六年级下册奥数专题练习旋转变换全国通用.docx

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六年级下册奥数专题练习旋转变换全国通用

旋转变换

　　【旋转成定角】例如下面的题目：

　　“在图4.23中，半径为8厘米的圆的内外各有一个正方形，圆内正方形顶点都在圆周上，圆外正方形四条边与圆都只有一个接触点。

问：

“大正方形的面积比小正方形的面积大多少？

”

　　按一般方法，先求大、小正方形的面积，再求它们的差，显然是有难度的。

若将小正方形围绕圆心旋转45°，使原图变成图4.24，容易发现，小正方形的面积为大正方形面积的一半。

所以，大正方形面积比小正方形的面积大

　　（8×2）×（8×2）÷2

　　=16×16÷2

　　=128（平方厘米）

　　又如，如图4.25，求正方形内阴影部分的面积。

（单位：

厘米）

　　表面上看，题目也是很难解答的。

但只要将两个卵叶片形的阴影部分绕正方形的中心，分别按顺时针和逆时针方向旋转90°，就得到了一个由阴影部分组成的半圆（如图4.26），于是，阴影部分的面积就很容易解答出来了。

（解答略）

　　【开扇式旋转】有些图形相互交错，增加了解答的难度。

若像打开折扇一样，绕着某个定点作“开扇式”旋转，往往会使人顿开茅塞，使问题很快获得解决。

例如，求图4.27的阴影部分的面积（单位：

厘米）。

若采用正方形面积减空白部分面积的求法，

　　计算量是很大的。

由于它是由两个形状相同的扇形交叉重叠而成的，我们不妨把右下部的扇形打开，顺时针方向旋转90°，得到图4.28；再继续旋转，得到图4.29。

在图4.29中，阴影部分面积便是半圆面积减三角形面积的差。

所以，阴影部分面积是

　　42×3.14÷2-（4+4）×4×2

　　=25.12-16

　　=9.12（平方厘米）

　　又如，求图4.30阴影部分的面积（单位：

厘米）。

　　将这个图从中间剪开，以o为旋转中心，将右半部分按顺时针方向转到左半部下方，便变成了图4.31。

于是，阴影部分的面积便是半圆面积减去两直角边均为2厘米的一个空白等腰直角三角形面积的差。

即

　　（4÷2）2×3.14÷2-2×2÷2

　　=6.28-2

　　=4.28（平方厘米）

15、小数和分数

　　【小数问题】

　　例1某数的小数点向右移动一位，则小数值比原来大25.65，原数是_______。

　　（1993年吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题）

　　讲析：

小数点向右移动一位以后，数值扩大了10倍，新数比原数就多9倍。

所以，原数为25.65÷9=2.85。

　　例2甲、乙两个数之和是171.6，乙数的小数点向右移动一位等于甲数，甲数是________。

　　（1993年广州市小学数学竞赛试题）

　　讲析：

由“乙数的小数点向右移动一位等于甲数”可知，甲数是乙数的10倍。

所以，乙数是171.66÷（10+1）=15.6，甲数是15.6。

　　例3用一个小数减去末位数字不为零的整数。

如果给整数添上一个小数点，使它变成小数，差就增加154.44，这个整数是________。

　　（1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）

　　讲析：

因为差增加154.44，所以这个整数一定是比原数缩小了100倍，即这个整数比原数增加了99倍，由154.44÷99=1.56可知，这个整数是156。

　　【分数问题】

　　（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）

　　讲析：

　　20×11+2=222，15×11=165。

　　（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

　　7至64这58个连续自然数中，去掉13的倍数13、26、39、52四个数，用余下的54个数作分子，可得到54个最简分数。

c，则三个分数的和为6。

求这三个真分数。

　　（第三届《从小爱数学》邀请赛试题）

　　因为三个分数为最简真分数，所以a只能是1、2，b只能取1、3，C只能取1、5。

　　经检验，a=2，b=3，c=5符合要求。

故三个真分数分别是

　　例4地同时满足下列条件的分数共有多少个？

（2）分子和分母都是质数；

　　（3）分母是两位数。

　　请列举出所有满足条件的分数。

　　（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题）

　　讲析：

100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、

　　即把不等式中三个分数的分子化为相同的办法，来搜寻分母。

　　所以，符合条件的分数有12个：

特殊解题方法

　　【穷举法】解答某些数学题，可以把问题所涉及到的数量或结论的有限种情况，不重复不遗漏地全部列举出来，以达到解决问题的目的。

这种解题方法就是穷举法。

　　例1从甲地到乙地有A、B、C三条路线，从乙地到丙地有D、E、F、G四条路线。

问从甲地经过乙地到达丙地共有多少条路线？

（如图3．28）

　　分析：

从甲地到乙地有3条路线，从乙地到丙地有4条路线。

从甲地经过乙地到达丙地共有下列不同的路线。

　　解：

3×4＝12

　　答：

共有12条路线。

　　例2如果一整数，与1、2、3这三个数，通过加减乘除运算（可以添加括号）组成算式，能使结果等于24，那么这个整数就称为可用的。

在4、5、6、7、8、9、10、11、12这九个数中，可用的有_______个。

（1992年小学数学奥林匹克初赛试题）

　　分析：

根据题意，用列式计算的方法，把各算式都列举出来。

　　4×（1＋2＋3）＝24（5＋1＋2）×3＝24

　　6×（3＋2－l）＝247×3十豆十2—24

　　8×3×（2－1）＝249×3—1—2—24

　　10×2＋l＋3＝2411×2＋3－l＝24

　　12×（3＋1－2）＝24

　　通过计算可知，题中所给的9个数与1、2、3都能够组成结果是24的算式。

　　答：

可用的数有9个。

　　例3从0、3、5、7中选出三个数字能排成_______个三位数，其中能被5整除的三位数有_________个。

（1993年全国小学数学竞赛预赛试题）

　　分析：

根据题中所给的数字可知：

　　三位数的百位数只能有三种选择：

　　十位数在余下的三个数字中取一个数字，也有3种选择；

　　个位数在余下的两个数字中取一个数字，有2种选择。

　　解:

把能排成的三位数穷举如下，数下标有横线的是能被5整除的。

　　305，307，350，357，370，375；

　　503，507，530，537，570，573；

　　703，705，730，735，750，753

　　答：

能排成18个三位数，其中能被5整除的有10个数。

　　例4数一数图3．30中有多少个大小不同的三角形？

　　分析：

为了不重复不遗漏地数出图中有多少个大小不同的三角形，可以把三角形分成A、B、C、D四类。

　　A类：

是基本的小三角形，在图中有这样的三角形16个；

　　B类：

是由四个小三角形组成的三角形，在图中有这样的三角形7个。

6个尖朝上，一个尖朝下。

　　C类：

是由九个小三角形组成的三角形，在图中有这样的三角形3个，尖都朝上。

　　D类：

是最大的三角形，图中只有1个。

　　解：

16＋7＋3＋1＝27（个）

　　答：

图中有大小不同的三角形共27个。

　　【设数法】有些数学题涉及的概念易被混淆，解题时把握不定，还有些数学题是要求两个（或几个）数量间的等量关系或者倍数关系，但已知条件却十分抽象，数量关系又很复杂，凭空思索，则不易捉摸。

