关于效用函数及阿罗不可能定理的一个猜想.docx
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关于效用函数及阿罗不可能定理的一个猜想
关于效用函数及阿罗不可能定理的一个猜想
唐跃志
华中科技大学经济学院，武汉，430074
摘要：
本文讨论了“阿罗不可能定理”的逻辑问题。
同时指出，如果将效用函数放在非欧空间里考察，则“投票悖论”可以解决。
本文给出了效用函数在空间里的一个猜想模型，并证明了这种可能性。
以及如何利用模型，求“Edgeworth盒”的契约曲线及无差异函数。
关键词：
效用函数，非欧空间，阿罗不可能定理，契约曲线，无差异函数，猜想模型
引言
1951年，阿罗（Arrow,K.J）发表并证明了著名的“不可能性定理”。
阿罗用公理化方法和5个著名的公理证明了，经济学上的效用函数（utilityfunction）是不存在的。
这个定理给从那以后的经济学，带来了极大的困难。
许多人试图否定阿罗的结论，但都没有成功。
我们总结了前人的经验。
并注意到阿罗证明成立的关键，是以下二个原因：
第一，是因为公理化方法有如下逻辑：
如果“猜想”不与公理相悖，那么该“猜想”就有可能是对的；反之，如果“猜想”与公理相悖，那么该“猜想”就一定是错误的。
第二，是因为“投票悖论”的问题。
因为，“投票悖论”是由效用函数导出的。
而“投票悖论”又与阿罗公理相矛盾。
所以，效用函数在阿罗公理条件下不存在。
由此可见，在阿罗的证明中，“投票悖论”是一个非常重要的因素。
但“投票悖论”是怎样产生出来的呢？
它源自阿罗假设中的“传递性公理”，它的标准假设是“A优于B,B优于C,那么一定A优于C”。
因此，“传递性”，是“不可能定理”不可或缺的因素；如果证明在“传递性假设”上出了问题，那么“不可能定理”就不会再成立。
经过分析，我们发现，“传递性公理”，其实与一条欧氏定理“A>B,B>C,那么一定A>C”等价；或者在某种意义上说，阿罗公理其实就是一个欧氏公理；阿罗证明实质上要求，效用的公理必须是欧几里德形的，阿罗证明也只在欧氏条件下才会成立。
但问题是，现实的效用体系是否就一定是欧氏几何形的呢？
或者说，选择的公理是否就是要求，“如果A优于B,B优于C，就一定必须有A优于C!
”？
如果换成非欧几何，“阿罗定理”在非欧条件“A>B,B>C,不一定A>C”下还会成立吗？
！
基于非欧几何的知识，我们知道，答案是否定的。
“不可能定理”在欧氏条件下成立，但在非欧条件却可能不成立！
而且，现实的空间几何，非欧几何也要比欧氏几何合理。
因此，联系到公理化方法的逻辑，我们有一个基本猜测：
现实的效用的分析几何，也许应该是非欧几何，而不应是欧几里德几何！
在此问题上，阿罗可能把问题的因果关系弄颠倒了，“不可能性定理”并不是经济学的“有效”定理！
而且我们还发现，“投票悖论”可以在非欧条件下得到印证。
本文的第一部分，是公理化方法的数学准备；第二部分，是阿罗证明的逻辑讨论；第三部分，是我们对效用空间的一个几何猜想；第四部分，从等效角度证明效用的空间是非欧的；第五部分，用变分法证明效用的传递是封闭的，以及我们对“独裁”的解释；第六、七部分，是本文研究的一个延伸，即如何求“Edgeworth盒”上的契约曲线及无差异函数。
§1，公理化方法与几何公理
1.1，公理化方法
所谓的公理化方法，也叫演绎推理方法。
它是从一些初始概念（不定义的概念）和一些初始命题（不证明的命题、公理）出发，按一定的逻辑规则，定义出所需要的概念，推导出所需的命题（定理）来。
这里的“推导”是一种严格的证明，其依据，只能是初始命题或已由它们证明了的命题，除了逻辑规定外，不得依赖其他任何东西。
它是数学上构建严格数理体系的基本方法。
该方法的逻辑特点是：
如果“猜想命题”不与公理相悖，那么该“猜想”就有可能是对的；反之，如果“猜想”与公理相悖，那么该“猜想”就一定是错误的。
因此，“猜想”的正确与否，与公理的构成有很大关系。
同一“猜想”，在不同的公理条件下，结论会有很大不同。
数学上最基础的公理，是数的公理与形的公理。
数的公理，有Peano数公理、代数公理；形的公理，则有欧氏几何和非欧几何（罗巴切夫斯基几何，黎曼几何）。
