高数考试大纲.docx

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高数考试大纲

高数考试大纲

江西师范大学2010年“专升本”理工类考生

《高等数学》统考课程考试大纲

第一部分：

函数、极限和连续

一、函数

（一）考试范围

1、函数的概念

函数的定义；函数的定义域；函数的表示方法；分段函数；陷函数。

2、函数的简单性质

函数的单调性；奇偶性；有界性和周期性。

3、反函数

反函数的定义，反函数的图像；反函数的基本性质。

4、函数的四则运算与复合函数

5、基本初等函数

6、初等函数

（二）考试要求

1、理解函数的概念；会求函数的定义域、表达式及函数值；会求分段函数的定义域、函数值；并会作简单分段函数的图像。

2、理解函数的单调性；奇偶性；有界性和周期性。

3、了解函数＝y=f（x）与其反函数y=f-1（x）之间的关系（定义域、值域、图像），会求单调函数的反函数，会求分段函数的反函数。

4、理解复合函数的复合关系。

5、掌握基本初等函数的简单性质及其图像。

6、了解初等函数的概念。

7、会建立简单实际问题的函数关系式。

二、极限

（一）考试范围

1、数列极限的概念

数列；数列极限定义。

2、数列极限的性质

惟一性；有界性；四则运算法则；夹逼定理；单调有界数列极限存在定理。

3、函数极限的概念

函数在一点XO处极限的定义，左、右极限与函数在一点极限的关系，x→∞，x→-∞，x→+∞时函数的极限，函数极限的几何意义。

4、函数极限的性质

惟一性定理；夹逼定理；极限的四则运算法则。

5、无穷小量和无穷大量

无穷小量与无穷大量的定义；无穷小量与无穷大量的关系；无穷小量的性质；两个无穷小量阶的比较。

lim

X→0

sinx

X

lim

X→0

1

X

6、两个重要极限

=1和（1+）x=ｅ

（二）考试要求

1、了解极限的概念（对极限定义中“ε-N”，“ε-δ”，“ε-M”的描述不作要求），能根据极限概念分析函数的变化趋势。

掌握函数在一点处的左极限与右极限，理解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

2、了解极限的有关性质；掌握极限的四则运算法则。

3、理解无穷小量、无穷大量的概念；掌握无穷小量的性质，掌握无穷小量与无穷大量的关系；会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等阶）；会用等阶无穷小求极限。

4、熟练掌握用两个重要极限求一些函数的极限。

三、连续

（一）考试范围

1、函数连续的概念

函数在一点连续的定义；左连续与右连续；函数在一点连续的充分必要条件；

函数的间断点及其分类。

2、函数在一点处连续的性质

连续函数的四则运算；复合函数的连续性。

3、闭区间上连续函数的性质

有界性定理；最大值与最小值定理；介值定理（包括零点定理）。

4、初等函数的连续性

（二）考试要求

1、理解函数在一点连续与间断概念，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续的方法，理解函数在一点连续与极限存在的关系。

2、会求函数的间断点及确定其类型。

3、了解闭区间上连续函数的性质。

会用这些性质证明某些命题。

4、理解初等函数在其定义区间上的连续性，并会利用函数的连续性求极限。

第二部分：

一元函数微分学

一、导数与微分

（一）考试范围

1、导数概念

导数的定义；左导数与右导数；导数的几何意义；可导在连续的关系。

2、异数的四则运算法则与异数的基本公式，复合函数求导法则。

3、求导方法

复合函数求导法；隐函数求导法；对数求导法；用参数方程给出函数的求导法。

4、高阶导数的概念

高阶导数的定义；二级导数的计算；简单函数的n阶导数。

5、微分

微分的定义；微分与导数的关系；微分法则；一阶微分形式的不变性。

（二）考试要求

1、理解导数的概念及其几何意义；了解可导性与连续性的关系；会用定义求函数在一点处的导数。

2、会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

3、熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法。

4、掌握隐函数求导法与对数求导法，会求分段函数的导数。

5、了解高阶导数的概念，会求函数的二阶导数，会求简单函数的n阶导数。

6、理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。

二、微分中值定理及导数的应用

（一）考试范围

1、微分中值定理

罗尔（Rolle）中值定理；拉格朗日（Lagrange）中值定理；柯西中值定理

2、洛必达（L’hospital）法则

3、函数增减性的判定法

4、函数的极值与极值点；最大值与最小值

5、曲线的凹凸性、拐点；曲线的渐近线

（二）考试要求

1、了解罗尔中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中植定理（知道它们的条件和结论）。

2、熟练掌握用洛必达法则求“0/0”，“∞/∞”，“0?

