机械波和电磁波习题解答.docx
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机械波和电磁波习题解答
第十六章机械波和电磁波
一选择题
1.当一平面简谐波通过两种不同的均匀介质时,不会改变的物理量是:
()
A.波长和频率B.波速和频率
C.波长和波速D.频率和周期
解:
答案选D
2.已知一平面简谐波方程为y=Acos(at-bx),(a,b为正值),则:
()
A.波的频率为a
B.波的传播速度为b/a
C.波长为π/b
D.波的周期为2π/a
解:
答案选D
3.如图所示,一平面简谐波沿x轴正向传播,坐标原点O的振动规律为y=Acos(ωt+0),则B点的振动方程为:
()
A.y=Acos[ωt-(x/u)+0]
B.y=Acosω[t+(x/u)]
C.y=Acos{ω[t-(x/u)]+0}
D.y=Acos{ω[t+(x/u)]+0}
解:
任意点B处的振动方程就是沿x轴正向传播的波动方程y=Acos{ω[t-(x/u)]+0}。
所以答案选C。
4.一列沿x轴正向传播的平面简谐波,周期为0.5s,波长为2m。
则在原点处质点的振动相位传到x=4m处所需要的时间为( )
A.0.5sB.1sC.2D.4s
解因为波传播的距离4m是波长2m的2倍,因此传播这段距离所需的时间为2个周期,即为2s。
也可以按下面的方法计算。
波速
m/s,则原点处质点的振动相位传到x=4m处所需要的时间为
s。
故B正确。
5.两相干波源S1和S2,相距为
λ,其初相位相同,且振幅均为1.0×10-2m,则在波源S1和S2连线的中垂线上任意一点,两列波叠加后的振幅为()
A.0B.1.0×10-2mC.
×10-2mD.2.0×10-2m
解
,因为两波源初相位相同,在波源S1和S2连线的中垂线上各点到两个波源的距离
,所以
,两列波叠加后的振幅
m,故正确选项为D。
6.波的能量随平面简谐波传播,下列几种说法中正确的是:
()
A.因简谐波传播到的各介质体积元均作简谐振动,故其能量守恒
B.各介质体积元在平衡位置处的动能,势能最大,总能量最大
C.各介质体积元在平衡位置处的动能最大,势能最小
D.各介质体积元在最大位移处的势能最大,动能为0
解:
答案选B
7.一平面简谐波在弹性介质中传播,在介质质元从平衡位置运动到最大位移处的过程中:
()
A.它的动能转换成势能
B.它的势能转换成动能
C.它把自已的能量传给相邻的一段质元,其能量逐渐增大
D.它把自已的能量传给相邻的一段质元,其能量逐渐减小
解:
答案选D
8.在同一介质中两列相干的平面简谐波的强度之比I1/I2=4,则两列波的振幅之比A1/A2是:
()
A.4B.2C.16D.1/4
解:
波的强度正比于振幅的平方,因I1/I2=4,故A1/A2=2。
所以答案选B。
9.某时刻驻波波形曲线如图所示,则a,b两点处振动的相位差是:
()
A.πB.π/2C.0D.无法确定
解:
a,b两点位于一个波节的两侧,根据驻波的相位特征,波节两侧各点的振动相位相反,故相位差是π。
所以答案选A。
10.在驻波中,两个相邻波节间各质点的振动是:
()
A.振幅相同,相位相同B.振幅不同,相位相同
C.振幅相同,相位不同D.振幅不同,相位不同
解:
根据驻波的振幅和相位特征分析。
答案选B。
11.设声波在介质中的传播速度为u,声源的频率为S,若声源S不动,而接收器R相对于介质以速度VR沿着S、R连线向着声源S运动,则在S、R连线上各介质点的振动频率为:
()
A.SB.
C.
D.
