高考文科数学基础知识巩固强化练习试题33.docx
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高考文科数学基础知识巩固强化练习试题33
33 直线与圆锥曲线的综合
小题基础练
一、选择题
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．不确定
答案：
A
解析：
通解 将直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1联立，整理得（4＋9k2）x2＋18k（1－k）x＋9（1－k）2－36＝0，则Δ＝[18k（1－k）]2－4（4＋9k2）[9（1－k）2－36]＝144（8k2＋2k＋3）>0，所以直线与椭圆相交．
优解 因为直线y＝kx－k＋1过定点（1,1），又点（1,1）在椭圆内部，所以直线与椭圆相交．
2．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－＝1交于A，B两点，且|AB|＝8，则实数k的值为（ ）
A．±B．±或±
C．±D．±
答案：
B
解析：
由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－＝1得，（4－k2）x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4（4－k2）×5>0，解得k2<5.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝－，所以|AB|＝·＝8，解得k＝±或±.
3．[2019·兰州模拟]已知直线y＝kx－k－1与曲线C：
x2＋2y2＝m（m>0）恒有公共点，则m的取值范围是（ ）
A．[3，＋∞）B．（－∞，3]
C．（3，＋∞）D．（－∞，3）
答案：
A
解析：
直线y＝kx－k－1恒过定点（1，－1）．因为直线y＝kx－k－1与曲线C：
x2＋2y2＝m（m>0）恒有公共点，则曲线C表示椭圆，点（1，－1）在椭圆内或椭圆上，所以12＋2×（－1）2≤m，所以m≥3，故选A.
4．[2019·宁波九校联考
（二）]过双曲线x2－＝1（b>0）的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线的两条渐近线分别交于B，C，且2＝，则该双曲线的离心率为（ ）
A.B.
C.D.
答案：
C
解析：
由题意可知，左顶点A（－1,0）．又直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y＝x＋1，若直线l与双曲线的渐近线有交点，则b≠1.又双曲线的两条渐近线的方程分别为y＝－bx，y＝bx，所以可得xB＝－，xC＝.由2＝，可得2（xB－xA）＝xC－xB，故2×＝－，得b＝2，故e＝＝.
5．[2019·浙江八校联考
（二）]抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b（k≠0）交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则（ ）
A．x3＝x1＋x2B．x1x2＝x1x3＋x2x3
C．x1＋x2＋x3＝0D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0
答案：
B
解析：
由消去y得ax2－kx－b＝0，可知x1＋x2＝，x1x2＝－，令kx＋b＝0得x3＝－，所以x1x2＝x1x3＋x2x3.故选B.
6．[2019·长春检测]椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P（3,2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A．－B．－
C．－D．－
答案：
A
解析：
设以P为中点的弦所在直线与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则4x＋9y＝144,4x＋9y＝144，两式相减得4（x1＋x2）（x1－x2）＋9（y1＋y2）（y1－y2）＝0，又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，＝k，代入解得k＝－.故选A.
7．[2019·福建福州外国语学校适应性考试]已知双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的焦距为2，抛物线y＝x2＋与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（ ）
A.－＝1B.－＝1
C．x2－＝1D.－y2＝1
答案：
D
解析：
由题意可得c＝，得a2＋b2＝5，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将渐近线方程和抛物线方程y＝x2＋联立，可得x2±x＋＝0，由渐近线和抛物线相切可得Δ＝－4××＝0，即有a2＝4b2，又a2＋b2＝5，解得a＝2，b＝1，可得双曲线的方程为－y2＝1.故选D.
8．[2019·唐山市五校联考]直线l与双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）交于A，B两点，M是线段AB的中点，若l与OM（O是原点）的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为（ ）
A．3B．2
C.D.
答案：
D
解析：
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），代入双曲线的方程，得两式相减得－＝0，又所以＝，所以＝＝kOMkl＝1，所以e2＝1＋＝2，所以e＝，故选D.
