机械波和电磁波习题解答.docx

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机械波和电磁波习题解答

第十六章机械波和电磁波

一选择题

1.当一平面简谐波通过两种不同的均匀介质时,不会改变的物理量是:

()

A.波长和频率B.波速和频率

C.波长和波速D.频率和周期

解:

答案选D

2.已知一平面简谐波方程为y=Acos(at-bx),(a,b为正值),则:

()

A.波的频率为a

B.波的传播速度为b/a

C.波长为π/b

D.波的周期为2π/a

解:

答案选D

3.如图所示,一平面简谐波沿x轴正向传播,坐标原点O的振动规律为y=Acos(ωt+0),则B点的振动方程为:

()

A.y=Acos[ωt-(x/u)+0]

B.y=Acosω[t+(x/u)]

C.y=Acos{ω[t-(x/u)]+0}

D.y=Acos{ω[t+(x/u)]+0}

解:

任意点B处的振动方程就是沿x轴正向传播的波动方程y=Acos{ω[t-(x/u)]+0}。

所以答案选C。

4.一列沿x轴正向传播的平面简谐波,周期为0.5s,波长为2m。

则在原点处质点的振动相位传到x=4m处所需要的时间为(   )

A.0.5sB.1sC.2D.4s

解因为波传播的距离4m是波长2m的2倍,因此传播这段距离所需的时间为2个周期,即为2s。

也可以按下面的方法计算。

波速

m/s,则原点处质点的振动相位传到x=4m处所需要的时间为

s。

故B正确。

5.两相干波源S1和S2,相距为

λ,其初相位相同,且振幅均为1.0×10-2m,则在波源S1和S2连线的中垂线上任意一点,两列波叠加后的振幅为()

A.0B.1.0×10-2mC.

×10-2mD.2.0×10-2m

,因为两波源初相位相同,在波源S1和S2连线的中垂线上各点到两个波源的距离

,所以

,两列波叠加后的振幅

m,故正确选项为D。

6.波的能量随平面简谐波传播,下列几种说法中正确的是:

()

A.因简谐波传播到的各介质体积元均作简谐振动,故其能量守恒

B.各介质体积元在平衡位置处的动能,势能最大,总能量最大

C.各介质体积元在平衡位置处的动能最大,势能最小

D.各介质体积元在最大位移处的势能最大,动能为0

解:

答案选B

7.一平面简谐波在弹性介质中传播,在介质质元从平衡位置运动到最大位移处的过程中:

()

A.它的动能转换成势能

B.它的势能转换成动能

C.它把自已的能量传给相邻的一段质元,其能量逐渐增大

D.它把自已的能量传给相邻的一段质元,其能量逐渐减小

解:

答案选D

8.在同一介质中两列相干的平面简谐波的强度之比I1/I2=4,则两列波的振幅之比A1/A2是:

()

A.4B.2C.16D.1/4

解:

波的强度正比于振幅的平方,因I1/I2=4,故A1/A2=2。

所以答案选B。

9.某时刻驻波波形曲线如图所示,则a,b两点处振动的相位差是:

()

A.πB.π/2C.0D.无法确定

解:

a,b两点位于一个波节的两侧,根据驻波的相位特征,波节两侧各点的振动相位相反,故相位差是π。

所以答案选A。

10.在驻波中,两个相邻波节间各质点的振动是:

()

A.振幅相同,相位相同B.振幅不同,相位相同

C.振幅相同,相位不同D.振幅不同,相位不同

解:

根据驻波的振幅和相位特征分析。

答案选B。

11.设声波在介质中的传播速度为u,声源的频率为S,若声源S不动,而接收器R相对于介质以速度VR沿着S、R连线向着声源S运动,则在S、R连线上各介质点的振动频率为:

()

A.SB.

C.

D.