为了使数量关系变得简单明白，可以给题中的某一个未知量适当地设一个具体数值，以利于探索解答问题的规律，正确求得问题的答案。

这种方法就是设数法。

设数法是假设法的一种特例。

　　给哪一个未知量设数，要便于快速解题。

为了使计算简便，数字尽可能小一点。

在分数应用题中，所设的数以能被分母整除为好。

若单位“1”未知，就给单位“1”设具体数值。

　　例1判断下列各题。

（对的打√，错的打×）

（1）除1以外，所有自然数的倒数都小于1。

（）

（2）正方体的棱长和它的体积成正比例。

（）

　　以上各数的倒数都小于1，就能猜测此题的说法是正确的。

　　第

（2）小题，给正方体的棱长设数，分析棱长的变化与其体积变化的规律。

　　由上表看出，正方体的棱长扩大2倍，体积扩大8倍；棱长扩大4倍，体积扩大64倍……这不符合正比例的含义，就能断定此题的说法是错误的。

几分之几？

　　分析：

先把女生人数看作单位“1”，假定女生人数为60人。

男生人数则为

　　女生人数比男生人数少几分之几，则为

　　解：

通过设数分析，理清了数量关系，找到了解题线索，便能顺利地列出综合算式。

　。

　　分析：

这道题似乎条件不够，不知从何下手。

不妨根据路程、时间、速度的关系，给从A地去B地的速度设一个具体数值试一试。

　　假设去时每小时走20千米，那么A、B两地的路程就是：

　　沿原路回家的速度则为：

　　回家时所需的时间则为：

　　解：

把全路程看作单位“1”。

　　例4已知甲校学生数是乙校学生数的40％，甲校女生数是甲校学生数的30％，乙校男生数是乙校学生数的42％，那么，两校女生总数占两校学生总数的百分比是____。

　　（1993年小学数学奥林匹克竞赛试题初赛B卷）

　　分析：

题中没有给出具体数量，且数量关系错综复杂，不易理清头绪。

我们不妨把乙校人数看作单位“1”，给乙校学生人数假定一个具体数值，这样就化难为易了。

若假定乙校学生为500人，则甲校学生为：

　　500×40％=200（人）

　　由甲校女生数是甲校学生数的30％，则甲校女生数为：

　　200×30％=60（人）

　　由乙校男生数是乙校学生数的42％，则乙校女生数为：

　　500×（1-42％）=290（人）

　　两校学生总数为：

　　500＋200=700（人）

　　两校女生总数为：

　　60＋290=350（人）

　　则两校女生总数占两校学生总数的百分比为：

　　350÷700=50％

　　解：

[500×40％×30％＋500×（1-42％）]÷（500＋200）

　　=[60+290]÷700

　　=350÷700

　　=50％

　　或[40％×30％+（1-42％）]÷（1＋40％）=50％

　　答：

两校女生总数是两校学生总数的50％。

　　例7如图3.32，正方形面积为20平方厘米，求阴影部分的面积。

　　分析：

一般的解法是先求正方形的边长和圆的半径，再求圆面积，然后用正方形的面积减去圆面积，即得阴影部分的面积。

这样算就要用到开平方的知识。

如果假设正方形的边长为1，运用小学的知识便能解决这个问题。

我们可以先求阴影部分的面积占正方形面积的百分之几，再计算阴影部分的面积。

　　设正方形的边长为1，正方形的面积则为：

　　12=1

　　圆的半径则为：

　　圆面积占正方形面积的百分比为：

　　阴影部分的面积占正方形面积的百分比为

　　1-78.5％=21.5％

　　由此可知阴影部分的面积为

　　20×21.5％=4.3（平方厘米）

　　解：

设正方形的边长为1，则阴影部分的面积为

　　=20×21.5％

　　=4.3（平方厘米）

　　答：

阴影部分的面积为4.3平方厘米。

　　注意：

如果把正方形的边长设为其它数，计算的结果都是相同的。

　　【类比法】类比法是运用类比推理解答问题的一种方法。

类比推理是根据两个对象有一部分属性相类似，从而推出这两个对象的其它属性也可能相类似的一种推理方法。

类比推理是富于创造性的一种思维方法，在小学数学中有着广泛的应用。

例如，分数和比都含有相除的意义，我们根据除法的商不变性质，类推出分数的基本性质和比的基本性质。

在解答数学题时，遇到问题A和问题B有许多类似的属性，见到问题B时就会联想到问题A，于是可以用解决问题A的办法去解决问题B，或者用解决问题B的办法去解决问题A。

　　例1从时针指向3点整开始，经过多少分钟，分针正好与时针重合？

　　分析：

此题与追及问题相类似。

如果把钟面上1分钟的距离作为1格，则1小时分针走60格，时针走5格。

那么分针走1格，

经过多少时间分针与时针重合，实质上就是要解决多少时间分针追上时针的问题。

　　例2A、B、C、D、E、F、G7个站，每两站间都是相隔600米。

问从A站到G站的路程是多少米？

　　分析：

不能简单回答从A站到G站的路程是600×7=4200（米）。

此题与在不是封闭的线路上要求两端都要植树的问题相类似，把7个站看成7棵树，根据段数比棵树少1的道理解答此题。

　　解：

600×（7-1）=3600（米）

　　答：

从A站到G站的路程是3600米。

　　例3王老师为学校购买音乐器材。

他带去的钱可以买10台手风琴或50把提琴，如果他买了6台手风琴后，把剩下的钱全部买提琴，可以买多少把提琴？

　　分析：

题中没有给出王老师带了多少钱，以及提琴和手风琴的单价等条件，怎么能算出剩下的钱可以买多少把提琴呢？

可是仔细一想，便可发现此题与工程问题相似。

如果把王老师一共带的钱数看作“1”，则每台手风琴

　　=20（把）

　　答：

可以买20把提琴。

　　此题还可用解正比例应用题的方法来解答，把题意转化为：

“买10台手风琴的钱与买50把提琴的钱相等，买4台手风琴的钱可以买多少把提琴？

”