任何公理，按笛卡尔（R.Descartes）的思想，都可化为数的公理和形的公理。
联系数、形公理的桥梁，是坐标空间、相函数。
由坐标、相函数支撑起来的“相空间”，包含了该公理应具有的一切性质。
比如，欧氏几何的“相空间”是“平直的”；非欧几何的“相空间”是“弯曲的”。
阿罗公理作为一个代数公理，应与形的公理同态同构。
1.2，几何公理的构成
按希尔伯特（D.Hilbert）的划分，几何公理的组成如下：
几何公理结构
几何公理
欧氏几何
罗氏几何
黎氏几何
公理Ⅰ
关联公理
关联公理
关联公理
公理Ⅱ
顺序公理
顺序公理
分隔公理
公理Ⅲ
合同公理
合同公理
运动合同公理
公理Ⅳ
欧氏Ⅳ公设
罗氏Ⅳ公设
黎氏Ⅳ公设
公理Ⅴ
连续公理
连续公理
连续公理
欧氏几何和罗氏几何的区别，是第Ⅳ公设；而黎氏几何与欧氏、罗氏几何的区别，除了第Ⅳ公设外，还得加上一个在关联基础上的分隔公理。
关于第Ⅳ公设，是众所周知的：
欧氏第Ⅳ公设：
又称平行公理。
过直线L外一点A，至多可作一条直线与L不相交。
它的等价描述是，△内角和等于π。
罗氏第Ⅳ公设：
过直线L外一点A，至少有两条直线与L共面而不相交。
它是欧氏平行公理的矛盾命题。
它的等价描述是，△内角和小于π。
黎氏第Ⅳ公设：
过直线L外一点A的所有直线，都与L相交。
它的等价描述是，△内角和大于π。
对于其它公理，了解它们是必要的。
关联公理：
也叫结合（从属）公理。
过A,B两点，有且至多有一直线L；直线上至少有二点，又至少有三点不在同一直线上；过不在同一直线上的三点A,B,C，必有且至多有一平面S；每一平面上至少有三点；如果直线的两点在平面S上，则该直线的每一点都在S上。
顺序公理：
也称次序公理。
若C在A,B之间，则A,B,C三点共线，且C在B,A之间；对于A,B两点，至少存在点C，使C在A,B之间；在共线三点中，至多有一点在其余两点之间。
分隔公理：
若A,B,C为直线上任意三点，存在D，A,B点分隔C,D；若A,B分隔C,D，则B,A分隔C,D，C,D分隔A,B；共线四点A,B,C,D，则A,B分隔C,D，A,C分隔B,D，A,D分隔B,C，三种关系恰有一种关系成立；若A,B分隔C,D，A,D分隔B,E，A,B则分隔C,E。
合同公理：
也叫全合（全等）公理。
若A,B为L上的点，A’是L’上的点，则在L’上A’的一侧，恰有点B’，使得AB=A’B’；若AB=A’B’,A”B”=A’B’，则AB=A”B”；若B在A,C之间，B’在A’,C’之间，并且有AB=A’B’,BC=B’C’，则AC=A’C’。
运动合同公理：
也叫等效公理。
对两个几何体K、K’，通过运动变换F，可以由K’得到K，并且保持K、K’共有的特征性质不变。
由合同或者运动合同公理，可导出：
①自反性：
AB=BA；②对称性：
若AB=A’B’，则A’B’=AB；③传递性：
若AB=A’B’,A’B’=A”B”，则AB=A”B”。
同样，由顺序/分隔公理，可定义出：
④反对称：
AB=-BA；⑤非对称：
AB-BA。
以上公理的逻辑关系是：
没有关联公理、顺序/分隔公理，就没有合同公理，也就不存在自反性、对称性及传递性；自反性、对称性，以非自反、反/非对称的存在为前提。
决定非自反、反/非对称的因素，是关联公理和顺序/分隔公理。
在同一构造空间里，满足非自反性、反/非对称性、传递性的几何关系，通常称为序关系。
三种不同的公理，构造了三种不同的序。
三种序关系，分别代表三种不同的几何。
开放的序，代表欧氏或者罗氏几何；封闭的序，则代表黎氏几何。
不同的几何，将导致不同的几何定理。
比如，在欧氏、罗氏几何条件下，由顺序公理有反对称AB=-BA，于是
如果C>B,A>C，则A>B。
而在黎氏条件下，由分隔公理，有非对称AB≠-BA或者反对称AB=-BA，
如果是反对称AB=-BA，则C>B,A>C，一定有A>B；
如果是非对称AB≠-BA，则C>B,A>C，不一定是A>B，而可能是B>A。
关于连续公理，则从略。
1.3，数与形的统一
考虑一个数序对（x,y），并引入坐标系{0;1,i}；则这个数序对（x,y），可看成复平面上的一个点Z（x,y）；这个点通过坐标关系，可构造一个数z=x·1+y·i；则有点Z与数z的对应关系
Z（x,y）.z=x·1+y·i.
