第12讲巧解圆的周长和面积二.docx
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第12讲巧解圆的周长和面积二
第12讲巧解圆的周长和面积
（二）
（1）圆上任意一点到圆心的距离相等。
（2）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
（3）圆周率是一个无限不循环小数，圆周率是圆周长c与直径d的比值π=
。
（4）圆的面积S=πr2，这一公式的得来是用等分圆周逼近法求出来的。
（5）扇形是圆的一部分，圆心角是n度的扇形面积公式为S扇形=
.n先把圆周长2πr分成360份，每份长
，所以圆心角为n度的扇形的弧长为AB=
n=
n。
例1、两条爬行动物速度相同的小小虫同时从起点出发，分别沿A、
B两条拍到爬行（如右图），其起点部分于终点部分都是直道，中间绕过的是半圆形道。
如果跑道每道宽1．22米，要使它们同时到达各自的终点与跑道A的终点相距多少米？
解：
设跑道A的半径为R米，那么跑道B的半径为（R+1．22）米，在半圆部分产生了差距。
跑道A的半圆周长为πR米，跑道不B的半圆周长为π（R+1．22）米
两个半圆的长度差为π（R+1．22）-πR=π×1．22≈3．83（米），这就是跑道A、B相距的距离。
答：
跑道B的终点应与跑道A的终点相距3．83米。
做一做：
赤道是地球的“腰带”，它长约4万千米，如果这条想象的“长带”离开地球表面2米，那么，它会比原来长出多少米？
例2、如右下图，如果四个圆的半径为1厘米，求：
（1）阴影部分的总面积。
（2）四个圆盖住的总面积。
分析与解
（1）图中阴影部分是由四个圆的重叠部分形成的，这四个圆的四条直径围成个正方形，四个半圆的面积之和减去正方形的面积，就是阴影部分的面积:
2×π×
-22=2π-4=2．28（厘米2）
（2）四个圆盖住的总面积=4S圆–S阴
=4×π×12-2．28
=12．56-2．28=10．28（厘米2）
答：
阴影部分的总面积为0．57（厘米2），四个圆盖住的总面积为10．28（厘米2）。
做一做：
求右下图中阴影部分与大圆的面积之比和周长之比。
例3、如右图，其中圆的周长等于正三角形的一条边的边长。
该圆沿着三角形外周滚动一周，问：
圆自转了多少圈？
解：
在每条边上各一圈，共3圈；在每个角上各转
圈，共转1圈；总共转3+1=4（圈）。
做一做：
桌上放置着大小一样的两枚硬币，其中一枚硬币固定不动，另外一枚硬币沿着定币的外缘做无滑动的滚动。
当动币绕着定币滚动一周之后，动币自动转了几圈？
例4、如下图所示，一个圆正在五角星形的外侧，从A处开始做于正五角形的变相切（即紧靠边）的滚动。
如果BC长度等于圆周长，问：
当此圆滚动回到原出发点时（包括自转）共转了几圈？
解：
正五角星形每个角都是36°，没转过一个角，圆要转
=
圈，转5个角，合2圈；同时又要转10条边，总计12圈。
另外，当圆处在如果在如图的D、A、B位置时，圆并没有转过线段DA和ＡＢ，所以在凹角处，圆没有转圈。
因此，圆总计转２＋１０＝１２（圈）。
做一做：
如右图，若一个圆的周长等于一个正方形的边长，将此圆绕着正方形外侧滚动一周，则圆转了几圈？
？
例５、如下图，在一个大正方形里有一个小正方形里有一个小正方形ABCD，小正方形沿大正方形的变翻转，翻转两次后，求顶点B所划过的曲线的长度，并画出这一曲线（大正方形的边长为2厘米，小正方形的边长为1厘米）。
解：
B点轨道是两条弧，弧的半径为1厘米，圆心角为90°，一条弧长为
×90=
π
所以，两条弧共长
π×2=π≈3.14（厘米）。
答：
顶点B所划过的曲线的长度是3.14
做一做：
有一个边长为1的等边三角形，现将三角形沿水平线翻动，如下图所示，B点从开始的位置到结束的位置，它所经过的路线总长度是多少？
例6、如图1，大轮B是个定轮，小轮A沿B轮的外沿滚动。
问：
（1）图1中，若小轮A公转一周所扫过的面积是301.44厘米2，则小轮A的半径是多少？
图
（2）中，小轮的圆心A所划出的图形是什么曲线？
周长是多少？
（你可以用硬币进行试验）
解：
（1）小轮扫过的面积是一个圆环，其面积为301.44厘米2。
根据题意有π（R+2r）2-πR2=301.44
3.14×（5+2r）2-3.14×52=301.44
3.14×（5+2r）2=301.44+3.14×52
（5+2r）2=（5+6）2
r=3（厘米）
（2）圆心A所划出的曲线是一个圆，如图2，其半径为（R+r）圆周长l为：
L=2π（R+r）=2π×（5+3）=50.24（厘米）
答：
小轮A的半径是3厘米，圆心A划出的图形是一个圆，周长是50.24厘米。
做一做：
有一个边长为1厘米的等边三角形，现将三角形沿水平线翻动，如果这个三角形的面积近似为0.87平方厘米，求三角形运动时所扫过的面积。
