，渡河的时间t＝
.
情况二：
v水>v船．此时，无论船头方向指向什么方向，都不能使船垂直于河岸航行，但也应该有一个最短位移．
如图所示，当船的实际速度即合速度的方向沿图中的v的方向时，船的位移最短．以船的速度为半径所做的圆表示了船可能的速度方向，很显然，只有当合速度的方向与圆周相切时，船渡河的实际位移最短，其它的方向不仅要大于该位移，而且沿该轨迹运动，船的速度方向对应两个方向，有两个合速度的大小．此时，速度三角形和位移三角形相似，有
＝
，合速度的大小v＝
，船头与河岸上游的夹角cosθ＝
.
三、典例剖析
河宽d＝200m，水流速度v1＝3m/s，船在静水中的速度v2＝5m/s.求：
（1）欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？
最短时间是多少？
船经过的位移多大？
（2）欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？
渡河时间多少？
解析：
（1）欲使船渡河时间最短，船头的方向应垂直河岸，如图1，渡河最短时间tmin＝
＝
s＝40s，船经过的位移大小x＝vt＝
·t＝40
m.
（2）船过河距离最短为河宽，船的合速度方向垂直河岸，如图2，合速度v＝
＝4m/s.船速与河岸的夹角cosθ＝
＝
，θ＝53°，渡河时间t＝
＝
s＝50s.
答案：
见解析
1．（多选）关于做曲线运动的物体的速度和加速度，下列说法中正确的是（BD）
A．速度方向不断改变，加速度方向不断改变
B．速度方向不断改变，加速度一定不为零
C．加速度越大，速度的大小改变得越快
D．加速度越大，速度改变得越快
2．关于物体做曲线运动的条件，下列说法中正确的是（B）
A．物体所受的合力是变力
B．物体所受合力的方向与速度方向不在同一条直线上
C．物体所受合力的方向与加速度的方向不在同一条直线上
D．物体所受合力的方向一定是变化的
3．（多选）如果两个分运动的速度大小相等，且为定值，则下列论述中正确的是（AC）
A．当两个分速度夹角为0°时，合速度最大
B．当两个分速度夹角为90°时，合速度最大
C．当两个分速度夹角为120°时，合速度大小与每个分速度大小相等
D．当两个分速度夹角为120°时，合速度大小一定小于分速度大小
一、选择题
1．做曲线运动的物体，在运动过程中，一定变化的物理量是（B）
A．速率 B．速度
C．加速度D．合外力
2．对于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下列说法正确的是（C）
A．一定是直线运动
B．一定是曲线运动
C．可能是直线运动，也可能是曲线运动
D．以上说法均不正确
解析：
将两个运动的初速度合成、加速度合成，如右图所示．当a与v重合时，物体做直线运动；当a与v不重合时，物体做曲线运动，由于题目没有给出两个运动的初速度和加速度的具体数值及方向，故以上两种情况均有可能，C正确．
3．一只船以一定的速度垂直河岸行驶，当河水流速恒定时，下列所述船所通过的路程、渡河时间与水流速度的关系，正确的是（D）
A．水流速度越大，路程越长，时间越长
B．水流速度越大，路程越短，时间越长
C．水流速度越大，路程与时间都不变
D．水流速度越大，路程越长，时间不变
4．若一个物体的运动是由两个独立的分运动合成的，则（AB）
A．若其中一个分运动是变速运动，另一个分运动是匀速直线运动，则物体的合运动一定是变速运动
B．若两个分运动都是匀速直线运动，则物体的合运动一定是匀速直线运动（两分运动速度大小不等）
C．若其中一个分运动是匀变速直线运动，另一个分运动是匀速直线运动，则物体的运动一定是曲线运动
D．若其中一个分运动是匀加速直线运动，另一个分运动是匀减速直线运动，则合运动一定是曲线运动
5．一质点（用字母O表示）的初速度v0与所受合外力的方向如图所示，质点的运动轨迹用虚线表示，则所画质点的运动轨迹中可能正确的是（A）
6．一质点做曲线运动，在运动的某一位置，它的速度方向、加速度方向以及所受合外力的方向之间的关系是（B）
A．速度、加速度、合外力的方向有可能都相同
B．加速度方向与合外力的方向一定相同
C．加速度方向与速度方向一定相同
D．速度方向与合外力方向可能相同，也可能不同
解析：
质点做曲线运动时，速度方向沿轨迹的切线方向且与合外力方向不在同一直线上，而据牛顿第二定律知加速度方向与合外力的方向相同，故选B.