解:
波源不动,介质中波的频率不变。
故答案选A。
12.电磁波在自由空间传播时,电场强度E与磁场强度H:
()
A.在垂直于传播方向上的同一条直线上B.朝互相垂直的两个方向传播
C.互相垂直,且都垂直于传播方向D.有相位差π/2
解:
答案选C。
二填空题
1.一平面简谐波沿x轴正方向传播,已知x=0处的振动规律为y=cos(ωt+0),波速为u,坐标为x1和x2两点的振动相位差是。
解:
2.一平面简谐机械波沿x轴正方向传播,波动方程为y=0.2cos(πt-πx/2)m,则x=-3m处介质质点的振动加速度a的表达式为。
解:
m/s2
3.一个余弦横波以速度u沿x轴正向传播,t时刻波形曲线如图所示。
试分别指出图中A,B,C各点处介质质元在该时刻的运动方向:
A、;B、;C、。
解:
向下;向上;向上。
4.一平面简谐机械波在介质中传播时,若一介质质元在t时刻的能量是10J,则在(t+T)(T是波的周期)时刻该介质质元的振动动能是。
解:
5J
5.强度为I的平面简谐波沿着波速u的方向通过一面积为S的平面,波速u与该平面的法线n0的夹角为,则通过该平面的平均能流是。
解:
IScos
6.一平面简谐波在截面面积为3.00×102m2的空气管中传播,设空气中声速为330m/s。
若在10s内通过截面的能量为2.70×102J,则波的平均能流密度为;波的平均能量密度为。
解:
(1)平均能流
J.s1,平均能流密度
=9.00×102Js1m2。
(2)I=
.u,
=I/u=2.73×10-4J.m3。
7.能够引起听觉的声强级范围为。
解:
0~120dB。
8.如图P点距波源S1和S2的距离分别为3和10/3,为两列波在介质中的波长,若P点的合振幅总是极大值,则两波源应满足的条件是。
解:
首先两列波必须是相干波,即振动方向相同、频率相同。
两波同时传到P点时
的相位差
若P点的合振幅总是极大值,则由
,解出
。
即要求S2相位比S1相位超前2π/3。
因此两波源应满足的条件是:
振动方向相同、频率相同、S2的相位比S1的相位超前2π/3。
9.设反射波的表达式是y2=0.15cos[100π(t-x/200)+π/2]m,波在x=0处发生反射,反射点为自由端,则形成的驻波的表达式为。
解:
在反射点x=0处反射波引起的振动是y2=0.15cos(100πt+π/2),由于反射点为自由端,所以在反射点入射波和反射波同相,入射波的方程为y1=0.15cos[100π(t+x/200)+π/2]m,形成的驻波的表达式
m
10.一驻波表达式为y=4.00´102(cos2πx)cos400t(m)在x=1/6m处的质元的振幅为,振动速度的表达式为。
解:
,
11.设空气中声速为330m/s。
一列火车以30m/s的速度行驶,机车上汽笛的频率为600Hz。
一静止的观察者在机车的正前方听到的声音的频率分别是,在机车驶过其身边后所听到的声音的频率是。
解:
观察者不动,在机车前方听到的频率为
。
观察者不动,在机车后方听到的频率为
。
三计算题
1.如图为一平面简谐波在t=0时刻的波形图,试写出P处质点与Q处质点的振动方程,并画出P处质点与Q处质点的振动曲线,其中波速u=20m/s。
解:
如图所示,振幅A=0.02m,波长=40m,周期T=/u=40/20=2(s),波动方程为y=Acos[2π(t/T-x/)+π/2]=0.02cos[2π(t/2-x/40)+π/2]。
P处(x=20)质点的振动方程
yP=0.20cos(πt-π/2)m
Q处(x=30)质点的振动方程
yQ=0.20cos(πt-π)m
P处质点与Q处质点的振动曲线如下图所示。
2.如图所示,一平面简谐波沿ox轴正向传播,波速大小为u,若P处质点振动方程为yP=Acos(ωt+)。
求:
(1)o处质点的振动方程;
(2)该波的波动方程。
解:
(1)O处质点振动的相位比P处质点振动的相位超前ωL/u,因此O处质点振动方程为
y0=Acos[ωt+ωL/u+]=Acos[ω(t+L/u)+]
(2)根据O处质点振动方程,可写出波动方程
y=Acos{ω(t-x/u)+ωL/u+}
=Acos{ω[t-(x-L)/u]+}
