概率论与数理统计复旦大学出版社第四章课后答案.docx
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概率论与数理统计复旦大学出版社第四章课后答案
概率论与数理统计复旦大学出版社第四章课后答案
概率论习题四答案
1.设随机变量X的分布律为
求E（X）,E（X）,E（2X+3）.
【解】
（1）11111（）
（1）012;82842
EX=-⨯+⨯+⨯+⨯=
（2）2222211115（）
（1）012;82844
EX=-⨯+⨯+⨯+⨯=（3）1（23）2（）32342
EXEX+=+=⨯+=2.已知100个产品有10个次品,求任意取出的5个产品的次品数的数学期望、方差.
故（）0.58300.34010.07020.0073EX=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.501,=
5
2
0（）[
（）]ii
iDXxEXP==-∑222（00.501）0.583（10.501）0.340（50.501）00.432.=-⨯+-⨯+
+-⨯=
3.设随机变量
且已知E（X）=0.1,E（X2）=0.9,求123,,ppp.
【解】因1231ppp++=……①,
又12331（）
（1）010.1EXppppp=-++=-=……②,
222212313（）
（1）010.9EXppppp=-++=+=……
由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.ppp===
4.袋有N只球,其的白球数X为一随机变量,已知E（X）=n,问从袋任取1球为白
球的概率是多少?
【解】记A={从袋任取1球为白球},则
（）{|}{}N
kPAPAXkPXk===∑全概率公式
1{}{}
1（）.N
N
kkkPXkkPXkNN
nEXNN
=====
===∑∑
5.设随机变量X的概率密度为
f（x）=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,
10,其他xxxx
求E（X）,D（X）.【解】12
20
1
（）（）dd
（2）dEXxfxxxxxxx+∞
-∞
=
=+-⎰
⎰⎰
2
1
3
320111.33xxx⎡⎤
⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
12
22320
1
7
（）（）dd
（2）d6
EXxfxxxxxxx+∞
-∞
==+-=
⎰
⎰⎰故2
2
1（）（）[（）].6
DX
EXEX=-=
6.设随机变量X,Y,Z相互独立,且E（X）=5,E（Y）=11,E（Z）=8,求下列随机变量的数学期望.
（1）U=2X+3Y+1;
（2）V=YZ-4X.
【解】
（1）[]（231）2（）3（）1EUEXYEXEY=++=++25311144.=⨯+⨯+=
（2）[][4][]4（）EVEYZXEYZEX=-=-,（）（）4（）YZEYEZEX-因独立
1184568.=⨯-⨯=7.设随机变量X,Y相互独立,且E（X）=E（Y）=3,D（X）=12,D（Y）=16,求E（3X-2Y）,
D（2X-3Y）.【解】
（1）（32）3（）2（）33233.
EXYEXEY-=-=⨯-⨯=
（2）22（23）2（）（3）412916192.DXYDXDY-=+-=⨯+⨯=
8.设随机变量（X,Y）的概率密度为
f（x,y）=⎩⎨
⎧<<<<.,
0,
0,10,其他xyxk
试确定常数k,并求E（XY）.
【解】因
1
1
（,）dddd1,2
x
fxyxyxkyk+∞+∞
-∞
-∞
==
=⎰⎰
⎰⎰故k=21
（）（,）ddd2d0.25x
EXYxyfxyxyxxyy+∞
+∞
-∞
-∞
===⎰
⎰
⎰⎰.
9.设X,Y是相互独立的随机变量,其概率密度分别为
2,01,
（）0,;Xxxfx≤≤⎧=⎨
⎩其它（5）e,5,（）0,
.yYyfy--⎧>=⎨⎩其它求（）EXY.
【解】方法一:
先求X与Y的均值1
2（）2d,3
EXxxx
==⎰
5
（5）5
（）ed
5
eded516.
zyyz
z
EYyyzz
z+∞
+∞+∞=-----=
+=+=⎰
⎰⎰
令由X与Y的独立性,得
2
（）（）（）64.3
EXYEXEY==⨯=
方法二:
利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立,故联合密度为
（5）2e,01,5,
（,）（）（）0,
yXYxxyfxyfxfy--⎧≤≤>==⎨⎩其他
于是
1
1
（5）
2
（5）5
5
2
（）2e
dd2d
ed64.3
yyEXYxyxxyxx
yy+∞
+∞
----===⨯=⎰
⎰
⎰⎰
10.设随机变量X,Y的概率密度分别为
（）Xfx=⎩⎨
⎧≤>-;0,0,0,22xxxe（）Yfy=⎩⎨⎧≤>-.
