：

我们列出一个方格表，首先从横向求和得到一个式子然后再先从纵向求和得到另一个式子，再对这两个式子进行比较.这种方法常被称为“富比尼原理”.

【例1】25个人组成若干委员会，每个委员会5名成员，每两个委员会至多有1名公共成员.证明：

委员会的个数不大于30.

【例2】将一个三角形的三个顶点分别涂以红蓝黑三种颜色.在此三角形内取若干个点，将它分为若干个小三角形，将每个小三角形的顶点涂以红蓝黑三种颜色之一.证明：

不论怎样涂，都有一个三角形，它的三个顶点颜色全不相同.

【例3】在一张正方形纸片的内部给出了1985个点，现用M记这纸片的4个顶点与内部1985个点构成的集合，并按下述规则将这张纸剪成一些三角形：

（1）每个三角形的三个顶点都是M中的点；

（2）除顶点外，每个三角形中不再含有M中的点.

问：

可剪出多少个三角形，共需剪多少刀？

（剪出一条边需要剪一刀）

【例4】将六阶完全图

的每条边染上红色或蓝色，证明图中必有两个同色三角形（这两个三角形的颜色不一定相同）.

【例5】设n和k是正整数，S是平面上n个点的集合，满足：

（1）S中任何三点不共线；

（2）对S中的每一点P，S中存在k个点与P距离相等.

求证：

【例6】设二次设

为1，2，…，n的一个排列，

是集合

元素的个数，而

是集合

元素的个数（

），证明

【例7】设

。

N的子集

组成集合

。

如果对于每一对元素

，有一个集合

使得

恰含一个元素，则称F是可分的。

如果N的每一个元素至少属于一个集

，则称F是覆盖的。

问使得有一个

既是可分的又是覆盖的

的最小值

是多少？

【例8】证明：

在

时，

7.2代数问题

在代数问题（含函数方程问题）中，也常常用到算两次思想.其中交换和号来解决双重求和问题就是一种典型的例子，这也类似于积分变换中的交换积分次序.函数方程问题中，通过对某个函数式设法进行不同的表示往往可以得到重要的中间结论.

【例9】在一个有限的实数列中，任何7个连续项的和都是负的，任何11个连续项的和都是正的，试问这样的一个数列最多包括多少项？

【例10】能否把1,1,2,2,3,3，…，1986,1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着1个数，两个2之间夹着2个数，两个1986之间夹着1986个数？

【例11】函数f定义在正整数集上，并且具有性质：

（1）

（2）

求

【演练1】证明组合恒等式：

，其中k,n为正整数，且k小于等于n

【演练2】将1,2，…，10这10个数依任意顺序排成一圈，证明其中必有三个相邻的数，它们的和不小于17.

【演练3】某俱乐部有3n+1名成员，对每一个人，其余的人中恰好有n个愿意和他打网球，n个愿意和他下象棋，n个愿意和他打乒乓球.证明：

俱乐部中有三个人，他们之间玩的游戏三种俱全.

【演练4】设

，证明不等式：

【演练5】一个立方体的顶点标上+1或

，面上标一个数，它等于这个面的4个顶点处的数的乘积.这样所标的14个数的和能否为0？