解:

波源不动,介质中波的频率不变。

故答案选A。

12.电磁波在自由空间传播时,电场强度E与磁场强度H:

()

A.在垂直于传播方向上的同一条直线上B.朝互相垂直的两个方向传播

C.互相垂直,且都垂直于传播方向D.有相位差π/2

解:

答案选C。

二填空题

1.一平面简谐波沿x轴正方向传播,已知x=0处的振动规律为y=cos(ωt+0),波速为u,坐标为x1和x2两点的振动相位差是。

解:

2.一平面简谐机械波沿x轴正方向传播,波动方程为y=0.2cos(πt-πx/2)m,则x=-3m处介质质点的振动加速度a的表达式为。

解:

m/s2

3.一个余弦横波以速度u沿x轴正向传播,t时刻波形曲线如图所示。

试分别指出图中A,B,C各点处介质质元在该时刻的运动方向:

A、;B、;C、。

解:

向下;向上;向上。

4.一平面简谐机械波在介质中传播时,若一介质质元在t时刻的能量是10J,则在(t+T)(T是波的周期)时刻该介质质元的振动动能是。

解:

5J

5.强度为I的平面简谐波沿着波速u的方向通过一面积为S的平面,波速u与该平面的法线n0的夹角为,则通过该平面的平均能流是。

解:

IScos

6.一平面简谐波在截面面积为3.00×102m2的空气管中传播,设空气中声速为330m/s。

若在10s内通过截面的能量为2.70×102J,则波的平均能流密度为;波的平均能量密度为。

解:

(1)平均能流

J.s1,平均能流密度

=9.00×102Js1m2。

(2)I=

.u,

=I/u=2.73×10-4J.m3。

7.能够引起听觉的声强级范围为。

解:

0~120dB。

8.如图P点距波源S1和S2的距离分别为3和10/3,为两列波在介质中的波长,若P点的合振幅总是极大值,则两波源应满足的条件是。

解:

首先两列波必须是相干波,即振动方向相同、频率相同。

两波同时传到P点时

的相位差

若P点的合振幅总是极大值,则由

,解出

即要求S2相位比S1相位超前2π/3。

因此两波源应满足的条件是:

振动方向相同、频率相同、S2的相位比S1的相位超前2π/3。

9.设反射波的表达式是y2=0.15cos[100π(t-x/200)+π/2]m,波在x=0处发生反射,反射点为自由端,则形成的驻波的表达式为。

解:

在反射点x=0处反射波引起的振动是y2=0.15cos(100πt+π/2),由于反射点为自由端,所以在反射点入射波和反射波同相,入射波的方程为y1=0.15cos[100π(t+x/200)+π/2]m,形成的驻波的表达式

m

10.一驻波表达式为y=4.00´102(cos2πx)cos400t(m)在x=1/6m处的质元的振幅为,振动速度的表达式为。

解:

11.设空气中声速为330m/s。

一列火车以30m/s的速度行驶,机车上汽笛的频率为600Hz。

一静止的观察者在机车的正前方听到的声音的频率分别是,在机车驶过其身边后所听到的声音的频率是。

解:

观察者不动,在机车前方听到的频率为

观察者不动,在机车后方听到的频率为

三计算题

1.如图为一平面简谐波在t=0时刻的波形图,试写出P处质点与Q处质点的振动方程,并画出P处质点与Q处质点的振动曲线,其中波速u=20m/s。

解:

如图所示,振幅A=0.02m,波长=40m,周期T=/u=40/20=2(s),波动方程为y=Acos[2π(t/T-x/)+π/2]=0.02cos[2π(t/2-x/40)+π/2]。

P处(x=20)质点的振动方程

yP=0.20cos(πt-π/2)m

Q处(x=30)质点的振动方程

yQ=0.20cos(πt-π)m

P处质点与Q处质点的振动曲线如下图所示。

2.如图所示,一平面简谐波沿ox轴正向传播,波速大小为u,若P处质点振动方程为yP=Acos(ωt+)。

求:

(1)o处质点的振动方程;

(2)该波的波动方程。

解:

(1)O处质点振动的相位比P处质点振动的相位超前ωL/u,因此O处质点振动方程为

y0=Acos[ωt+ωL/u+]=Acos[ω(t+L/u)+]