0,
0,
0,
44yyye求
（1）（）EXY+;
（2）2（23）EXY-.【解】22-20
（）（）d2ed[e
]edx
xxXEXxfxxxxxx+∞
+∞
+∞
--+∞
-∞
===-+⎰
⎰
⎰
20
1
ed.2xx+∞
-==⎰
40
1（）（）d4edy.4y
YEYyfyyy+∞
+∞--∞=
==⎰
⎰
2
22420
21
（）（）d4ed.48
yYEYyfyyyy+∞
+∞
--∞
===
=⎰
⎰
从而
（1）113
（）（）（）
.24
4EXYEXEY+=+=+=
（2）22
115（23）2（）3（）23288
EXYEXEY-=-=⨯-⨯=
11.设随机变量X的概率密度为
f（x）=⎪⎩⎪⎨
⎧<≥-.
0,
0,
0,
2
2xxcxx
k
e
求
（1）系数c;
（2）（）EX;（3）（）DX.【解】
（1）由
22
2
（）ded12kxcfxxcxxk
+∞
+∞
--∞
==
=⎰
⎰得2
2ck=.
（2）22
20
（）（）d（）2edkxEXxfxxxkxx+∞
+∞
--∞
=
=⎰
⎰
22
2
20
2ed2kxk
xxk
+∞
-==
⎰
（3）22
2
22220
1（）（）d（）2e.kxEXxfxxxkxdxk
+∞
+∞
--∞
=
==
⎰
⎰
故
2
22
2214π（）（）[（）].4DXEXEXkk
-=-=-=⎝⎭12.袋有12个零件,其9个合格品,3个废品.安装机器时,从袋一个一个地取出（取
出后不放回）,设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X,求（）EX和（）DX.【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数,则X的可能取值为0,1,2,3.为求其分布律,下面求取这些可能值的概率,易知
9{0}
0.750,12PX===39{1}0.204,1211PX==⨯=329{2}0.041,121110PX==⨯⨯=3219{3}0.005.1211109PX==⨯⨯⨯=于是,得到X的概率分布表如下:
由此可得（）00.75010.20420.04130.0050.301.EX=⨯+⨯+⨯+⨯=
222222
2
2
（）075010.20420.04130.0050.413（）（）[（）]0.413（0.301）0.322.
EXDXEXEX=⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=
13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布,概率密度为
4
1e,0,
（）4
0,0.x
xfxx-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
为确保消费者的利益,工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备,
工厂获利100元,而调换一台则损失200元,试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值:
100元和-200元
/41
1
{100}{1}ede
4
xPYPXx+∞
--
==
≥==⎰{200}{1}1e
.
PYPX-=-=<=-故1/41/41/4（）100e（200）（1e）300e20033.64EY---=⨯+-⨯-=-=（元）.14.设12,,
nXXX是相互独立的随机变量,
且有2（）,（）,1,2,
iiEXDXinμσ===,
记1
1niiXXn==∑,
2
211（）1niiSXXn==--∑.
（1）验证）（XE=μ,）（XD=n
2
σ;
（2）验证22
21
1
（）1n
iiSXnXn==--∑;
（3）验证22（）ESσ=.
【证】
（1）11
111
11（）（）（）.nn
niiiiiiEXEXEXEXnuunnnn===⎛⎫=====⎪⎝⎭∑∑∑
22
111
11
1（）（）nn
n
iiii
iiiDXDXDXXDX
nn
n===⎛⎫==⎪⎝⎭∑∑∑之间相互独立
22
21.nnn
σσ==
（2）因为
2
2
2
2
21
1
1
1
（）
（2）2n
n
n
n
i
i
ii
iiiiiX
XXXXXXnXXX====-=+-=+-∑∑∑∑
2
2
221
1
2n
n
i
iiiXnXXnXXnX===
+-=-∑∑
故22
21
1
（）1n
iiSXnXn==--∑.
（3）因为2（）,（）iiEXuDXσ==,故2222
（）（）（）.iiiEXDXEXuσ=+=+同理因为2
（）,（）EXuDXn
σ==
故2
2
2（）EXun
σ=
+.
从而
222
2
21111（）（）[（）（）]11
nn
iiiiESEXnXEXnEXnn==⎡⎤=-=-⎢⎥--⎣⎦∑∑
221
222221[（）（）]11（）.
1
n
iiEXnEXnnununnσσσ==--⎡⎤⎛⎫=
+-+=⎢⎥⎪-⎝⎭⎣
⎦∑
15.对随机变量X和Y,已知（）2DX=,（）3DY=,（,）1CovXY=-,
计算:
（321,43）
CovXYXY-++
-
【解】Cov（321,43）3（）10ov（,）8（）XYXYDXCXYDY-++-=+-3210
（1）8328=⨯+⨯--⨯=-
（因常数与任一随机变量独立,故（,3）（,3）0CovXCovY==,其余类似）.16.设二维随机变量（,）XY的概率密度为
22
1,1,
（,）π
0,
.xyfxy⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它试验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的.【解】设22{（,）|1}Dxyxy=+≤.
