>>x=3:
-1:
0
x=
3210
2）使用linspace和logspace函数生成向量
Linspace是用来生成线性等分向量，直接给出元素的个数从而得出各个元素的值
linspace（a,b,n）3个参数分别表示开始值，结束值和元素个数，生成a,b之间线性分布的n个元素的行向量，n如果省略则默认值是100.
logspace用来生成对数等分向量logspace（a,b,n）生成从
到
之间按对数等分的n个元素的行向量，n如果省略则默认50
>>x1=linspace（0,2*pi,5）
x1=
0
>>x2=logspace（0,2,3）
x2=
110100
3）由函数产生特殊矩阵
函数名
功能
例子
输入
结果
Zeros（m,n）
产生m*n的全0矩阵
Zeros（2,3）
000
000
Ones（m,n）
产生m*n的全1矩阵
ones（2,3）
111
111
rand（m,n）
产生均匀分布的随机矩阵，
元素取值范围为~
rand（2,3）
randn（m,n）
产生正态分布的随机矩阵
randn（2,3）
Magic（N）
产生N阶魔方矩阵（矩阵
的行、列和对角线上的
元素的和相等）
Magic（3）
816
357
492
eye（m,n）
产生m*n的单位矩阵
Eye（3）
100
010
001
true（m,n）
false（m,n）
产生m*n的逻辑矩阵，
全为ture
产生m*n的逻辑矩阵，
全为false
True（3）
111
111
111
当zeros,ones,rand,randn,eye函数中只有一个参数n时，则为n*n的方阵
>>t=true（3）
t=
111
111
111
>>t（1:
2,3）=false（2,1）%1,2行的第2列改为false
t=
110
110
111
8、矩阵的下标
1）全下标方式
A=[1,2;3,4;5,6]A（1,2）=2A（1,2）=7A=[1,7;3,4;5,6]
2）单下标方式：
把矩阵的所有列按照先左后右的次序连接成“一维长列”，然后对元素位置进行编号，m*n矩阵的单下标s=（j-1）/8m+i
9、子矩阵块的产生方式
1）全下标方式：
（以3*3矩阵为例）
a（[1,3],[2,3]）表示取行数为1,3，列数为2,3的元素构成子矩阵
a（1:
3,2:
3）取行数1~3，列数2~3的元素构成子矩阵
a（:
;3）取所有的行数，列数为3的元素构成子矩阵
a=（1:
3，end）表示取行数1~3，列数为3的元素构成矩阵，end表示某一位数中的最大值，即3
2）用单下标方式：
a（[1,3;2,6]）表示取单下标为1,3,2,6的元素构成子矩阵
3）逻辑矩阵：
a（l1,l2）表示子矩阵时，l1,l2为逻辑向量，l1,l2的元素为0则不取该位置元素，反之则取该位置元素。
>>a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
>>l1=logical（[101]）;
>>l2=logical（[110]）;
>>a（l1,l2）
ans=
12
78
10、矩阵的赋值：
全下标方式，单下标方式，全元素方式
eg：
全元素方式：
>>a=[12;34;56]
a=
12
34
56
>>b=[123;456]
b=
123
456
>>a（:
）=b%按单下标方式给a赋值
a=
15
43
26
11、矩阵元素的删除操作：
赋值为空矩阵[]
A（:
3）删除1列元素；a
（1）=[],按单下标方式删除1个元素，则矩阵变为行向量
12、生成大矩阵[a;a]
13、矩阵和数组运算a=[123;456;789]
函数名
功能
det（X）
计算方阵行列式
rank（X）
求矩阵的秩，得出行列式不为0的最大方阵边长
inv（X）
求矩阵的逆，当方阵X的dit（X）不等于0，逆阵才存在，相乘为单位矩阵
diag（X）
产生X矩阵的对角阵
13、矩阵的翻转（常用矩阵翻转的函数功能）a=[120；040；569]
函数名
功能
例子
输入
结果
triu（X）
产生X矩阵的上三角矩阵，其余元素补0
triu（a）
120
040
009
tril（X）
产生X矩阵的下三角矩阵，其余元素补0
tril（a）
100
040
569
flipud（X）
使矩阵X沿水平轴上下翻转
flipud（a）
569
040
120
fliplr（X）
使矩阵X沿垂直轴左右翻转
fliplr（a）