同时，Z的运动Z（x,y）→Z’（x+dx,y+dy），将构成线段ZZ’，并且有
dz2=（dx·1+dy·i）2=dx2·12+2dxdy·1·i+dy2·i2.
于是，有线段ZZ’与数dz2的对应关系
ZZ’.dz2=dx2·12+2dxdy·1·i+dy2·i2.
因为，数z、dz是基元（1,i）上的一个线性表示；数dz2是基元（1,i）的二次正定型；所以当1·i=0时，有dz2=（dx·1）2+（dy·i）2，它表示引入的坐标系为直角坐标系；数dz2的形式，则忠实地反映了直角ZOZ’的“勾股弦”关系；并且，这种“勾股弦”关系，在任何直角三角形中都严格成立。
显然，dz2为线段ZZ’长度的平方，dz=|ZZ’|；
（dx·1）2为线段ZO长度的平方，（dx·1）=|ZO|；
（dy·i）2为线段OZ’长度的平方，（dy·i）=|OZ’|；
但是，当i2=-1时，却有
dz2=（dx·1）2+（dy·i）2=dx2-dy2.
点Z’的运动是弯曲的双曲线，其“线段ZZ’”的几何为双曲几何。
从几何的分类上，双曲几何从属于罗氏几何。
而当i2=0时，
dz2=（dx·1）2+（dy·i）2=dx2.
点Z’的运动是平直的直线，其“线段ZZ’”的几何为抛物几何。
抛物几何从属于欧氏几何。
当i2=+1时，
dz2=（dx·1）2+（dy·i）2=dx2+dy2.
点Z’的运动是弯曲的椭圆线，其“线段ZZ’”的几何为椭圆几何。
椭圆几何从属于黎曼几何。
可见，在保证△ABC“勾股弦”关系不变的前提下，基元（1,i）性质的变化，将使△的几何形态发生较大的扭曲。
而且其“△内角和定理”也被修正为
A+B+C=π+KS，
其中：
K为空间曲率，S为△ABC面积。
显然有
罗氏几何：
等dz的运动轨迹BA为双曲线，K<0，有A+B+C<π；
欧氏几何：
等dz的运动轨迹BA为平直的直线，K=0，有A+B+C=π；
黎曼几何：
等dz的运动轨迹BA为椭圆线，K>0，有A+B+C>π；
所以，坐标基（1,i）的性质，对点、线的空间形态影响很大；基元（1,i）的性质，是区分空间几何类型的重要标志。
通常，基元（1,i）的确定与基元（1,i）的算法，称为一个变换群。
这种变换群，在正交面上共有三种；每一种变换群对应着一种几何。
变换群的具体确定，与公理的构成有关。
每一种公理构成，隐含着一种变换群；同时也就隐含着一种几何结构。
“·”算法与几何关系
双曲几何
抛物几何
椭圆几何
·
1
i
·
1
i
·
1
i
1
1
0
1
1
0
1
1
0
i
0
-1
i
0
0
i
0
1
由于已经证明，阿罗公理体系是一个效用数序对；因此，阿罗公理必属于欧氏几何与非欧几何中的一种。
1.4，A>B,B>C,不一定A>C!