∞”，“∞-∞”，“1∞”，“00”，“∞0”型未定式的极限的方法。

3、掌握利用导数判别定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法；会利用函数的单调性证明简单的不等式。

4、理解函数极值的概念，掌握求函数极值和函数的最大、最小值的方法，并会角简单的应用问题。

5、会判定曲线的凹凸性；会求曲线的凹凸区间和拐点；会求曲线的水平与铅直渐近线、斜渐近线，会用导数作简单函数图形。

第三部分：

一元函数积分学

一、不定积分

（一）考试范围

1、不定积分的概念

原函数的定义；不定积分的定义；不定积分的基本性质。

2、基本积分方式

3、换元法

凑微分法；作代换法。

4、分部积分法

5、简单有理函数的积分；简单三角函数有理式的积分。

（二）考试要求

1、理解原函数概念不定积分概念及其关系；掌握不定积分的基本性质。

2、熟练掌握不定积分的基本积分方式。

3、熟练掌握凑微分积分法和作代换法（限于三角代换与简单的根式代换）。

4、熟练掌握不定积分的分部积分法。

5、掌握简单有理函数积分与简单三角函数有理式的积分。

二、定积分

（一）考试范围

1、定积分的概念

2、定积分的定义及其几何意义；可积条件。

3、定积分的性质

4、定积分的计算

变上限的定积分；定积分的牛顿――莱布尼茨公式；换元积分法；分部积分法。

5、无穷区间上的广义积分

6、定积分的应用

平面图形的面积；旋转体体积；用定积分求功，水压力与平面薄板的重心；函数的平均值。

（二）考试要求

1、理解定积分的概念及其几何意义；了解函数的可积条件。

2、掌握定积分的基本性质。

3、理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限函数求导的方法。

4、掌握牛顿――莱布尼茨公式。

5、熟练掌握定积分的换元法与分部积分法。

6、掌握无穷区间上广义积分的计算。

7、掌握直角坐标系下平面图形的面积和平面图形绕坐标轴旋转所得旋转体的体积；会用微元法求功和水压力；会求平面薄板的重心；会求函数在区间［a,b］上的平均值。

第四部分：

多元函数微积分

（一）考试范围

1、多元函数

多元函数的定义；二元函数的定义域；二元函数的几何意义及无条件极值。

2、偏导数与全微分

一阶偏导数；全微分；二阶偏导数

3、复合函数的偏导数；由方程F（x,y,z）=0确定的二元隐函数z=f（x,y）的偏导数。

4、二重积分

二重积分的概念；二重积分的性质；直角坐标下的二重积分的计算；极坐标下二重积分的计算。

二重积分的几何应用。

（二）考试要求

1、了解多元函数的概念；求二元函数的定义域；了解二元函数的几何意义。

2、理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法；掌握二阶偏导数及二元函数全微分的求法。

3、掌握复合函数偏导数与隐函数偏导数的求法。

4、理解二重积极的概念；掌握二重积分的性质；熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算方法及在极坐标下二重积分的计算方法；会用二重积分求几何体的体积。

第五部分：

无穷级数

（一）考试范围

1、常数项级数

常数项级数的定义；常数项级数收敛与发散的概念；正项级数敛散性判别方法；任意项级数的绝对收敛与条件收敛。

2、函数项级数

函数项级数的收敛域；幂级数的收敛区间和收敛半径；幂级数的收敛域（考试区间端点的敛散性），幂级数在收敛区间内的和、差、积、商运算法则及可逐项微分与可逐项积分的性质；简单函数的幂级数展开；幂级数在收敛域内的和函数。