221
1
（）（,）ddddπxyEXxfxyxyxxy+∞
+∞
-∞
-∞
+≤==
⎰
⎰
⎰⎰2π1
00
1=
cosdd0.πrrrθθ=⎰⎰
同理E（Y）=0.（注意到积分区域的对称性和被积函数是奇函数可以直接得到0）而Cov（,）[（）][（）]（,）ddXYxExyEYfxyxy+∞+∞
-∞
-∞
=
--⎰⎰
222π12
00111ddsincosdd0ππ
xyxyxyrrrθθθ+≤=
==⎰⎰⎰⎰,由此得0XYρ=,故X与Y不相关.下面讨论独立性,当1x≤
时,（）Xfx=
当1y≤
时,（）Yfy=
显然（）（）（,）XYfxfyfxy≠,故X和Y不是相互独立的.17.设随机变量（,）XY的分布律为
验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的.
【解】联合分布表含有零元素,X与Y显然不独立,由联合分布律易求得X,Y及XY的分布律,其分布律如下表:
由期望定义易得（）EX=（）EY=（）EXY=0.
从而（）EXY=（）EX（）EY,再由相关系数性质知xyρ=0,即X与Y的相关系数为0,从而X和Y是不相关的.又331
{1}{1}{1,1}888
PXPYPXY=-=-=
⨯≠==-=-从而X与Y不是相互独立的.
18.设二维随机变量（X,Y）在以（0,0）,（0,1）,（1,0）为顶点的三角形区域上服从均
匀分布,求（,）CovXY,xyρ.【解】如图,SD=
1
2
故（X,Y）的概率密度为
题18图
2,（,）,
（,）0,xyDfxy∈⎧=⎨
⎩其他.
（）（,）ddDEXxfxyxy=⎰⎰11001d2d3xxxy-==⎰⎰
22（）（,）ddD
EXxfxyxy=⎰⎰112001
d2d6xxxy-==⎰⎰
从而2
22111
（）（）[（）].6318
DX
EXEX⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭
同理11（）,（）.318
EYDY=
=而110
1
（）（,）dd2ddd2d.12
x
D
D
EXYxyfxyxyxyxyxxyy-====
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
所以
1111Cov（,）（）（）（）123336
XYEXYEXEY=-=
-⨯=-.从而
112）（）
XYDYρ-
=
=
=-
19.设（X,Y）的概率密度为
f（x,y）=1
ππsin（）,0,0,2220.xyxy,
⎧+≤≤≤≤⎪
⎨⎪⎩其他
求协方差（,）CovXY和相关系数xyρ.【解】π/2
π/2
1π（）（,）dddsin（）d.24
EXxfxyxyxx
xyy+∞+∞
-∞
-∞
=
=+=⎰⎰
⎰
⎰
π
π
22
2
220
1ππ（）dsin（）d2.282
EXxxxyy=
+=+-⎰
⎰
从而
22
2
ππ
（）（）[（）]2.162
DX
EXEX=-=+-
同理2πππ
（）,（）2.4162
EYDY==+-
又π/2
π/2
π
（）dsin（）dd1,2
EXYxxyxyxy=
+=-⎰
⎰
故2
πππ
π4Cov（,）（）（）（）1.
244
4XYEXYEXEY-⎛⎫⎛
⎫=-=--⨯
=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭
2
22222π4（π4）π8π164.π
ππ8π32π8π32）（）2162
XYDYρ-⎛⎫
-⎪--+⎝⎭=
==-=-+-+-+-
20.已知二维随机变量（X,Y）的协方差矩阵为⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡4111,试求Z1=X-2Y和Z2=2X-Y的相关系数.
【解】由已知条件得:
D（X）=1,D（Y）=4,Cov（X,Y）=1.
从而
12（）
（2）（）4（）4Cov（,）1444113,（）
（2）4（）（）4Cov（,）414414,DZDXYDXDYXYDZDXYDXDYXY=-=+-=+⨯-⨯==-=+-=⨯+-⨯=
12Cov（,）Cov（2,2）ZZXYXY=--
2Cov（,）4Cov（,）Cov（,）2Cov（,）
2（）5Cov（,）2（）2151245.
XXYXXYYYDXXY
DY=--+
=-+=⨯-⨯+⨯=
故
12
2）（）ZZDZρ=
==
21.对于两个随机变量V,W,若E（V2）,E（W2）存在,证明:
[E（VW）]2≤E（V2）E（W2）.
