高考北京卷理科数学试题及答案docx.docx
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高考北京卷理科数学试题及答案docx
2002年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工）（北京卷）
参考公式：
三角函数的积化和差公式
sincos
1[sin（
）
sin（
）]
;
2
cos
cos
1[sin（
）
sin（
）]
2
1[cos（
coscos
）
cos（
）]
;
2
sin
sin
1[cos（
）
cos（
）]
2
1
S台体
c）l其中c
、c分别表示上、下底面周长，l表示
正棱台、圆台的侧面积公式
（c
2
斜高或母线长
球体的体积公式
V球
4
R3其中R表示球的半径．
3
一．选择题：
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1
M
{1}
{1,2,3}
的集合M的个数是（
）
．满足条件
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
2．在平面直角坐标系中，已知两点
A（cos800,sin800）,Bcos200,sin200，则AB的值
是（
）
1
（B）
2
（C）
3
（D）1
（A）
2
2
2
3．下列四个函数中，以
为最小正周期，且在区间
（
）上为减函数的是（
）
2
cosx
（A）y
cos2x
（B）y
2sinx
（C）y
1
（D）y
cotx
3
4
a的球，记它们的体积之和为
V
S
a
．64个直径都为
的
甲，表面积之和为
甲；一个直径为
4
球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则（
）
（A）
V甲
V乙,且S甲
S乙
（B）
V甲〈V乙,且S〈甲
S乙
（C）
V甲
V乙,且S甲
S乙
（D）
V甲
V乙,且S甲
S乙
5．已知某曲线的参数方程是
x
sec
（
为参数），若以原点为极点，
x轴的正半轴为极
y
tan
轴，长度单位不便变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是（
）
（A）
1
（B）
cos2
1
（C）
2sin2
1
6．给定四条曲线：
①
x2
y2
5
，②
x2
y2
1，③x2
y2
1，④x2
y2
1
．其
2
9
4
4
4
中与直线x
y
5
0仅有一个交点的曲线是（
）
（A）①②③
（B）②③④
（C）①②④
（D）①③④
7．已知z1，z2
C，且z
1
．若z1
z22，则z
z
2
的最大值是（
）
1
1
（A）6（B）5（C）4（D）3
cot
1
1
，则
cos2
的值为（
）
8．若
2cot
1
1sin2
（A）3
（B）-3
（C）-2
（D）
1
2
9．12名学生分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口
4人，则不同的分配方
案共有（
）
（A）C124C84C44种
（B）
3C124C84C44种
（C）
C124C84P33种（D）C124C84C44
/P33种
10．设命题：
“直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”；命题
乙：
“直四棱柱ABCDA1B1C1D1是正方体”，那么，甲是乙的（
）
（A）充分必要条件
（B）充分非必要条件
（C）必要非充分条件
（D）即非充分
又非必要条件
11．已知f（x）是定义在（
3,3）上的奇函数，当0x
3时，f（x）的图象如图所示，那么
不等式f（x）cosx
0的解集是（
）
（A）（
3,
）
（0,1）
（,3）
（B）
（
1）
（0,1）
（,3）
2
2
2
2
（C）（
3,
1）
（0,1）
（1,3）
（D）
（
3,
）
（0,1）
（1,3）
fi（x）（i1,2,3,4）
[0,1]
2
．如图所示，
是定义在
上的四个函数，其中满足性质：
12
“对[0,1]中任意的x1和x2
，任意
[0,1]，f[
x1
（1
）x2]
f（x1）
（1）f（x2）
恒成立”的只有（
）
（A）
f1（x）,f2（x）
（B）
f2（x）
（C）
f2（x）,f3（x）
（D）
f4y（x）
y
y
f（x）
y
f（x）
f（x）
f（x）
O
1
x
O
1x
O
1
x
O
1
x
二．填空题：
13．arcsin（
2）,arccos（3）,arctan（
5）从大到小的顺序是
．
5
4
4
14．等差数列{an}，中，a1
2，公差不为零，且
a1,a3,an恰好是某等比数列的前三项，
那么该等比数列公比的值等于
．
15．关于直角
AOB在平面
内的射影有如下判断：
①可能是
00
的角；②可能是锐角；③
可能是直角；④可能是直角；⑤可能是
1800
的角．其中正确的序号是
．（注：
把你
认为正确判断的序号都填上）
．
x
y
2x2y80
16
3x4y80
上的动点，PA，PB是圆
2
2
的
．已知P是直线
两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形
PACB面积的最小值
E
F
为
．
三．解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
D1
C
17．解不等式
2x1
x
2
A1
1
18．如图，在多面体ABCD
A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，
c
B1
d
D
相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交与
E,F
C
两点，上、下底面矩形的长、宽分别为
c,d与a,b，且a
c,b
d，两
A
b
底面间的距离为h．
a
B
（1）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小；