(2)根据O处质点振动方程,可写出波动方程

y=Acos{ω(t-x/u)+ωL/u+}

=Acos{ω[t-(x-L)/u]+}

3.一平面简谐波沿x轴正向传播,其振幅和圆频率分别为A和ω,波速为u,设t=0时的波形曲线如图所示。

(1)写出此波的波动方程;

(2)求距O点分别为/8和3/8两处质点的振动方程;(3)求距o点分别为/8和3/8两处的质点在t=0时的振动速度。

解:

(1)以O点为坐标原点,设O点处的振动方程为y0=Acos(ωt+)。

由图可知,初始条件为

y0=Acos=0,v0=-Aωsin<0

所以=π/2。

故波动方程为

y=Acos[ωt-(ωx/u)+π/2]

(2)x=/8处质点的振动方程为:

y=Acos[ωt-2π/(8)+π/2]

=Acos(ωt+π/4)

x=3/8处质点的振动方程为:

y=Acos[ωt-2π´3/(8)+π/2]

=Acos(ωt-π/4)

(3)质点的振动速度

v=¶y/¶t=-ωAsin(ωt-2πx/+π/2)

当t=0时,x=/8处质点的振动速度

v=-ωAsin[-2π/(8)+π/2]

当t=0时,x=3/8处质点的振动速度

v=-ωAsin[-2π´3/(8)+π/2]

4.沿x轴负方向传播的平面简谐波在t=2s时刻的波形曲线如图所示,设波速u=0.5m×s1,求原点处的振动方程。

解:

由题图可知波长=2m,由u=0.5m×s1可求出频率

=u/=1/4Hz

故周期T=4s。

题图中t=2s=T/2。

设原点的振动方程为

y=0.5cos(πt/2+0)

由于t=2s时,O点位移是y=0,且朝正y轴方向运动,根据如下所示的振动旋转矢量表示图,可看出此刻O点振动的相位为=3π/2。

π´2/2+0=3π/2或-π/2

0=π/2或-3π/2

这样就得到原点处的振动方程

y=0.5cos(πt/2+π/2)或y=0.5cos(πt/2-3π/2)

5.一弹性波在介质中传播的速度u=103m/s,振幅A=1.0´104m,频率=103Hz,介质的密度为=800kg/m3。

求:

(1)波的平均能流密度;

(2)一分钟内垂直通过一面积S=4.0´104m2的总能量。

解:

(1)波的平均能流密度

(2)一分钟内垂直通过面积S的总能量

6.一线波源发射柱面波,设介质为不吸收能量的各向同性的均匀介质,试求波的平均能流密度以及振幅与离开波源的距离有何关系?

解:

根据能量守恒定律可知,通过以线波源为轴的长度同为l而半径分别为r1和r2的两个圆柱面的能流应相等,即

由此得

即波的强度与r成反比。

又因I和A2成正比,所以振幅A应与

成反比。

7.有一个面向街道打开的面积为4m2的窗户,若窗口处噪音的声强级为70dB,试求进入窗户的噪音功率。

解:

,I0=1012w×m2。

故声强

105w×m2。

进入窗户的噪音功率

=105w×m2´4m2=4´105W。

8.如图所示,两相干波源

相距

为波长,设两波在

连线上传播时,它们的振幅都是A,并且不随距离变化。

已知在该直线上在

左侧各点的合成波强度为其中一个波强度的4倍,求两波源的初相位差是多少?

解两相干波源传到

左侧某点,它们在该点振动的相位差为

左侧各点干涉极大,故

即两波源的初相位差为

9.如图所示,三个同频率,振动方向相同(垂直纸面)的简谐波,在传播过程中在O点相遇。

若三个简谐波各自单独在S1、S2和S3等处的振动方程分别为y1=Acos(ωt+π/2),y2=Acosωt和y3=2Acos(ωt-π/2),且S2O=4,S1O=S3O=5(为波长),求O点的合振动方程。

(设传播过程中各波振幅不变)

解:

每一波传播的距离都是波长的整数倍,所以三个波在O点的振动方程仍可写成

y1=A1cos(ωt+π/2)

y2=A2cosωt

y3=A3cos(ωt-π/2)

其中A1=A2=A,A3=2A。

在O点,三个简谐振动叠加,利用简谐振动的旋转矢量表示法,可以画出t=2kπ时刻的振幅矢量图(如图)。

根据矢量多边形的加法,可得O点合振动方程

y=

10.两个波在一根很长的细绳上传播,它们的方程分别为y1=0.06cosπ(x-4t),y2=0.06cosπ(x+4t)(x,y以m计,t以s计)。

(1)求各波的频率、波长、波速和传播方向;

(2)证明这细绳实际上是作驻波式振动,求波节位置和波腹位置;(3)波腹处的振幅多大?