这一不等式称为柯西—许瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式.【证】考虑实变量t的二次函数
2222（）[（）]（）2（）（）gtEVtWEVtEVWtEW=+=++
因为对于一切t,有2（）0VtW+≥,所以（）0gt≥,从而二次方程（）0gt=或者没有实根,或者只有重根,故其判别式Δ≤0,即222[2（）]4（）（）0EVWEWEV∆=-≤
故222[（）]（）（）EVWEVEW≤
22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机,出现
故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障
工作的时间Y的分布函数（）Fy.
【解】由题设可知:
设备开机后无故障工作的时间1
（）5
X
E,其概率密度为151,0（）50,0xexfxx-⎧>⎪
=⎨⎪≤⎩
根据题意{}min,2YX=,所以Y的分布函数为{}{}
（）min,2FyPXy=≤
当0y<时,{}{}
{}（）min,20FyPXyPXy=≤=≤=;当02y≤<时,{}{}
{}1
1
550
1（）min,215
xyy
FyPXyPXyedxe--=≤=≤==-⎰
;当2y≥时,{}{}
（）min,21FyPXy=≤=;
于是Y的分布函数为:
1
50,
0,（）1,02,1,2yyFyeyy-<⎧⎪⎪
=-≤<⎨⎪≥⎪⎩
。
23.已知甲、乙两箱装有同种产品,其甲箱装有3件合格品和3件次品,乙箱仅装
有3件合格品.从甲箱任取3件产品放乙箱后,求:
（1）乙箱次品件数Z的数学期望;
（2）从乙箱任取一件产品是次品的概率.【解】
（1）Z的可能取值为0,1,2,3,Z的概率分布为
333
36
CC{}Ckk
PZk-==
0,1,2,3.k=即
因此,（）0123.202020202
EZ=⨯+⨯+⨯+⨯=
（2）设A表示事件“从乙箱任取出一件产品是次品”,根据全概率公式有
3
（）{}{|}kPAPZkPAZk====∑
191921310.202062062064
=
⨯+⨯+⨯+⨯=24.假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布（,1）Nμ,内径小于10或
大于12为不合格品,其余为合格品.销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损,已
知销售利润T（单位:
元）与销售零件的内径X有如下关系
1,
10,20,1012,5,12.XTXX-<⎧⎪
=≤≤⎨⎪->⎩
问:
平均直径μ取何值时,销售一个零件的平均利润最大?
【解】因为~（,1）XNμ,所以平均利润
（）{10}20{1012}5{12}ETPXPXPX=-<+≤≤->
{10}20{1012}5{12（10）20[（12）（10）]5[1（12
）]25（12）21（10）5.
PXuuPuXuuPXuu
uuuuuu=--<-+-≤-≤--->
-=-Φ-+Φ--Φ---Φ-=Φ--Φ--
令d（）
25（12）
（1）21（10）
（1）0（（））dxETuuxu
ϕϕϕ-=-⨯---⨯-==
得22（12）/2
（10）/2
2521uue
e
----
=
两边取对数有
2211
ln25（12）ln21（10）.22uu--=--
解得1251
11ln
11ln1.1910.91282212
u=-=-≈（
毫米
因为该问题有唯一驻点,所以当10.9μ=毫米时,平均利润最大.25.设随机变量X的概率密度为
1
cos,0π,（）22
0,
.xxfx⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于π/3的次数,求2
Y的数学期望.（2002研考）
【解】令π1,,3
（1,2,3,4）π0,3iXYi⎧
>⎪⎪==⎨
⎪≤⎪⎩
X.
则1234,,,YYYY相互独立,都服从（0—1）分布,且4
1
iiYY==∑.
因为
ππ{}1{}33pPXPX=>=-≤及π/30π11
{}cosd3222
xPXx≤==⎰,
所以111
（）,（）,（）42242
iiEYDYEY===⨯=221
（）41（）（）4
DY
EYEY=⨯==-,
从而222（）（）[（）]125.EYDYEY=+=+=
26.两台同样的自动记录仪,每台无故障工作的时间iT（i=1,2）服从参数为5的指数分布,首
先开动其一台,当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间12TTT=+的概率密度（）Tft,数学期望（）ET及方差（）DT.【解】由题意知:
55e,0,（）0,
0titftt-⎧>=⎨≤⎩.
因为1T与2T独立,所以由卷积公式得12TTT=+的概率密度
12（）（）（）dTftfxftxx+∞
-∞
=-⎰
当0t≤时,（）Tft=0;当0t>时,55（）5120
（）（）（）d5e5ed25et
xtxtTftfxftxxxt
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