7．如图所示为一质点在恒力F作用下在xOy平面上从O点运动到B点的轨迹，且在A点时的速度vA与x轴平行，则恒力F的方向可能是（D）
A．沿＋x方向 B．沿－x方向
C．沿＋y方向D．沿－y方向
解析：
根据做曲线运动的物体所受合外力指向曲线内侧的特点，质点在O点的受力方向可能沿＋x方向或－y方向，而由A点可以推知恒力方向不能沿＋x方向，但可以沿－y方向，所以D项正确．
8．在平直铁路上以速度v0匀速行驶的列车车厢中，小明手拿一钢球将其从某高处释放，探究其下落的规律，通过实验，下列结论得到验证的是（D）
A．由于小球同时参与水平方向上的匀速运动和竖直方向上的下落运动，落点应比释放点的正下方偏前一些
B．由于列车以v0的速度向前运动，小球落点应比释放点的正下方偏后一些
C．小球应落在释放点的正下方，原因是小球不参与水平方向上的运动
D．小球应落在释放点的正下方，原因是小球在水平方向上速度也为v0
9．下列说法不正确的是（BD）
A．判断物体是做曲线运动还是直线运动，应看合外力方向与速度方向是否在一条直线上
B．静止物体在恒定外力作用下一定做曲线运动
C．判断物体是做匀变速运动还是非匀变速运动应看所受合外力是否恒定
D．匀变速运动的物体一定沿直线运动
解析：
当合外力方向与速度方向在一条直线上时，物体做直线运动，当它们方向有一夹角时，物体做曲线运动，故A对，B错．物体受的合外力恒定时，就做匀变速运动，合外力不恒定就做非匀变速运动，可见匀变速运动可能是直线运动也可能是曲线运动，故C对，D错．
二、非选择题
10.一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳子提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H.车由静止开始向左做匀加速运动，经过时间t绳子与水平方向的夹角为θ，如图所示，试求：
（1）车向左运动的加速度的大小；
（2）重物m在t时刻速度的大小.
解析：
（1）汽车在时间t内向左走的位移：
x＝Hcotθ，
又汽车匀加速运动x＝
at2，
所以a＝
＝
.
（2）此时汽车的速度
v汽＝at＝
，
由运动分解知识可知，汽车速度v汽沿绳的分速度与重物m的速度相等，即v物＝v汽cosθ，
得v物＝
.
答案：
（1）
（2）
11．宽9m的成形玻璃以2m/s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚割刀的速度为10m/s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，则：
（1）金刚割刀的轨道应如何控制？
（2）切割一次的时间多长？
解析：
（1）由题目条件知，
割刀运动的速度是实际的速度，所以为合速度．其分速度的效果是恰好相对玻璃垂直切割．设割刀的速度v2的方向与玻
璃板运动速度v1的方向之间的夹角为θ，如图所示．要保证割下均是矩形的玻璃板，则由v2是合速度得v1＝v2cosθ
所以cosθ＝
＝
，
即θ＝arccos
，
所以，要割下矩形玻璃板，割刀速度方向与玻璃板运动速度方向成θ＝arccos
角．
（2）切割一次的时间
t＝
＝
s≈0.92s.
答案：
（1）割刀速度方向与玻璃板运动速度方向成arccos
角
（2）0.92s
2019-2020年高中物理第5章曲线运动复习教案新人教版必修2
【知识结构】
【疑难解析】
一．曲线运动和运动的合成与分解
物体的运动轨迹不是直线的运动称为曲线运动，曲线运动的条件可从两个角度来理解：
①从运动学角度来理解：
物体的加速度方向与速度方向不在同一条直线上；②从动力学角度来理解：
物体所受合力的方向与物体的速度方向不在同一条直线上。
曲线运动的速度方向沿曲线的切线方向，曲线运动是一种变速运动。
曲线运动是一种复杂的运动，为了简化解题过程引入了运动的合成和分解。
一个复杂的运动可根据运动的实际效果按正交分解或按平行四边形定则进行分解。
合运动与分运动是等效替代关系，它们具有独立性和等时性的特点。
运动的合成是运动分解的逆运算，同样遵循平行四边形定则。
二．平抛运动
平抛运动具有水平初速度且只受重力作用，是匀变速曲线运动。
研究平抛运动的方法是利用运动的合成与分解，将复杂运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
其运动规律为：
①水平方向：
ax=0，vx=v0，x=v0t；②竖直方向：
ay=g，vy=gt，y=gt2/2；
③合运动：
a=g，，v与v0的夹角
平抛运动中飞行时间仅由抛出点与落地点间的竖直高度决定，即与v0无关。
水平射程x=v0。
三．匀速圆周运动、描述匀速圆周运动的物理量、匀速圆周运动的实例分析。
正确理解并掌握匀速圆周运动、线速度、角速度、周期和频率、向心加速度、向心力的概念及物理意义，并掌握相关公式。
圆周运动与其他知识结合时，关键找出向心力，再利用向心力公式或列式求解。
向心力可以由某一个力提供，也可由某一个力的分力提供，还可以由合外力提供，在匀速圆周运动中，向心力指向圆心，其大小不变，作用是改变线速度的方向，不改变线速度的大小；在变速圆周运动中，物体所受的合外力不一定指向圆心，各力沿半径的分量的合力指向圆心，此合力提供向心力，大小、方向均变化；与半径垂直的各分力的合力改变速度大小，此合力产生切向加速度，在中学阶段不做研究。