在x=1.2m处振幅多大?

解:

(1)将波动方程与标准波动方程y=Acos2π(t-x/)对比可得两个波的频率、波长、波速

波长=2m

频率=2Hz

波速u==4m×s1

第一个波动向x轴正向传播,第二波向-x方向传播。

(2)细绳上的波是上述两个波叠加形成的波

y=y1+y2=0.12cosπxcos4πt

显然上式表示的驻波方程。

所以细绳作驻波式振动。

波点:

由cosx=0即πx=(2k+1)π/2求出波节位置

x=(k+0.5)(m)(k=0,1,2,…)

波腹:

由cosx=1即πx=kπ求出波腹位置

x=k(m)(k=0,1,2…)

(3)波腹处的振幅A=0.12m,

x=1.2m处振幅A=0.12cos(1.2π)=0.097m。

11.设入射波的方程式为

,在x=0处发生反射,反射点为一固定端,设反射时无能量损失,求:

(1)反射波的方程;

(2)合成的驻波的方程;(3)波腹和波节位置。

解:

(1)反射点是固定端,所以反射时有“半波损失”,因反射时无能量损失,故反射波的振幅为A,因此反射波的方程为:

y2=Acos[2π(t/T-x/)+π]

(2)驻波的表达式是

y=y1+y2

=2Acos(2πx/+π/2)cos(2πt/T-π/2)

(3)波腹位置由下式确定:

2πx/+π/2=nπ

即x=(2n-1)/4n=1,2,3,4,……

波节位置由下式确定:

2πx/+π/2=nπ+π/2

即x=n/2n=0,1,2,3,……

12.一弦上的驻波方程为:

y=3.00´102(cos1.6πx)cos550πt(m)。

(1)若将此驻波看作传播方向相反的两列波叠加而成,求两波的振幅和波速;

(2)求相邻波节间的距离;(3)求t=3.00´103s时,位于x=0.625m处质点的振动速度。

解:

(1)将题中驻波方程

y=3.00´102cos1.6πxcos550πt

与标准驻波方程y=2Acos(2πx/)cos2πt相比可知:

A=1.50´102m,=1.25m,=275Hz

波速u==343.8m/s

(2)相邻波节点之间距离

Dx=/2=0.625m

(3)质点的振动速度

将t=3.00´103s,x=0.625m代入上式,得到此刻该点的振动速度

v=-46.2m/s

13.一声源的频率为1080Hz,相对地面以30m/s的速率向右运动。

设空气中声速为331m/s。

求在声源运动的前方和后方,地面上的观察者接收到的声波波长。

解:

在声源运动的前方,地面上的观察者接收到的声波波长

在声源运动的后方,地面上的观察者接收到的声波波长则是

14.设有一平面电磁波在真空中传播,电磁波通过某点时,该点的E=50V/m。

试求该时刻该点的B和H的大小,以及电磁场能量密度w和能流密度S的大小。

解:

以及

电磁场能量密度

能流密度的大小

 

15.用于打孔的激光束截面直径为60mm,功率为300kW。

求此激光束的波印亭矢量的大小,以及激光束中电场强度和磁感应强度的振幅。

解:

16.一均匀平面电磁波在真空中传播,其电场强度E=100cos(ωtaz)i。

求:

(1)波的传播方向;

(2)磁场强度的表达式。

解:

(1)把E表达式与平面波的标准式

比较可得电磁波沿z轴方向传播。

(2)∵E在x正方向,由电磁波性质知,H在y轴正方向与E同频率同相位

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