例7、取八枚大小相同的硬币，摆成图
（一）形状。
最上端那个硬币（圆A）顺着排成圈6个硬币滚动着旋转一周。
问：
硬币A自己一共旋转了几圈？
分析与解：
如图
（二），首先我们把硬币A、硬币B和硬币C上的圆周都平均分成6份，得到等分点Ａ１、A2、A3....B1、B2、B3……C1、C2、C3·····相邻两点的弧长都是整圆周长的
。
开始时硬币A上的Ａ１点和硬币B上的B1的接触，硬币A从B1点出发，沿圆弧到B2点（和A2重合，圆A滚过了60°），同时使硬币A上的另一点A3和硬币C上的C1点重点，硬币A再演圆弧到达C2点（此时和A4重合，圆A又滚动了60°），所以这时圆A一共滚过了120°，这也就相当于硬币A绕硬币B滚过了
圈。
由于这些圆的半径都相等，硬币A在B、C、D、E、F、G这六个圆上所滚过的弧长都相等，都等于其中一个圆周长的
，即在每个圆上都滚过了
圈。
所以硬币A顺着排成圈的6个硬币滚动着旋转一周，一共滚动过了（
×6）圈。
考虑硬币A的自转，它一共旋转的圈数为；
解（1+1）×
×6=4（圈）
小结：
可以得出硬币A旋转的图数是
×6的2倍，即硬币A绕自己的中心一共旋转了
×6×2=4图。
做一做：
如图，小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长时大正六边形边长的一半。
如果小正六边形沿大正六边形的边滚动一周后回到出发时的位置，那么在这个过程中，线段ＯＡ绕Ｏ点旋转了几圈？
巧练习——温故知新
1、如下图，所有圆弧都是半圆，最大半圆AB长为36厘米，求阴影部分部分图形的周长（A、B、C、在一条直线上）。
2、钟楼上的一只大钟的秒针长1米，这根秒针的尖端一天要走多少米？
3、如右图所示，桌面上放真一块木板，板上有一个圆孔，孔内有一个小圆板，小圆的直径刚好等于大圆的半径。
将小圆板滚动，问：
（1）小圆的圆心在滚动时画出的是什么样的曲线？
如果大圆的周长是10厘米，那么小圆的圆心Q2在运动时画出的曲线有多长？
（2）小圆的圆周上有一点B，如图所示,它正好与大圆的A重合，将小圆紧贴着大圆滚动下去，请你把所有这样的与B点重合的大圆上的点标出来。
（3）圆中小圆上有一个箭头，正处于水平位置，指向左方，那么在小圆滚动的过程中，这个箭头向时小圆在什么位置？
把所有这样的位置都画出来。
4、大雪后的一天，小亮和爸爸共同测一圆形花圃的直径。
他们沿着花圃圆周行走，他俩的起点和走向的方向完全相同，小亮每步54厘米，爸爸每步长72厘米，由于俩人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。
求这个花圃直径。
5、两个五分的硬币放在桌面上，一个硬币固定不动，另一个硬币紧贴着这个硬币的边缘，并绕着它转动一周，当这个硬币在回到原来的位置时，它自身转了几周？
（你可以试一下）
6、青湖一条直线，将下图中的五个圆分成面积相等的两部分。
7、如下图，在正方形内有一个圆（内切圆），圆内又有一个内接正方形，顶点在圆周上，如此继续作图。
设大正方形面1，求从外到内数第二个正方形的面积，第四个正方形的面积及第n个正方形的面积。
8、如下图，有一只被栓在一个建筑物墙角上，这个建筑物是边长都等于6米的等边三角形，绳子是8米。
求绳被狗拉紧时，狗运动后所围成的区域或面积。
9、如下图，两个用纸片剪成的正方形放在桌面上，小正方形ＡＢＣＤ的面积为２０米２，大正方形ＯＰＱＲ的面积为３６米２。
如果大正方形顶点Ｏ落在小正方形中心Ｏ上并以Ｏ为圆中心不停的旋转。
（１）求大正方形旋转所扫过的面积：
（２）大正方形于小正方形重叠部分（如图中阴影部分所示）的位置于形状在不断变化，那么大正方形转到什么位置时，重叠部分的面积最大？
为什么？
１０、如下图所示，一个正方形边长为１０厘米，内有一个半径为２厘米的圆片贴紧着正方形的内壁运动，求他扫过的面积。
11、有一机械装置如下图所示，杆长ＡＢ＝５０厘米，干端上链接一个小圆片，半径为５厘米。
干ＡＢ如图那样运动，其运动的最大角度是６０°，求小圆片所所扫过的面积。
12、当一个圆盘沿着一个直径是它的两倍的圆盘内壁无滑动旋转一周时，小圆盘自转几圈？
13、一个圆在如下图所示的去西安内壁滚动一周，圆自身转了几圈？
14、正方形ＡＢＣＤ沿着直线ｌ“滚动”。
当Ａ点再次接触直线ｌ时，正方形的半条对角线ＯＡ再滚定过程中扫过的面积如图中的阴影部分所示。
设OA厘米，求阴影部分的面积。
15、如图，一头羊被7米长的绳子栓在正五边形建筑的一个顶点O上，建筑物边长3米，周围都是草地，这头羊能吃到的草地上的面积多少平方米？
（π≈3）
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