　　解：

设可以买x把提琴

　　10∶（10-6）=50∶x

　　答：

可以买20把提琴。

　　【尝试法】解答某些数学题，可以先根据题意对题目的答案进行猜测，然后把猜测的答案试一试，看这个答案是否符合题意。

如果符合，则问题就得到解决。

如果不符合，就得对答案进行调整，或者重新猜测，直到找出正确的答案为止。

这种解题方法就是尝试法，或者叫做试验法。

　　例1把0、4、6、、7、8、9这六个数字，分别填入下面算式的方框内，每个方框只许填一个数字，使每个等式都成立。

　　分析：

比较两个等式，先填第二个等式有利于快速解题。

根据所给出的数字来分析，能使第二个等式成立的情况有两种：

　　6×9=547×8=56

　　如果把6×9=54填入第二个等式，那么还剩下0、7、8三个数字，经过多次试验，这三个数字不可能使第一个等式成立。

说明应重新调整。

　　把7×8=56填入第二个等式，那么还剩下0、4、9三个数字，把这三个数字填入第一个等式，能使第一个等式成立，问题便得到解决。

　　例2有一类小于200的自然数，每一个数的各位数字之和为奇数，而且都是两个两位数的乘积（例如144=12×12）。

那么这一类自然数中，第三大的数是_____。

（1992年小学数学奥林匹克初赛试题）

　　根据条件，可以猜测这些两位数的十位数只可能是1，而且两位数中不能出现11，因为11×11=121，11×12=132，11×13=143……乘积的每位数字之和均为偶数，不合题意，应予排除。