3.一平面简谐波沿x轴正向传播,其振幅和圆频率分别为A和ω,波速为u,设t=0时的波形曲线如图所示。
(1)写出此波的波动方程;
(2)求距O点分别为/8和3/8两处质点的振动方程;(3)求距o点分别为/8和3/8两处的质点在t=0时的振动速度。
解:
(1)以O点为坐标原点,设O点处的振动方程为y0=Acos(ωt+)。
由图可知,初始条件为
y0=Acos=0,v0=-Aωsin<0
所以=π/2。
故波动方程为
y=Acos[ωt-(ωx/u)+π/2]
(2)x=/8处质点的振动方程为:
y=Acos[ωt-2π/(8)+π/2]
=Acos(ωt+π/4)
x=3/8处质点的振动方程为:
y=Acos[ωt-2π´3/(8)+π/2]
=Acos(ωt-π/4)
(3)质点的振动速度
v=¶y/¶t=-ωAsin(ωt-2πx/+π/2)
当t=0时,x=/8处质点的振动速度
v=-ωAsin[-2π/(8)+π/2]
当t=0时,x=3/8处质点的振动速度
v=-ωAsin[-2π´3/(8)+π/2]
4.沿x轴负方向传播的平面简谐波在t=2s时刻的波形曲线如图所示,设波速u=0.5m×s1,求原点处的振动方程。
解:
由题图可知波长=2m,由u=0.5m×s1可求出频率
=u/=1/4Hz
故周期T=4s。
题图中t=2s=T/2。
设原点的振动方程为
y=0.5cos(πt/2+0)
由于t=2s时,O点位移是y=0,且朝正y轴方向运动,根据如下所示的振动旋转矢量表示图,可看出此刻O点振动的相位为=3π/2。
即
π´2/2+0=3π/2或-π/2
0=π/2或-3π/2
这样就得到原点处的振动方程
y=0.5cos(πt/2+π/2)或y=0.5cos(πt/2-3π/2)
5.一弹性波在介质中传播的速度u=103m/s,振幅A=1.0´104m,频率=103Hz,介质的密度为=800kg/m3。
求:
(1)波的平均能流密度;
(2)一分钟内垂直通过一面积S=4.0´104m2的总能量。
解:
(1)波的平均能流密度
(2)一分钟内垂直通过面积S的总能量
6.一线波源发射柱面波,设介质为不吸收能量的各向同性的均匀介质,试求波的平均能流密度以及振幅与离开波源的距离有何关系?
解:
根据能量守恒定律可知,通过以线波源为轴的长度同为l而半径分别为r1和r2的两个圆柱面的能流应相等,即
由此得
即波的强度与r成反比。
又因I和A2成正比,所以振幅A应与
成反比。
7.有一个面向街道打开的面积为4m2的窗户,若窗口处噪音的声强级为70dB,试求进入窗户的噪音功率。
解:
,I0=1012w×m2。
故声强
105w×m2。
进入窗户的噪音功率
=105w×m2´4m2=4´105W。
8.如图所示,两相干波源
和
相距
,
为波长,设两波在
连线上传播时,它们的振幅都是A,并且不随距离变化。
已知在该直线上在
左侧各点的合成波强度为其中一个波强度的4倍,求两波源的初相位差是多少?
解两相干波源传到
左侧某点,它们在该点振动的相位差为
在
左侧各点干涉极大,故
即两波源的初相位差为
9.如图所示,三个同频率,振动方向相同(垂直纸面)的简谐波,在传播过程中在O点相遇。
若三个简谐波各自单独在S1、S2和S3等处的振动方程分别为y1=Acos(ωt+π/2),y2=Acosωt和y3=2Acos(ωt-π/2),且S2O=4,S1O=S3O=5(为波长),求O点的合振动方程。
(设传播过程中各波振幅不变)
解:
每一波传播的距离都是波长的整数倍,所以三个波在O点的振动方程仍可写成
y1=A1cos(ωt+π/2)
y2=A2cosωt
y3=A3cos(ωt-π/2)
其中A1=A2=A,A3=2A。
在O点,三个简谐振动叠加,利用简谐振动的旋转矢量表示法,可以画出t=2kπ时刻的振幅矢量图(如图)。
根据矢量多边形的加法,可得O点合振动方程
y=
10.两个波在一根很长的细绳上传播,它们的方程分别为y1=0.06cosπ(x-4t),y2=0.06cosπ(x+4t)(x,y以m计,t以s计)。
(1)求各波的频率、波长、波速和传播方向;
(2)证明这细绳实际上是作驻波式振动,求波节位置和波腹位置;(3)波腹处的振幅多大?
