机械波和电磁波习题解答.docx

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机械波和电磁波习题解答

第十六章机械波和电磁波

一选择题

1.当一平面简谐波通过两种不同的均匀介质时，不会改变的物理量是：

（）

A.波长和频率B.波速和频率

C.波长和波速D.频率和周期

解：

答案选D

2.已知一平面简谐波方程为y=Acos（at-bx），（a,b为正值），则：

（）

A.波的频率为a

B.波的传播速度为b/a

C.波长为π/b

D.波的周期为2π/a

解：

答案选D

3.如图所示，一平面简谐波沿x轴正向传播，坐标原点O的振动规律为y=Acos（ωt+0），则B点的振动方程为：

（）

A.y=Acos[ωt-（x/u）+0]

B.y=Acosω[t+（x/u）]

C.y=Acos{ω[t-（x/u）]+0}

D.y=Acos{ω[t+（x/u）]+0}

解：

任意点B处的振动方程就是沿x轴正向传播的波动方程y=Acos{ω[t-（x/u）]+0}。

所以答案选C。

4.一列沿x轴正向传播的平面简谐波，周期为0.5s，波长为2m。

则在原点处质点的振动相位传到x=4m处所需要的时间为（　　　）

A.0.5sB.1sC.2D.4s

解因为波传播的距离4m是波长2m的2倍，因此传播这段距离所需的时间为2个周期，即为2s。

也可以按下面的方法计算。

波速

m/s，则原点处质点的振动相位传到x=4m处所需要的时间为

s。

故B正确。

5.两相干波源S1和S2，相距为

λ，其初相位相同，且振幅均为1.0×10-2m，则在波源S1和S2连线的中垂线上任意一点，两列波叠加后的振幅为（）

A.0B.1.0×10-2mC.

×10-2mD.2.0×10-2m

解

，因为两波源初相位相同，在波源S1和S2连线的中垂线上各点到两个波源的距离

，所以

，两列波叠加后的振幅

m，故正确选项为D。

6.波的能量随平面简谐波传播，下列几种说法中正确的是：

（）

A.因简谐波传播到的各介质体积元均作简谐振动，故其能量守恒

B.各介质体积元在平衡位置处的动能，势能最大，总能量最大

C.各介质体积元在平衡位置处的动能最大，势能最小

D.各介质体积元在最大位移处的势能最大，动能为0

解：

答案选B

7.一平面简谐波在弹性介质中传播，在介质质元从平衡位置运动到最大位移处的过程中：

（）

A.它的动能转换成势能

B.它的势能转换成动能

C.它把自已的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐增大

D.它把自已的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐减小

解：

答案选D

8.在同一介质中两列相干的平面简谐波的强度之比I1/I2=4，则两列波的振幅之比A1/A2是：

（）

A.4B.2C.16D.1/4

解：

波的强度正比于振幅的平方，因I1/I2=4，故A1/A2=2。

所以答案选B。

9.某时刻驻波波形曲线如图所示，则a，b两点处振动的相位差是：

（）

A.πB.π/2C.0D.无法确定

解：

a，b两点位于一个波节的两侧，根据驻波的相位特征，波节两侧各点的振动相位相反，故相位差是π。

所以答案选A。

10.在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动是：

（）

A.振幅相同，相位相同B.振幅不同，相位相同

C.振幅相同，相位不同D.振幅不同，相位不同

解：

根据驻波的振幅和相位特征分析。

答案选B。

11．设声波在介质中的传播速度为u，声源的频率为S，若声源S不动，而接收器R相对于介质以速度VR沿着S、R连线向着声源S运动，则在S、R连线上各介质点的振动频率为：

（）

A．SB．

C．

D．

解：

波源不动，介质中波的频率不变。

故答案选A。

12.电磁波在自由空间传播时，电场强度E与磁场强度H：

（）

A.在垂直于传播方向上的同一条直线上B.朝互相垂直的两个方向传播

C.互相垂直，且都垂直于传播方向D.有相位差π/2

解：

答案选C。

二填空题

1.一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知x=0处的振动规律为y=cos（ωt+0），波速为u，坐标为x1和x2两点的振动相位差是。