二、非选择题
9．若直线y＝x＋b和曲线4x2－y2＝36有两个不同的交点，则b的取值范围是________．
答案：
∪
解析：
联立直线方程和曲线方程，消去y得，－x2－5bx－b2－36＝0，由直线和曲线有两个不同的交点，所以Δ＝25b2－9（b2＋36）>0，解得b<－或b>.
10．直线x－y－1＝0与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过线段AB的中点作直线x＝－1的垂线，垂足为M，则·＝________.
答案：
0
解析：
设A（x1，x1－1），B（x2，x2－1），由得x2－6x＋1＝0，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，故AB的中点C（3,2），M（－1,2），又＝（x1＋1，x1－3），＝（x2＋1，x2－3），所以·＝（x1＋1）（x2＋1）＋（x1－3）·（x2－3）＝2x1x2－2（x1＋x2）＋10＝0.
11．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则当|AF|＋4|BF|取得最小值时，直线AB的倾斜角的正弦值为________．
答案：
解析：
当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝k（x－1）（k≠0），由消去y得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），x1，x2>0，则x1＋x2＝ ①，x1x2＝1 ②，＋＝＋＝＝＝1.当直线的斜率不存在时，易知|AF|＝|BF|＝2，故＋＝1.设|AF|＝a，|BF|＝b，则＋＝1，所以|AF|＋
4|BF|＝a＋4b＝（a＋4b）＝5＋＋≥9，当且仅当a＝2b时取等号，故a＋4b的最小值为9，此时直线的斜率存在，且x1＋1＝2（x2＋1） ③，联立①②③得，x1＝2，x2＝，k＝±2，故直线AB的倾斜角的正弦值为.
12．[2019·广东揭阳一中、汕头金山中学联考]已知抛物线y2＝2px（p>0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1（a>0）的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.
答案：
解析：
根据抛物线的定义得1＋＝5，所以p＝8，所以m＝±4.由对称性不妨取M（1,4），A（－1,0），则直线AM的斜率为2，由题意得－×2＝－1，故a＝.
课时增分练
一、选择题
1．已知抛物线y2＝16x，直线l过点M（2,1），且与抛物线交于A，B两点，|AM|＝|BM|，则直线l的方程是（ ）
A．y＝8x＋15B．y＝8x－15
C．y＝6x－11D．y＝5x－9
答案：
B
解析：
设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），代入抛物线方程得y＝16x1，y＝16x2，两式相减得，（y1＋y2）（y1－y2）＝16（x1－x2），即＝，又y1＋y2＝2，所以kAB＝8，故直线l的方程为y＝8x－15.
2．直线l与抛物线C：
y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝，则直线l过定点（ ）
A．（－3,0）B．（0，－3）
C．（3,0）D．（0,3）
答案：
A
解析：
设A（x1，y1），B（x2，y2），因为k1k2＝，所以·＝.又y＝2x1，y＝2x2，所以y1y2＝6.将直线l：
x＝my＋b代入抛物线C：
y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，得b＝－3，即直线l的方程为x＝my－3，所以直线l过定点（－3,0）．
3．若直线x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值为（ ）
A．±B．±2
C．±1D．±
答案：
C
解析：
设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0）．由得x2－2mx－m2－2＝0（Δ>0），∴x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m，∵点M（x0，y0）在圆x2＋y2＝5上，∴m2＋（2m）2＝5，∴m＝±1.
4．已知椭圆C：
＋＝1的左、右顶点分别为M，N，点P在椭圆C上，且直线PN的斜率为－，则直线PM的斜率为（ ）
A.B．3
C.D．2
答案：
B
解析：
由题意知M（－2,0），N（2,0），又直线PN的斜率为－，所以直线PN的方程为y＝－（x－2），代入椭圆C：
＋＝1可得13x2－4x－44＝0.设P（x0，y0），则x0＋2＝，解得x0＝－，y0＝，故直线PM的斜率k＝＝3，故选B.