（三）考试要求

1、解常数项级数收敛、发散及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2、掌握几何级数与P级数的收敛。

3、熟练掌握正确项级的比较收敛法、比值审敛法和根值审敛法。

4、会用莱布尼兹判别法判定交错级数的敛散性。

5、会判定任意项级数的绝对收敛与条件收签。

6、熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域内的求法。

7、理解幂级数在其收敛区间内的基本性质，会求一些幂级数在收敛域内的和函数。

8、掌握ex，sinx,cosx,ln（1+x）和（l+x）a幂级数展开式，并会用它们求一些简单函数的幂级数展开式。

第六部分：

空间解析几何

（一）考试范围

1、两点间的距离

2、向量的定义及向量的坐标表示

3、向量的线性运算，向量的数量积及向量积

4、两向量垂直、平行的条件

5、平面方程及点到平面的距离；两平面的位置关系

6、直线方程及两直线的夹角；两直线的位置关系

7、常见曲面：

球面方程；圆柱面方程；圆锥面方程；旋转曲面方程。

（旋转椭球面，旋转抛物面）

（二）考试要求

1、会求空间的两点距离

2、掌握向量的定义及向量的坐标表示；会求向量的模，单位向量，向量的方向余弦。

3、熟悉向量的线形运算，掌握两向量平行的条件。

4、会求两向量的数量积（或称内积），及两向量的夹角掌握两向量垂直的充要条件

5、向量的向量积（或称外积）

ⅰ.掌握平面的点法式方程和一般方程，会求平面方程，了解两平面平行、垂直、相交、重合的条件；会求点到平面的距离。

ⅱ.掌握直线的点向式方程和参数方程，会求直线的方程，了解两直线平行、垂直的条件。

会求两直线的夹角。

ⅲ.了解球面、圆柱面、圆锥面、旋转曲面等简单面的方程，并能作出它们的草图。

第七部分：

常微分方程

答：

水分和氧气是使铁容易生锈的原因。

（一）考试范围

答：

说明米饭不是甜的，但米饭含有淀粉，在我们咀嚼的过程中发生了变化，变得有甜味了。

1、常微分方程的概念：

微分方程的解、通解、初始条件和特解

2、一阶可分离方程变量方程；齐次方程；一阶线性方程，贝努里方程；全微分方程

15、经过有效处理的废水，可以排放到湖泊、河流和海洋中，也可以渗入地下。

3、可降价的某些二阶方程

4、二阶常系数线性微分方程。

8、对生活垃圾进行分类和分装，这是我们每个公民应尽的义务。

1、考试要求

a）了解微分方程，微分方程的阶；微分方程的特解、通解、初始条件等概念。

b）熟练掌握一阶可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、贝努里方程、全微分方程的解法。

c）会解下列可降价的二阶微分方程

　　　　　　　　　　y〃=?

（x）

不显含y的二阶方程：

y〃=?

（x，y′）

7、月球的明亮部分，上半月朝西，下半月朝东。

不显含x的二阶方程：

y〃=?

（y，y′）

d）掌握二阶线性微分方程通解结构

e）熟练掌握二阶常系数线性非齐次方程的通解或特解自由项f（x）

20、在水中生活着许我微生物，常见的有草履虫、变形虫、喇叭虫、眼虫、团藻等。

为①（a0+a1x+a2x2+…+anxn）eax

或②（a0+a1x+a2x2+…+anxn）eaxcosβx

二、问答：

或③?

（x）=（a0+a1x+a2x2+…+anxn）eaxsinβx

7、我们每个人应该怎样保护身边的环境？

参考书目录

10、由于人口迅速增长、环境污染和全球气候变暖，世界人均供水量自1970年以来开始减少，而且持续下降。

1、《高等数学》（第四版）上、下册，同济大学数学教研室主编高等教育出版社出版

答：

当地球运行到月球和太阳的中间，如果地球挡住了太阳射向月球的光，便发生月食。

2、《高等数学

（一）》微积分（全国高等教育自学考试教材）高汝熹主编，武汉大学出版社出版