几何“猜想命题”的“真伪”，与几何公理性质密切相关。
它严密地证明了，仅凭直觉而没有通过逻辑证明的“东西”，是靠不住的。
许多在欧氏条件下，看起来直观而平凡的“真理”，在非欧条件下就有可能成为“谬误”。
比如，“△内角和等于π”这样一个“猜想”。
该“猜想”只在欧氏几何条件下成立；在罗氏、黎曼几何条件下不成立。
反之，如果“猜想”换成“△内角和不等于π”，那么“猜想”在罗氏、黎曼条件下是成立的；而在欧氏条件下不成立。
再如“如果A>B,B>C,那么一定A>C”之“猜想”，在欧氏几何、罗氏几何条件下是严格成立的；而在黎曼几何条件下不成立。
类似的例子还可以举出许多。
所以，在不同的条件下，几何的基本元素和基本关系，不论是几何形态还是几何计量，都要发生根本性的改变。
我们不能再用主观的思维，去推论一些“想当然”东西。
了解这些，是解决“不可能定理”和“投票悖论”的基础。
而且应该记住的是，“点”应严格区分“欧氏点，罗氏点，黎氏点”，“线”分“欧氏线，罗氏线，黎氏线”，“面”应分“欧氏面，罗氏面，黎氏面”；由“点、线、面”等基本元素支撑起来的空间，有“欧氏空间，罗氏空间，黎氏空间”。
其几何要素在空间里的表现，除“点”外，“欧氏线/面”在三维欧氏空间里是平直的，而“罗氏线/面，黎氏线/面”在三维欧氏空间里却是弯曲的。
“线，面”在三维欧氏空间里是否弯曲，是欧氏几何与非欧几何的根本区别。
而“黎氏线”则是“黎氏球面”上的“大圆”，它是一个封闭的“线元”；它通常也叫“测地线”。
§2，阿罗公理，“投票悖论”与不可能定理
2.1，阿罗公理
对于备择对象x和y，考虑一种偏好序关系“≳”；“≳”可看成符号“”，或者一个算符“”；用“x≳y”表示“x优于y”；x和y经“≳”作用后化成函数ux和uy）；如果x≳y，则ux≳uy。
“≳”满足：
公理1,连通且自反性。
对任意的x与y，有x≳y或y≳x；且二者必居其一。
公理2,传递性。
对任意的x,y和z，x≳y与y≳z，则必有x≳z。
公理3,一致性。
若社会所有成员都认为，某种备选方案优于另一种，那么社会亦应如此认为。
公理4,独立性。
比如，原来有两名候选人，现在又添加一名候选人，则人们对原来两名候选人的偏好序，不应受新添候选人的影响。
公理5,非独裁性。
即不应使个人的偏好总是自动成为社会偏好，而不管其他人的偏好与他是如何地不同。
其中：
公理1,2为自然的理性基本条件；公理3,4,5是阿罗及其支持者，为达合理要求所加的限制性条件，它最直接的结果，是形成“少数服从多数”规则。
2.2，不可能性定理与“投票悖论”
不可能性定理：
阿罗认为，五个公理是不相容的，不可能存在满足上述五个条件的效用函数；如果有的话，只可能是外界强加的或者是独裁的。
阿罗用公理化逻辑，论证了他的论点。
给予他强烈支持的证据，是下面的“投票悖论”。
假设由甲、乙、丙三人组成的一个群体，必须在A,B,C三个方案中，进行排序与选择。
达成群体偏好尺度的自然方法，是少数服从多数；如果群体中的大多数认为“第一方案≳第二个”，那么群体就认为“第一方案≳第二个”。
假定：
若甲认为“A≳B，B≳C”，根据传递性原则，从而有“A≳C”；乙认为“B≳C，C≳A”，从而“B≳A”；丙认为“C≳A，A≳B”，从而“C≳B”。
因为有两票的多数（甲，丙；甲，乙）认为“A≳B，B≳C”，根据传递性原则，应有群体序“A≳C”。
但是，综合观察甲、乙、丙三个独立的序，发现也同时存在两票的多数（乙，丙）认为“C≳A”。
显然，由传递性原则导出的“A≳C”，与由少数服从多数推出的“C≳A”，两者是相互矛盾的。
要消除这种矛盾，只能在矛盾的序关系中两中择一。
如果群体选择“A≳C”，由于这也是甲的观点，所以等同于甲“独裁”；如果群体选择“C≳A”，则只能是“外界强加的”，因为它必须否定序的基本原则－传递性。
于是，“投票悖论”导出了一种封闭的序循环关系：
A≳B≳C≳A
它与“测地线”拓扑同构。
阿罗还罗列了，利用个人效用构造社会效用函数时，可有多种不同数学表达式的例子，来佐证社会效用函数存在的“不可能性”。