（2）证明：
EF//面ABCD；
（3）在估侧该多面体的体积时，经常运用近似公式V估S中截面h来计算，已知它的
体积公式是
V
h（
S上底面
4
S下底面
）
试判断V估与V的大小关系，并加以证明．
6
S中底面
（注：
与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面．
）
19．数列{an}由下列条件确定：
x1
a
0，xn1
1（xn
a）,n
N．
2
xn
（1）证明：
对n
2，总有xn
a；
（2）证明：
对n
2，总有xn
xn1；
（3）若数列{an}的极限存在，且大于零，求
limxn的值．
n
20．在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：
用计算机求n个不同的数v1,v2,
vn的和
n
vn，计算开始前，n
vi
v1
v2
i
1
个数存贮在n台由网络连接的计算机中，
每台机器存一个数．
计算开始后，在一个单位时间
内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，
并与自己原有数据相加得到新的数据，
各台机
器可同时完成上述工作．为了用尽可能少的单位时间，即可完成计算，方法可用下表表示：
机器号
初始时
第一单位时间
第二单位时间
第三单位时间
被读机
结
被读机
结
被读机
结
号
果
号
果
号
果
1
V1
2
V1
V2
2
V2
1
V2
V1
（1）当n
4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？
把你设计的方法填入下表
机器号
初始时
第一单位时间
第二单位时间
第三单位时间
被读机
结
被读机
结
被读机
结
号
果
号
果
号
果
1
V1
2
V2
3
V3
4
V4
（2）当n
128时，要使所有机器都得到
n
vi
，至少需要多少个单位时间可完成计
i
1
算？
（结论不要求证明）
21
O（0,0）
，
B（1,0）
，
C（b,c）
是OBC的三个顶点．
．已知
（1）写出
OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明
G,F,H三点共线；
（2）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹．
y
C（b,c）
O
B（1,0）x
22．已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的
f（ab）af（b）bf（a）．
a,b
R
都满足：
（1）求f（0）,f
（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f
（2）
2，un
f（2n）（nN），求数列{un}的前n项的和Sn
n
参考解答
说明：
一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容
和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一.选择题：
本题考查基本知识和基本运算，每小题
5分，满分60分。
1.B
2.D
3.B
4.C
5.D
6.D
7.C
8.A
9.A
10.C
11.B
12.A
二.填空题：
本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。
13.arctan（5）arcsin
（2）arccos（3）
454
14.4
15.
（1）
（2）（3）（4）（5）
16.22
三.解答题：
本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力，满分
12
分。
2x
1
x
2
解：
原不等式
2x
1
x
2
2x10
2x1x2
2x1x2
x20
因为
2x1（x2）2
x
1
1
2
x
2
x2
2x
5
0
2x
1
0
2x1x
2
x20
2x10
又
2x1（x2）2或x20
x
2
1
x
2
2
6x
5
0或2
x
x
2
1
2
1
x
5或
x
2
1
2
2
x
5
x
或2
1
x
5
2
1
x
1
2
1
x5
2
x
5
所以，原不等式组
2
{x|
1
x5}
因此，原不等式的解集为
2
18.本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分。
（1）解：
过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B1作B1GPQ,垂足为
Ｇ
平面ABCD//平面A1B1C1D1，A1B1C190
ABPQ，ABB1P
B1PG为所求二面角的平面角
过C1作C1HPQ，垂足为H，由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形
B1PQC1为等腰梯形
1
PG（bd）
2
又B1Gh
tgB1PG
2h
（bd）
bd
2h
2h
B1PG
arctg
arctg
b
d，即所求二面角的大小为
b
d
EF
（2）证明：
AB、CD是矩形ABCD
的一组对边，有
AB//CD
D1
C1
又CD是面ABCD与面CDEF的交线
A1
c
B1d
AB//面CDEF
D
Q
C
EF是面ABFE与面CDEF的交线
H
b
AB//EF
G
A
a
B
AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面
ABCD外
P
EF//面ABCD
（3）V估
V
证明：
a
c，b
d
V
V估
h（cd
ab
4
a
c
bd）
ac
b
dh
6
2
2
2
2
h
2ab2（a
c）（b
d）
3（a
h
（a
c）（b
d）
0
[2cd
c）（bd）]
12
1
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