解：

2.一平面简谐机械波沿x轴正方向传播，波动方程为y=0.2cos（πt-πx/2）m，则x=-3m处介质质点的振动加速度a的表达式为。

解：

m/s2

3.一个余弦横波以速度u沿x轴正向传播，t时刻波形曲线如图所示。

试分别指出图中A，B，C各点处介质质元在该时刻的运动方向：

A、；B、；C、。

解：

向下；向上；向上。

4.一平面简谐机械波在介质中传播时，若一介质质元在t时刻的能量是10J，则在（t+T）（T是波的周期）时刻该介质质元的振动动能是。

解：

5J

5.强度为I的平面简谐波沿着波速u的方向通过一面积为S的平面，波速u与该平面的法线n0的夹角为，则通过该平面的平均能流是。

解：

IScos

6.一平面简谐波在截面面积为3.00×102m2的空气管中传播，设空气中声速为330m/s。

若在10s内通过截面的能量为2.70×102J，则波的平均能流密度为；波的平均能量密度为。

解：

（1）平均能流

J.s1，平均能流密度

=9.00×102Js1m2。

（2）I=

.u，

=I/u=2.73×10-4J.m3。

7.能够引起听觉的声强级范围为。

解：

0~120dB。

8.如图P点距波源S1和S2的距离分别为3和10/3，为两列波在介质中的波长，若P点的合振幅总是极大值，则两波源应满足的条件是。

解：

首先两列波必须是相干波，即振动方向相同、频率相同。

两波同时传到P点时

的相位差

若P点的合振幅总是极大值，则由

，解出

。

即要求S2相位比S1相位超前2π/3。

因此两波源应满足的条件是：

振动方向相同、频率相同、S2的相位比S1的相位超前2π/3。

9.设反射波的表达式是y2=0.15cos[100π（t-x/200）+π/2]m，波在x=0处发生反射，反射点为自由端，则形成的驻波的表达式为。

解：

在反射点x=0处反射波引起的振动是y2=0.15cos（100πt+π/2），由于反射点为自由端，所以在反射点入射波和反射波同相，入射波的方程为y1=0.15cos[100π（t+x/200）+π/2]m，形成的驻波的表达式

m

10.一驻波表达式为y=4.00´102（cos2πx）cos400t（m）在x=1/6m处的质元的振幅为，振动速度的表达式为。

解：

，

11.设空气中声速为330m/s。

一列火车以30m/s的速度行驶，机车上汽笛的频率为600Hz。

一静止的观察者在机车的正前方听到的声音的频率分别是，在机车驶过其身边后所听到的声音的频率是。

解：

观察者不动，在机车前方听到的频率为

。

观察者不动，在机车后方听到的频率为

。

三计算题

1.如图为一平面简谐波在t=0时刻的波形图，试写出P处质点与Q处质点的振动方程，并画出P处质点与Q处质点的振动曲线，其中波速u=20m/s。

解：

如图所示，振幅A=0.02m，波长=40m，周期T=/u=40/20=2（s），波动方程为y=Acos[2π（t/T-x/）+π/2]=0.02cos[2π（t/2-x/40）+π/2]。

P处（x=20）质点的振动方程

yP=0.20cos（πt-π/2）m

Q处（x=30）质点的振动方程

yQ=0.20cos（πt-π）m

P处质点与Q处质点的振动曲线如下图所示。

2.如图所示，一平面简谐波沿ox轴正向传播，波速大小为u，若P处质点振动方程为yP=Acos（ωt+）。

求：

（1）o处质点的振动方程；

（2）该波的波动方程。

解：

（1）O处质点振动的相位比P处质点振动的相位超前ωL/u，因此O处质点振动方程为

y0=Acos[ωt+ωL/u+]=Acos[ω（t+L/u）+]

（2）根据O处质点振动方程，可写出波动方程

y=Acos{ω（t-x/u）+ωL/u+}

=Acos{ω[t-（x-L）/u]+}

3.一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅和圆频率分别为A和ω，波速为u，设t=0时的波形曲线如图所示。