在x=1.2m处振幅多大?
解:
(1)将波动方程与标准波动方程y=Acos2π(t-x/)对比可得两个波的频率、波长、波速
波长=2m
频率=2Hz
波速u==4m×s1
第一个波动向x轴正向传播,第二波向-x方向传播。
(2)细绳上的波是上述两个波叠加形成的波
y=y1+y2=0.12cosπxcos4πt
显然上式表示的驻波方程。
所以细绳作驻波式振动。
波点:
由cosx=0即πx=(2k+1)π/2求出波节位置
x=(k+0.5)(m)(k=0,1,2,…)
波腹:
由cosx=1即πx=kπ求出波腹位置
x=k(m)(k=0,1,2…)
(3)波腹处的振幅A=0.12m,
x=1.2m处振幅A=0.12cos(1.2π)=0.097m。
11.设入射波的方程式为
,在x=0处发生反射,反射点为一固定端,设反射时无能量损失,求:
(1)反射波的方程;
(2)合成的驻波的方程;(3)波腹和波节位置。
解:
(1)反射点是固定端,所以反射时有“半波损失”,因反射时无能量损失,故反射波的振幅为A,因此反射波的方程为:
y2=Acos[2π(t/T-x/)+π]
(2)驻波的表达式是
y=y1+y2
=2Acos(2πx/+π/2)cos(2πt/T-π/2)
(3)波腹位置由下式确定:
2πx/+π/2=nπ
即x=(2n-1)/4n=1,2,3,4,……
波节位置由下式确定:
2πx/+π/2=nπ+π/2
即x=n/2n=0,1,2,3,……
12.一弦上的驻波方程为:
y=3.00´102(cos1.6πx)cos550πt(m)。
(1)若将此驻波看作传播方向相反的两列波叠加而成,求两波的振幅和波速;
(2)求相邻波节间的距离;(3)求t=3.00´103s时,位于x=0.625m处质点的振动速度。
解:
(1)将题中驻波方程
y=3.00´102cos1.6πxcos550πt
与标准驻波方程y=2Acos(2πx/)cos2πt相比可知:
A=1.50´102m,=1.25m,=275Hz
波速u==343.8m/s
(2)相邻波节点之间距离
Dx=/2=0.625m
(3)质点的振动速度
将t=3.00´103s,x=0.625m代入上式,得到此刻该点的振动速度
v=-46.2m/s
13.一声源的频率为1080Hz,相对地面以30m/s的速率向右运动。
设空气中声速为331m/s。
求在声源运动的前方和后方,地面上的观察者接收到的声波波长。
解:
在声源运动的前方,地面上的观察者接收到的声波波长
在声源运动的后方,地面上的观察者接收到的声波波长则是
14.设有一平面电磁波在真空中传播,电磁波通过某点时,该点的E=50V/m。
试求该时刻该点的B和H的大小,以及电磁场能量密度w和能流密度S的大小。
解:
由
和
以及
得
电磁场能量密度
能流密度的大小
15.用于打孔的激光束截面直径为60mm,功率为300kW。
求此激光束的波印亭矢量的大小,以及激光束中电场强度和磁感应强度的振幅。
解:
,
16.一均匀平面电磁波在真空中传播,其电场强度E=100cos(ωtaz)i。
求:
(1)波的传播方向;
(2)磁场强度的表达式。
解:
(1)把E表达式与平面波的标准式
比较可得电磁波沿z轴方向传播。
(2)∵E在x正方向,由电磁波性质知,H在y轴正方向与E同频率同相位