021
040
965
15、矩阵和数组的算术运算
X=A\B表示方程A*X=B的解
X=A/B表示方程X*A=B的解
数组的乘法为.*除法运算有.\和./，表示数组相应元素相乘除
矩阵乘方A^B，数组乘方A.^B
16、矩阵和数组的转置
A’表示矩阵A的转置，若A为复数矩阵，则为共轭转置
A.’表示数组A的转置，如果数组A为复数数组，则不是共轭转置
17、数组的基本函数
函数名
含义
函数名
含义
abs
绝对值或者复数模
Mod
模除求余
Sqrt
平方根
exp
自然指数
Real
实部
Log
自然对数
Imag
虚部
Log10
以10为底的对数
conj
复数共轭
18、矩阵和数组运算的对比表（52页）
19、关系操作和逻辑操作
1）MATLAB常用的关系操作符有<,<=,>,>=,==,~=（不等于）
①如果用来比较的2个变量都是标量，则结果为真
（1）或假（0）
②如果用来比较的都是数组，则大小必须相同，结果也是同样大小的数组，数组的元素为0或1
③如果用来比较的是1个数组和1个标量，则把数组的每个元素分别于标量比较，结果为同样大小相同的数组，数组的元素为0或1
④关系操作符<,<=,>,>=仅对参加比较的变量的实部进行比较，而,==,~=可同时对实部和虚部进行比较
2）逻辑运算与&或|非~异或xor
①非0元素表示真
（1），0元素表示假（0），逻辑运算的结果为0或1
②如果用来逻辑运算的2个变量都是标量，则结果为0、1的标量
③如果用来逻辑运算的2个变量都是数组，则必须大小相同，结果为同样大小相同的数组
④先决与&&，先决或||
20、常用的关系逻辑函数（54页）
21、在MATLAB中各种运算符的优先级：
'（矩阵转置）、^（矩阵幂）和.'（数组转置）、.^（数组幂）
~（逻辑非）
*（乘）、/（左除）、\（右除）和.*（点乘）、./（点左除）、.\（点右除）
+、-（加减）
:
（冒号）
<、<=、>、>=、~=
&（逻辑与）
|（逻辑或）
&&（先决与）
||（先决或）
22、矩阵的大小size（a）
返回行数或列数的最大值length（p）等价于max（size（p））
23、多项式
1）多项式p1（x）=x3+21x2+20x可以表示为：
p1=[121200]%常数项为0，按幂的降序排列。
最后一个元素一定是表示常数项,
如果无常数项,则应该令该元素为0
2）多项式求值polyval（p,s）计算多项式在给定变量时的值。
说明：
p为多项式,s为给定矩阵。
p1=[121200];
polyval（p1,2）%计算x=2时多项式的值
x=0:
:
3;
polyval（p1,x）%计算x为向量时多项式的值
3）多项式求根r=roots（p）p为多项式，r为计算的多项式的根，以列向量形式保存
P=poly（r）根据多项式的根计算多项式的系数
4）特征多项式P=poly（s）s必须是方阵，p为特征多项式
5）部分分式展开[r,p,k]=residue（b,a）
6）多项式的乘法和除法
多项式乘法p=conv（pl,p2），p是多项式p1和p2的乘积多项式。
多项式除法，[q,r]=deconv（pl,p2）：
多项式p1被p2除的商为多项式q，余子式是r
7）多项式的微分和积分
p=polyder（p1）：
多项式p1的微分为多项式p。
没有专门积分函数，可以用[p./length（p）:
-1:
1,k]的方法来完成积分，k为常数
例：
求多项式的微分和积分。
p1=[121200]
p4=polyder（p1）%多项式微分
s=length（p4）:
-1:
1
p1=[p4./s,0]%多项式积分,常数k=0
8）多项式的拟合和插值
插值运算：
根据数据点的规律，找到一个多项式表达式可以连接两个点，插并得出相邻数据点之间的数值。
①一维插值
yi=interp1（x,y,xi,’method’）：
一维插值是指对一个自变量的插值，interp1函数是用来进行一维插值的。
说明：
x、y为行向量；xi是插值范围内任意点的x坐标，yi则是插值运算后的对应y坐标；method是插值函数的类型，“linear”为线性插值（默认），“nearest”为用最接近的相邻点插值，“spline”为三次样条插值，“cubic”为三次插值。
24、数据分析
1）原则
①如果输入的是向量，则按整个向量进行运算
②如果输入的是矩阵，则按列进行运算
2）MATLAB数据统计分析函数（75页）注意max（x）和max（x（:
））的差别
3）常用的差分和积分函数（76页）
4）卷积和快速傅里叶变换
conv（x,y）计算向量的卷积（若x是输入信号，y是线性系统的脉冲过渡函数，则X,Y的卷积为系统的输出信号）
[q,r]=deconv（x,y）解卷积运算x=conv（y,q）+r
MATLAB软件的序列下标从1开始而不是0
X=fft（x,N）对离散序列进行离散傅里叶变换
X=ifft（x,N）对离散序列进行离散傅里叶逆变换
x可以是向量，矩阵，多维数组，N为输入变量x的序列长度，可省略。
如果x的长度小于N，则会自动补零；如果x的长度大于N，则会自动截断；当N取2的整数幂时，傅立叶变换的计算速度最快。
一般情况下，fft求出的函数为复数，可用abs及angle分别求其幅值和相位。
第3章MATLAB符号计算
1、创建符号常量sym（‘常量’）
sym（常量，参数）%把常量按某种格式转换为符号常量
参数可选为‘d’（十进制）、‘f’（浮点）、‘e’（带有机器浮点误差的有理值）或‘r’（最接近的有理数值）四种格式，也可省略（默认为'r'）。
2、MATLAB的数学计算：
包括数值计算和符号计算
数值计算：
不允许使用未赋值的变量
符号计算：
可以使用未赋值的符号变量进行运算
3、创建数值常量和符号常量
>>a=sym（'sin
（2）'）%创建符号常量，注意和>>a=sin
（2）的区别
a=sin
（2）
>>a1=2*sqrt（5）+pi%创建数值常量
a1=
>>a2=sym（'2*sqrt（5）+pi'）%创建符号常量
a2=2*sqrt（5）+pi
>>a4=sym（2*sqrt（5）+pi,'d'）%按最接近的十进制浮点数表示符号常量
a4=
>>a5='2*sqrt（5）+pi'%字符串常量,注意和第3条命令的执行结果比较
a5=2*sqrt（5）+pi
4、创建符号变量sym（‘变量’，参数）%把变量定义位符号对象
参数用来限定符号变量的数学特性：
‘positive’表示为正、实符号变量，‘real’为实符号变量，‘unreal’为非实符号变量
5、创建符号表达式sym（‘表达式’）
6、创建多个符号变量和符号表达式
Syms（‘arg1’,’arg2’,…，参数）
Symsarg2arg2…，参数
7、创建符号矩阵
>>A=sym（'[a,b;c,d]'）>>symsabcd
A=>>A=[a,b;c,d]
[a,b]A=
[c,d][a,b]
[c,d]
8、符号表达式的代数运算
1）算术和关系运算符
（1）算术运算符
“＋”，“－”，“*”，“\”，“/”，“^”分别实现符号矩阵的运算。
“.*”，“./”，“.\”，“.^”分别实现符号数组的运算。
“′”，“.′”分别实现符号矩阵的共轭转置、非共轭转置。
（2）关系运算符
在符号对象的比较中，没有“大于”、“大于等于”、“小于”、“小于等于”的概念，而只有是否“等于”的概念（“==”、“~=”），为真时，用1表示；为假时，用0表示
2）、函数运算
（1）三角（反三角）函数和双曲函数
sin、cos、tan
asin、acos、atan
sinh、cosh、tanh
（2）指数和对数函数
sqrt、exp、expm
自然对数log（表示ln），无log2和log10
（3）复数函数
conj、real、imag、abs
无angle函数
（4）矩阵代数命令
diag，triu，tril，inv，det，rank，poly，eig
9、符号表达式中自由变量的确定（重要）
1）小写字母i,j不能作为自由变量
2）符号表达式中如果有多个符号变量，则按照：
首先选择x作为自由变量；如果没有x则选择在字母顺序中最接近x的字符变量；如果与x相等距离，则在x后面的优先
3）大写字母比所有小写字母都靠后
10、确定自由符号变量：
symvar（EXPR）
自动确定符号表达式中的自由符号变量findsym
EXPR可以是符号表达式或符号矩阵；n为按顺序得出符号变量的个数。
当n省略时，则不按顺序得出EXPR中所有的符号变量。
>>f=sym（'5*v^u-3*w+Y+z'）
>>findsym（f）%得出所有的符号变量，不按次序
ans=Y,u,v,w,z
>>findsym（f,5）%得出所有的符号变量，不按次序
ans=w,z,v,u,Y
11、符号表达式的化简（91页）
1）多项式形式
2）因式形式
3）嵌套形式