（1）写出此波的波动方程；

（2）求距O点分别为/8和3/8两处质点的振动方程；（3）求距o点分别为/8和3/8两处的质点在t=0时的振动速度。

解：

（1）以O点为坐标原点，设O点处的振动方程为y0=Acos（ωt+）。

由图可知，初始条件为

y0=Acos=0，v0=-Aωsin＜0

所以=π/2。

故波动方程为

y=Acos[ωt-（ωx/u）+π/2]

（2）x=/8处质点的振动方程为：

y=Acos[ωt-2π/（8）+π/2]

=Acos（ωt+π/4）

x=3/8处质点的振动方程为：

y=Acos[ωt-2π´3/（8）+π/2]

=Acos（ωt-π/4）

（3）质点的振动速度

v=¶y/¶t=-ωAsin（ωt-2πx/+π/2）

当t=0时，x=/8处质点的振动速度

v=-ωAsin[-2π/（8）+π/2]

当t=0时，x=3/8处质点的振动速度

v=-ωAsin[-2π´3/（8）+π/2]

4.沿x轴负方向传播的平面简谐波在t=2s时刻的波形曲线如图所示，设波速u=0.5m×s1，求原点处的振动方程。

解：

由题图可知波长=2m，由u=0.5m×s1可求出频率

=u/=1/4Hz

故周期T=4s。

题图中t=2s=T/2。

设原点的振动方程为

y=0.5cos（πt/2+0）

由于t=2s时，O点位移是y=0，且朝正y轴方向运动，根据如下所示的振动旋转矢量表示图，可看出此刻O点振动的相位为=3π/2。

即

π´2/2+0=3π/2或-π/2

0=π/2或-3π/2

这样就得到原点处的振动方程

y=0.5cos（πt/2+π/2）或y=0.5cos（πt/2-3π/2）

5.一弹性波在介质中传播的速度u=103m/s，振幅A=1.0´104m，频率=103Hz，介质的密度为=800kg/m3。

求：

（1）波的平均能流密度；

（2）一分钟内垂直通过一面积S=4.0´104m2的总能量。

解：

（1）波的平均能流密度

（2）一分钟内垂直通过面积S的总能量

6.一线波源发射柱面波，设介质为不吸收能量的各向同性的均匀介质，试求波的平均能流密度以及振幅与离开波源的距离有何关系？

解：

根据能量守恒定律可知，通过以线波源为轴的长度同为l而半径分别为r1和r2的两个圆柱面的能流应相等，即

由此得

即波的强度与r成反比。

又因I和A2成正比，所以振幅A应与

成反比。

7.有一个面向街道打开的面积为4m2的窗户，若窗口处噪音的声强级为70dB，试求进入窗户的噪音功率。

解：

，I0=1012w×m2。

故声强

105w×m2。

进入窗户的噪音功率

=105w×m2´4m2=4´105W。

8.如图所示，两相干波源

和

相距

，

为波长，设两波在

连线上传播时，它们的振幅都是A，并且不随距离变化。

已知在该直线上在

左侧各点的合成波强度为其中一个波强度的4倍，求两波源的初相位差是多少？

解两相干波源传到

左侧某点，它们在该点振动的相位差为

在

左侧各点干涉极大，故

即两波源的初相位差为

9.如图所示，三个同频率，振动方向相同（垂直纸面）的简谐波，在传播过程中在O点相遇。

若三个简谐波各自单独在S1、S2和S3等处的振动方程分别为y1=Acos（ωt+π/2），y2=Acosωt和y3=2Acos（ωt-π/2），且S2O=4，S1O=S3O=5（为波长），求O点的合振动方程。