经过分析，猜测有了一定的范围，于是进行尝试，边尝试边筛选，以求得正确的解答。

　　10×10=10010×12=120

　　10×13=130（不合题意）10×14=140

　　10×15=150（不合题意）10×16=160

　　下面把不符合题意的情况，不再列举出来。

　　12×12=144，12×14=168，

　　12×15=180，13×14=182，

　　13×15=195。

　　把以上符合题意的乘积按从大到小的顺序排列：

195、182、180、168、160、144、120、100。

第三大的数是180。

　　答：

满足题设条件的自然数中，第三大的数是180。

　　分析：

为了统一单位“1”，把条件进行转化

　　　　　　　↓转化

　　　　　　　↓转化

　　因为人的个数是自然数，根据条件可以知道一队的人数一定是4和5的公倍数。

在100以内的数中4和5的公倍数有20、40、60……

　　凭直觉，认为一队人数是20人。

如果认定这个猜测是正确的，那么二队

　　100-20-15-16=49（人）

　　如果对这个答案有怀疑，不妨再试。

若一队人数为40人，则二队人数为30人，三队人数为32人，这样四个队的人数就超过了100，显然不合题意。

因此，第一次尝试的答案是正确的。

　　解：

通过转化条件和尝试求出一队人数为20人。

　　答：

四队有49人。

　　【探索法】当我们要解决某一个较复杂的问题时，可以从这个问题的部分特殊的情况入手，通过观察、分析、推理，从而探索出普遍的规律，运用这个规律，求得问题的解答。

这就是探索法。

　　例1在下面的数表中，第1994行左边第一个数是____。

　　分析：

先看数表中各数排列的情况，表中排列的数是2、3、4、5……等自然数，每行三个数，单行自左往右，双行自右往左。

左边每行第一个数按7、13、19……排，这是一列公差为6的等差数列。

通过仔细观察，就会发现一个规律，就是数表左边第一个数等于它所在的行数乘以3加1，即

　　左边第一个数=行数×3+1

　　运用这个规律，便能十分迅速地求出第1994行左边第一个数是：

　　1994×3＋1=5983

　　这个答案是否正确，可以通过计算验证。

　　7＋6×（1994÷2－1）=5983

　　由此证明原答案是正确的。

　　答：

数表中第1994行左边第一个数是5983。

　　例2先找出下面数列的排列规律，然后在括号里填上适当的数。

（1）2，8，32，128，（）

（2）1，4，5，2，8，10，4，（），（）。

　　分析：

观察

（1）题，发现相邻两个数后一个总是前一个数的4倍，因此括号里应填512。

再看第

（2）题，可以把每三个数分为一组，比较组与组之间数字排列的规律，如图3.33。

　　通过比较，发现后一组数中每一个数都分别是前一组数中相对应位置的那个数的2倍，因此括号里应填16，20。

　　解：

（1）2，8，32，128，（512）。

（2）1，4，5，2，8，10，4，（16），（20）。

　　分析：

我们不必计算到小数点后第1998位，可以从研究部分情况入手，发现规律，进行推理，而求得问题的解答。

可求得小数点后第1998位数是几？

　　解：

（1998-1）÷6=332……5

　　由上式可知1998位数字在循环节重复出现332次后的第五位上，因此这个数字是5。

　　答：

小数点后面第1998位数字是5。

　　例4数一数右图（图3.34）中有多少个三角形。

　　分析：

要知道图3.34有多少个三角形，不妨先分析图3.35这个简单图形。

三角形A’B’C’的B’C’边上有5个点，线段总数为：

　　4+3+2+1=10

　　数一数这个图形中正好一共有10个三角形。

于是可以知道底边上有多少条线段，便有多少个三角形。

　　用以上规律来研究三角形ABC中一共有多少个三角形。