5．[2019·太原模拟]已知抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝0，则＋＋＝（ ）
A．0B．1
C．2D．2p
答案：
A
解析：
设点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），F，则＋＋＝（0,0），故y1＋y2＋y3＝0.∵＝＝＝，同理可知＝，＝，∴＋＋＝＝0.
6．已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）与直线y＝x＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为（ ）
A.＋＝1B.＋＝1
C.＋＝1D.＋＝1
答案：
B
解析：
将直线方程y＝x＋3代入C的方程并整理得（a2＋b2）x2＋6a2x＋9a2－a2b2＝0，由椭圆与直线只有一个公共点得，Δ＝（6a2）2－4（a2＋b2）（9a2－a2b2）＝0，化简得a2＋b2＝9.又由椭圆的离心率为，所以＝＝，则＝，解得a2＝5，b2＝4，所以椭圆方程为＋＝1.
7．[2019·天津红桥区月考]已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的两条渐近线与抛物线y2＝2px（p>0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝（ ）
A．1B.
C．2D．3
答案：
C
解析：
因为双曲线方程为－＝1，所以双曲线的渐近线方程是y＝±x.又抛物线y2＝2px（p>0）的准线方程是x＝－，故A，B两点的纵坐标分别是y＝±.因为双曲线的离心率为2，所以＝2，所以＝3，则＝，A，B两点的纵坐标分别是y＝±＝±.又△AOB的面积为，x轴是∠AOB的平分线，所以×p×＝，解得p＝2.故选C.
8．[2017·全国卷Ⅰ]已知F为抛物线C：
y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为（ ）
A．16 B．14
C．12 D．10
答案：
A
解析：
因为F为y2＝4x的焦点，所以F（1,0）．
由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，故直线l1，l2的方程分别为y＝k（x－1），y＝－（x－1）．
由得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝1，
所以|AB|＝·|x1－x2|＝·＝·＝.
同理可得|DE|＝4（1＋k2）．
所以|AB|＋|DE|＝＋4（1＋k2）＝4＋1＋1＋k2＝8＋4k2＋≥8＋4×2＝16，
当且仅当k2＝，即k＝±1时，取得等号．故选A.
二、非选择题
9．[2018·北京卷]若双曲线－＝1（a＞0）的离心率为，则a＝________.
答案：
4
解析：
由e＝＝知＝2＝，
∴a2＝16.∵a＞0，∴a＝4.
10．[2019·沈阳监测]已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P（1,1）为中点，则弦AB所在直线的方程是________________________________________________________________________．
答案：
2x－y－1＝0
解析：
设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1≠x2，则y1＋y2＝2，又点A，B在抛物线y2＝4x上，所以两式相减，得（y1＋y2）（y1－y2）＝4（x1－x2），则＝＝2，即直线AB的斜率k＝2，所以直线AB的方程为y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0.
11．[2019·河南周口联考]已知椭圆C1的方程为＋＝1，椭圆C2的短轴为C1的长轴且离心率为.
（1）求椭圆C2的方程；
（2）如图，M，N分别为直线l与椭圆C1，C2的交点，P为椭圆C2与y轴的交点，△PON的面积为△POM的面积的2倍，若直线l的方程为y＝kx（k>0），求k的值．
解析：
（1）∵椭圆C1的长轴在x轴上，且长轴长为4，
∴椭圆C2的短轴在x轴上，且短轴长为4.
设椭圆C2的方程为＋＝1（a>b>0），
则
解得a＝4，b＝2，∴椭圆C2的方程为＋＝1.
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．
由△PON的面积为△POM的面积的2倍，得
|ON|＝2|OM|，
∴|x2|＝2|x1|.
联立消去y得x＝±，
∴|x1|＝.同理得|x2|＝.
∴＝2，
解得k＝±3.
∵k>0，∴k＝3.
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