多项式化简函数表pretty、collect、expand、horner、factor
函数名
变换前
变换后
备注
pretty
x^3-6*x^2+11*x*-6
32
x-6x+11x-6
给出排版形式的输出结果
collect
（x-1）*（x-2）*（x-3）
x^3-6*x^2+11*x*-6
表示为合并同类项多项式，当有多个符号变量，可指定按某个符号变量来合并，否则按默认的自由变量进行
expand
（x-1）*（x-2）*（x-3）
x^3-6*x^2+11*x*-6
表示为多项式形式，多项式展开形式
horner
x^3-6*x^2+11*x*-6
x*（11*y+x*（x-6））-6
表示为嵌套形式
factor
x^3-6*x^2+11*x*-6
（x-3）*（x-1）*（x-2）
表示为因式连乘的形式
collect（f1,’y’）按y变量来变换
simplify函数：
化简函数，对三角函数、对数函数、幂函数等特别有效
>>y=sym（'cos（x）^2-sin（x）^2'）
y=
cos（x）^2-sin（x）^2
>>simplify（y）
ans=
cos（2*x）
simple函数：
寻求包含最少数目字符的表达式简化形式
12、符号极限
[记住每一个函数表示什么]
>>f=sym（'1/x'）
f=
1/x
>>limit（f）
ans=
NaN%当左右极限不相等时，表达式的极限不存在，为NaN
>>limit（f,'x',0,'left'）
ans=
-Inf
用极限方法也可以求函数的倒数
13、符号微分
diff（f）%求f对默认自由变量的一阶微分
diff（f,t）%求f对指定符号变量t的一阶微分
diff（f,n）%求f对默认自由变量的n阶微分
diff（f,t,n）%求f对指定符号变量t的n阶微分
eg：
>>f=sym（'a*x^2+b*x+c'）
f=
a*x^2+b*x+c
>>diff（f）%对默认自由变量x求一阶微分
ans=
b+2*a*x
>>diff（f,'a'）%对符号变量a求一阶微分
ans=
x^2
>>diff（f,'x',2）%对符号变量x求二阶微分
ans=
2*a
>>diff（f,3）%对默认自由变量x求三阶微分
ans=
0
diff用于符号矩阵时，其结果是对矩阵的每一个元素进行微分计算
eg:
symstxy
g=[2*yt^2;t*sin（y）exp（x）]%创建符号矩阵
diff（g）%对默认自由变量求一阶微分
diff（g,'t'）%对符号变量t求一阶微分
diff（g,'y'）
diff（g,2）%对默认自由变量求二阶微分
可以使用diff计算向量间元素的差值
eg:
>>x1=0:
:
2;
>>y1=sin（x1）
y1=
0
>>diff（y1）
ans=
计算出的差值比原来的向量少一列
14、符号积分
int（f,’t’）%求符号变量t的不定积分
int（f,’t’,a,b）%求符号变量t的积分
int（f,’t’,’m’,’n’）%求符号变量t的积分
说明：
t为符号变量，当t省略则为默认自由变量；a和b为数值，[a,b]为积分区间；m和n为符号对象，[m,n]为积分区间；与符号微分相比，符号积分复杂得多。
因为函数的积分有时可能不存在，即使存在，也可能限于很多条件，MATLAB无法顺利得出。
当MATLAB不能找到积分时，将给出警告提示。
15、符号方程的求解
1）代数方程
solve（‘eq’,’v’）%求方程关于指定变量的解
solve（‘eq1’,’eq2’,’v1’,’v2’,…）%求方程组关于指定变量的解
说明：
eq可以是含等号的符号表达式的方程，也可以是不含等号的符号表达式，但所指的仍是令eq=0的方程；当参数v省略时，为方程中默认的自由变量；其输出结果为结构数组类型。
>>f1=sym（'a*x^2+b*x+c'）%无等号
f1=
a*x^2+b*x+c
>>solve（f1）
ans=
-（b+（b^2-4*a*c）^（1/2））/（2*a）
-（b-（b^2-4*a*c）^（1/2））/（2*a）
>>f2=sym（'sin（x）'）
f2=
sin（x）
>>solve（f2,'x'）
ans=
0%当sinx=0有多个解时，只能得出0附近的有限几个解
计算三元非线性方程组
的解
>>eq1=sym（'x^2+2*x+1'）;
>
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