这个三角形共分为三层，线段AB，DE，FG上都有5个点，从图上可知一层有三角形的个数是

　　4＋3＋2＋1=10（个）

　　那么三角形ABC中共有三角形

　　10×3=30（个）

　　解：

（4＋3＋2＋1）×3=30（个）

　　答：

三角形ABC中共有三角形30个。

　　例5先观察后计算

　　13+23=9（1+2）2=9

　　13+23+33=36（1+2+3）2=36

　　13＋23＋33＋43=100（1+2＋3＋4）2=100

　　13＋23＋33+43＋53=225（1＋2＋3＋4＋5）2=225

　　…………

　　计算：

13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83=？

　　分析：

通过观察，发现了这样的规律，即从1开始的连续自然数立方之和与这些连续自然数之和的平方。

根据这个规律可以巧算出

　　13＋23+33＋………＋83=（1+2＋3＋……+8）2

　　=362

　　=1296

　　【染色法】有许多数学问题，可以用不同的颜色来区分事物的不同类别。

通过着色把各种条件和问题，形象、直观地显示出来，使分析和处理问题，变得具体和明朗起来，从而使我们能找到一条解决问题的捷径。

　　例1图3.36由18块1×1的正方形拼成，你能否用9块2×1的长方形将图形盖住。

　　分析与解：

我们将图形中的小方格黑白相间涂色（如图3.37），那么有8块白格和10块黑格。

每一块2×1的长方形能够且只能盖住一块白格和一块黑格。

用8块2×1的长方形覆盖后，余下两块黑格，而余下的那块2×1的长方形是无法盖住2块黑格的。

　　所以9块2×1的长方形无法将题设的图形盖住。

　　例2右图（图3.38）为某展览会展室的布局，相邻两室之间有门相通，参观的人能否从入口进入A室依次而入，又不重复地看过各室的展览后，从B室进入出口处？

　　分析与解：

为了说清楚问题，如图（3.39）将各展室黑白相间涂上颜色。

不管人们选择什么路线，总是出了白室进黑室，出了黑室进白室。

共有16个展室，要经过15道门。

从A出发过第1道门进入黑室。

过第2道门进入白室，过第3道门进入黑室……，过第15道门进入黑室，而B室是白室。

所以想从白室依次而入，不重复地看过各室从B室进入出口是不可能的。

　　例317名科学家每两名都通信讨论问题，在他们的通信中仅讨论三个问题，任何一对科学家只讨论一个问题，那么至少有三个科学家互相通信讨论同一个问题。

你能说明这个理由吗？

　　分析与解：

将三个不同问题，用红、黄、蓝三种颜色表示，17名科学家看作17个点，两点之间用或红、或黄或蓝的线段相连接表示讨论某个不同的问题。

每一点都要发出16条线段。

由抽屉原理，至少有6条线段同色。

如图3.40表示从点A发出的6条同色线段AA1、AA2、AA3、AA4、AA5、AA6，不妨设这6条线段是红色。

　　下面考虑A1、A2、A3、A4、A5、A6之间连线的着色情况

（1）若这6点所连线段至少有一条红色，例如A1A2，那么三角形AA1A2三边是红色，表示这三个科学家互相讨论同一个问题。

（2）若这6点间所连线段没有一条红色。

那么只能是黄色和蓝色。

这6点每一点可发出5条线段。

由抽屉原理，至少有三条同色，不妨设为黄色。

如图假设A1A2，A1A3，A1A4为黄色。

再考虑A2、A3、A4间所连线段的着色情况。

　　①若A2、A3、A4间的连线至少有一条黄色，不妨设A2A3为黄色，那么得三角形A1A2A3是三边黄色的三角形，表示这三个科学家讨论同一问题。

　　②若A2、A3，A4间的连线没有一条黄色，那么就得一个三边为蓝色的三角形A2A3A4，表示这三个科学家讨论同一问题。

　　由以上讨论可知，无论怎样，至少有三个科学家互相通信讨论同一个问题。