（设传播过程中各波振幅不变）

解：

每一波传播的距离都是波长的整数倍，所以三个波在O点的振动方程仍可写成

y1=A1cos（ωt+π/2）

y2=A2cosωt

y3=A3cos（ωt-π/2）

其中A1=A2=A，A3=2A。

在O点，三个简谐振动叠加，利用简谐振动的旋转矢量表示法，可以画出t=2kπ时刻的振幅矢量图（如图）。

根据矢量多边形的加法，可得O点合振动方程

y=

10.两个波在一根很长的细绳上传播，它们的方程分别为y1=0.06cosπ（x-4t），y2=0.06cosπ（x+4t）（x，y以m计，t以s计）。

（1）求各波的频率、波长、波速和传播方向；

（2）证明这细绳实际上是作驻波式振动，求波节位置和波腹位置；（3）波腹处的振幅多大？

在x=1.2m处振幅多大？

解：

（1）将波动方程与标准波动方程y=Acos2π（t-x/）对比可得两个波的频率、波长、波速

波长=2m

频率=2Hz

波速u==4m×s1

第一个波动向x轴正向传播，第二波向-x方向传播。

（2）细绳上的波是上述两个波叠加形成的波

y=y1+y2=0.12cosπxcos4πt

显然上式表示的驻波方程。

所以细绳作驻波式振动。

波点：

由cosx=0即πx=（2k+1）π/2求出波节位置

x=（k+0.5）（m）（k=0,1,2,…）

波腹：

由cosx=1即πx=kπ求出波腹位置

x=k（m）（k=0,1,2…）

（3）波腹处的振幅A=0.12m，

x=1.2m处振幅A=0.12cos（1.2π）=0.097m。

11.设入射波的方程式为

，在x=0处发生反射，反射点为一固定端，设反射时无能量损失，求：

（1）反射波的方程；

（2）合成的驻波的方程；（3）波腹和波节位置。

解：

（1）反射点是固定端，所以反射时有“半波损失”，因反射时无能量损失，故反射波的振幅为A，因此反射波的方程为：

y2=Acos[2π（t/T-x/）+π]

（2）驻波的表达式是

y=y1+y2

=2Acos（2πx/+π/2）cos（2πt/T-π/2）

（3）波腹位置由下式确定：

2πx/+π/2=nπ

即x=（2n-1）/4n=1,2,3,4,……

波节位置由下式确定：

2πx/+π/2=nπ+π/2

即x=n/2n=0,1,2,3,……

12.一弦上的驻波方程为：

y=3.00´102（cos1.6πx）cos550πt（m）。

（1）若将此驻波看作传播方向相反的两列波叠加而成，求两波的振幅和波速；

（2）求相邻波节间的距离；（3）求t=3.00´103s时，位于x=0.625m处质点的振动速度。

解：

（1）将题中驻波方程

y=3.00´102cos1.6πxcos550πt

与标准驻波方程y=2Acos（2πx/）cos2πt相比可知：

A=1.50´102m，=1.25m，=275Hz

波速u==343.8m/s

（2）相邻波节点之间距离

Dx=/2=0.625m

（3）质点的振动速度

将t=3.00´103s，x=0.625m代入上式，得到此刻该点的振动速度

v=-46.2m/s

13.一声源的频率为1080Hz，相对地面以30m/s的速率向右运动。

设空气中声速为331m/s。

求在声源运动的前方和后方，地面上的观察者接收到的声波波长。

解：

在声源运动的前方，地面上的观察者接收到的声波波长

在声源运动的后方，地面上的观察者接收到的声波波长则是

14.设有一平面电磁波在真空中传播，电磁波通过某点时，该点的E=50V/m。

试求该时刻该点的B和H的大小，以及电磁场能量密度w和能流密度S的大小。

解：

由

和

以及

得

电磁场能量密度

能流密度的大小

15．用于打孔的激光束截面直径为60mm，功率为300kW。

求此激光束的波印亭矢量的大小，以及激光束中电场强度和磁感应强度的振幅。

解：

，

16．一均匀平面电磁波在真空中传播，其电场强度E=100cos（ωtaz）i。

求：

（1）波的传播方向；

（2）磁场强度的表达式。

解：

（1）把E表达式与平面波的标准式

比较可得电磁波沿z轴方向传播。

（2）∵E在x正方向，由电磁波性质知，H在y轴正方向与E同频率同相位