对匀速圆周运动的实例分析应结合受力分析，找准圆心位置，结合牛顿第二定律和向心力公式列方程求解，要注意绳类的约束条件为，杆类的约束条件为。
四．基本解题方法
（1）如何运用运动的分解与合成方法来研究曲线运动呢？
①利用运动的合成与分解研究曲线运动的思维流程：
（欲知）曲线运动规律（只需研究）两直线运动规律（得知）曲线运动规律
②在处理实际问题中应注意：
ⅰ只有深刻挖掘曲线运动的实际运动效果，才能明确曲线运动应分解为哪两个方向上的直线运动。
这是分析处理曲线运动的出发点。
ⅱ进行等效合成时，要寻找两分运动时间的联系——等时性。
这往往是分析处理曲线运动问题的切人点。
（2）处理匀速圆周运动问题的解题思路。
所有匀速圆周运动的有关命题，重点都是对牛顿第二定律F=ma在曲线运动中具体应用的考查。
通常的解题思路为：
首先分析向心力的来源，然后确定物体圆周运动轨道平面、圆心、圆半径，写出与向心力所对应的向心加速度表达式，同时，力求将题目的待求量如：
未知力、未知线速度、未知周期等包含到向心力或向心加速度的表达式中，最后，依据F=ma列方程求解。
【典例精析】
例1．如图6-35所示，半径为R的水平圆板绕竖直轴做匀速圆周运动，当半径OB转到某一方向时，在圆板中心正上方h处以平行于OB方向水平抛出一小球，小球抛出时的速度及圆板转动的角速度为多大时，小球与圆板只碰一次，且落点为B?
解析球做平抛运动的时间为t=
球落到B点时水平位移为R，则球抛出时的速度为v==R
要保证球落到B点，需在球做平抛运动的时间内使圆板转动n圈（n=1，2，……），则t=n
圆板转动的角速度为ω=n=2πn=nπ
例2．小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。
（小球的半径远小于R。
）
解析：
小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F是重力G和支持力N的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。
如图6-36所示有：
，
由此可得：
，（式中h为小球轨道平面到球心的高度）。
可见，θ越大（即轨迹所在平面越高），v越大，T越小。
例3．如图6-38所示，在质量为M的电动机上，装有质量为m的偏心轮，飞轮转动的角速度为ω，当飞轮重心在转轴正上方时，电动机对地面的压力刚好为零，则飞轮重心离转轴的距离多大?
在转动过程中，电动机对地面的最大压力多大?
解析设偏心轮的重心距转轴r，偏心轮等效为用一长为r的细杆固定质量为m（轮的质量）的质点，绕转轴转动（如图）。
轮的重心在正上方时，电动机对地面的压力刚好为零，则此时偏心轮对电动机向上的作用力大小等于电动机的重力。
即F=Mg①
根据牛顿第三定律，此时轴对偏心轮的作用力向下，大小为F=Mg，其向心力为F＋mg=mω2r②
由①②得偏心轮重心到转轴的距离为：
r=（M＋m）g／（mω2）③
当偏心轮的重心转到最低点时，电动机对地面的压力最大.对偏心轮有
F′－mg=mω2r④
对电动机，设它所受支持力为FN，FN=F′＋Mg⑤
由③、④、⑤解得FN=2（M＋m）g
由牛顿第三定律得，电动机对地面的最大压力为2（M＋m）g.
例4．如图6-38所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为F=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．（取g=10m/s2）
解析要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转
盘相同的角速度．A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成．角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O．
对于B，T=mg
对于A，
rad/srad/s
所以2.9rad/srad/s
例5.如图6-39所示，在水平固定的光滑平板上，有一质量为M的质点P，与穿过中央小孔H的轻绳一端连着。
平板与小孔是光滑的，用手拉着绳子下端，使质点做半径为a、角速度为ω1的匀速圆周运动。
若绳子迅速放松至某一长度b而拉紧，质点就能在以半径为b的圆周上做匀速圆周运动.求质点由半径a到b所需的时间及质点在半径为b的圆周上运动的角速度.
解析质点在半径为a的圆周上以角速度ω1做匀速圆周运动，其线速度为va＝ω1a.突然松绳后，向心力消失，质点沿切线方向飞出以va做匀速直线运动，直到线被拉直.如图所示。
质点做匀速直线运动的位移为s＝，则质点由半径a到b所需的时间为：
t＝s／va＝／（ω1a）。
当线刚被拉直时，球的速度为va＝ω1a，把这一速度分解为垂直于绳的速度vb和沿绳的速度v′.在绳绷紧的过程中v′减为零，质点就以vb沿着半径为b的圆周做匀速圆周运动.根据相似三角形得即.则质点沿半径为b的圆周做匀速圆周运动的角速度为ω2＝a2ω1／b2。
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