关于阿罗证明的过程从略。
但其思想逻辑，已基本反映在“投票悖论”中。
2.3，不可能定理在逻辑上的问题
⑴，判断一个函数存在与否？
数学上只要两个条件。
一是函数是连续的，用集的语言叫连通且自反；二是自变量与因变量一一对应，用公理表达就是，自（因）变量必须满足关联、顺序、合同以及连续公理中的阿基米德公理。
价值、效用、序关系，作为不定义的概念，就象平凡几何中的点、线、面一样，都是不证而自明的要素。
其函数都由这些要素构成。
它们均满足上述的两个条件。
因此，从这个意义上说，效用函数是肯定存在的。
尽管效用函数，可能存在多种数学表达式甚至没有表达式，但都不是效用函数不存在的理由。
因为社会是“经济人”群体，“经济人”懂得如何在多种表达式中选择最优。
至于最优的表达式是什么，只与经济系统的结构有关，而与存在多少种表达式无关。
⑵，“A≳B和B≳C，从而A≳C”，只在欧氏条件下是成立的；而在黎曼条件下不成立。
推而广之，“效用函数不存在”作为一个“猜想”，在欧氏条件下是成立的，但不等于在黎曼条件下也成立。
关键是看效用所在的空间是否弯曲。
按笛卡尔的思想，任何公理都可以化为几何公理；阿罗公理当然也不能例外。
阿罗传递性公理，其实就是欧氏顺序公理基础上的合同公理。
阿罗公理与欧氏几何公理同态同构。
我们唯一需要证明的是，选择的公理，应该是非欧的而不应是欧几里德的。
即，在理想的情况下是罗巴切夫斯基几何，在大多数情况下是黎曼几何。
⑶，在黎曼几何条件下，任何序关系都是封闭的，“投票悖论”序拓扑结构，正是这种封闭序关系的真实反映。
在黎曼几何条件下，阿罗传递性（顺序）公理已经失效，要确定A,B,C三者关系，只能通过分隔公理来确认。
根据分隔公理，必须首先确定A,B的关系，然后再确定C是在A,B之间还是A,B之外。
具体地说，就是一要统一确定A,B,C序的方向，二是统一确定A,B,C序的起点和终点。
可以认为，“投票悖论”封闭序的产生，其原因就是没有“统一的效用观，统一的起点和方向”所致。
而“一致性公理”，则是序关系统一之后的另一种表现。
这种统一序的方向、起点和终点的方法，其实就是“独裁”。
但要注意的是，这种“独裁”，是“社会独裁”而非“个人独裁”。
⑷，阿罗把“投票悖论”中的“社会独裁”，直接等同于“一个人说了算的独裁”，而没有注意两者间的区别。
他颠倒了原因与结果的因果关系。
一般而言，“社会独裁”是群体协商的结果，是一种协商后的“社会准则，法规”；而“个人独裁”，则完全是“一个人说了算的个人强权”；两者是不一样的。
古语云：
“鹤蚌相争，渔翁得利”。
“投票悖论”中的“二择一”，其实是一种“得利”的表现，它是一个“社会独裁”，只不过它与“某个人的意愿”巧合而已。
⑸，当一种序的基本规则已定时，那么选择只能服从规则，而不能反过来甚至否定规则。
归纳起来，阿罗公理的矛盾，是“传递性”与“少数服从多数”的矛盾。
“传递性”与“少数服从多数”，作为两个规则，在选择中应有优先次序。
其优先次序的确定，应具体问题具体分析。
一般而言，如果“传递性”是公理的基本规则，那么在选择中应处于绝对优先地位；“少数服从多数”作为一个辅助规则，则只能处于次要位置。
不能因为某种结果，而对它们的次序和地位进行任意曲解。
一个很好的例子，是“关于时间的确定”。
大堂里挂着三个钟，三个钟都用统一的原理计量时间，三个钟均没有误差，其中一个指住“9:
00”，其余两个指住“10:
00”。
但此时能不能按“少数服从多数”确定，当地时间一定是“10:
00”而非“9:
00”？
显然是不能的。
因为，指住“9:
00”的可能是“当地北京时间”，指住“10:
00”的是“东京时间”。
从时间的数值上说，三个钟均没有指错。
只不过“时间的起点”不一样。
但是，这种“少数”钟的“独裁”，并不是由“它”自己“专制”决定。
它只能由当地的“环境，法规”决定。
由社会的选择决定。
§3，我们的猜测
3.1，几何猜想
由于，阿罗颠倒了问题的因果关系；因此，“不可能定理”可能并不是经济学的“有效”定理！
同时，效用函数存在性（猜想）是否与常理相悖，关键是看效用所在的空间是否弯曲。
于是，我们猜测：
如果效用是空间里的待定函数的话；那么由效用u与交换价值v张成的“曲面S”，应能嵌在具有坐标（x1,x2,x3）的欧氏三维空间里，并且满足
同时x1、x2、x3对u，v可微。
于是，在某个r投影变换下，“S曲面”应映照成一个“Edgeworth盒D”。
“盒D”的对角线AB，是交换的契约曲线；契约曲线AB，是“S曲面”的“测地线AB”在“D”上的投影；“测地线AB”，是“曲面S”上的最短直线；AB既与u,v的空间有关，同时也与u×v的空间有关；AB上的每一点，都是一个“帕累托最优”；而AB的方向，则反映了无差异交换的传播过程。
3.2，模型
由于，市场是一个u与v的相互转换，“S面”是一个u,v的组合；“S面”就代表市场，市场就是“S面”；u,v满足AB曲线最短传播要求。
因此，市场问题，就是一个几何问题。
它是AB曲线在“S”约束下求极值，是AB在“S”约束下求最优路径。
它是AB在“S”约束下求“测地线”。
但由于，“S面”是嵌在E3空间里的，曲面上AB长度
而ds2=|dr|2=dx12+dx22+dx32。
又由于x1、x2、x3是u，v的可微函数，ds2=|dr|2，
因此，也有
ds2=|dr|2=|dr||dr|=|rudu+rvdv||rudu+rvdv|
=rurudu2+2rurvdudv+rvrvdv2.
令guu=ruru，guv=rurv，gvv=rvrv，则
ds2=guudu2+2guvdudv+gvvdv2.
于是，也有
因此，SAB便是定义在集{u（v）}上的一个泛函。
则AB的最优路径问题，将转化为求SAB在“Edgeworth盒”内的变分
具有ds2=guudu2+2guvdudv+gvvdv2形式的“S面”，通常叫黎曼面。
黎曼面上的v,u坐标，叫曲坐标。
ds2叫黎曼距离。
ds2是u,v在“S”约束下的拉格朗日函数。
ds2应有极值。
保ds2不变的几何，叫黎曼几何。
guu、guv、gvv叫空间度规系数。
空间度规系数，决定曲面“S”的性质。
如果guu、guv、gvv是u，v的函数，则“S”就是曲面。
“S”为曲面，效用的空间就是弯曲的。
如果guu、guv、gvv是与u，v无关的常数，则“S”为平面。
“S”为平面，效用的空间就是平直的。
平面是曲面的特殊形式。
guv=0，表示u，v正交。
因此，市场问题，就是一个纯粹的黎曼几何问题。
它是SAB在“S”约束下求极值，是AB在“S”约束下求最优路径。
是AB在“S”约束下求“测地线”。
它是SAB在“Edgeworth盒”内的变分。
关于模型的解，见本文的第五、六、七部分。
§4，效用空间的非欧性证明
在20世纪初，德国数学家A.E.Noether曾经证明了一个非常有用的定理。
这个非常有用的定理，就是Noether对称。
A.E.Noether证明了：
在一个相互作用的力学系统里，有多少个守恒量，就有多少个守恒律，守恒量与守恒律是高度对称的，对称性导致相互作用律。
这里，守恒量也叫不变元，对称性也叫对称性规则。
Noether对称的思想，可用图4—1表达。
由于，交换是一个买者与卖者的博弈，交换过程是一个u与v的相互转换；因此，市场也是一个相互作用的力学系统。
在这个力学系统里，Noether对称也是成立的。
根据Noether定理，我们可以考虑一个由u与v张成的“S面”的运动。
看看这个“S面”的运动过程中，存在什么样的不变元，以及跟这个不变元有关的变换是什么？
如果这个守恒元与欧氏几何有关，则效用的空间就是平直的；如果这个守恒元与非欧几何有关，则效用的空间就是弯曲的。
4.1，经济系统对称，等效律或无差异守恒律，ds、ds2；…
经济系统对称的存在，取决于我们对规律的本质
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