中考数学真题分类训练专题14图形的相似.docx

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中考数学真题分类训练专题14图形的相似

2019年中考数学真题分类训练——专题14：

图形的相似

一、选择题

1．（2019邵阳）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中

错误的是

A．△ABC∽△A′B′C′

B．点C、点O、点C′三点在同一直线上

C．∶′=1∶2

AOAA

D．AB∥A′B′

【答案】C

2．（2019温州）如图，在矩形

ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在

边BE上取点M使BM=BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释

了（+）（﹣

）=2﹣

2，现以点

F

为圆心，

FE

为半径作圆弧交线段

于点

，连结

，记△

的面

abab

a

b

DH

P

EP

EPH

积为S1，图中阴影部分的面积为

S2．若点A，L，G在同一直线上，则

S1的值为

S2

A．

2

B．

2

23

2

C．

4

【答案】C

3．（2019淄博）如图，在△

则△ABD的面积为

A．2a

C．3a

【答案】C

4．（2019杭州）如图，在△

重合），连接AM交DE于点

A．ADAN

ANAE

C．DNNE

BMMC

【答案】C

2

D．

6

ABC中，AC=2，BC=4，D为BC边上的一点，且∠CAD=∠B．若△ADC的面积为a，

B．5a

2

D．7a

2

ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C

N，则

BDMN

B．

MNCE

DNNE

D．

MCBM

5．（2019玉林）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有

A．3对B．5对C．6对D．8对

【答案】C

6．（2019常德）如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积

为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是

A．20B．22C．24D．26

【答案】D

7．（2019凉山）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于

E，则BE∶EC=

A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．2∶3

【答案】B

8．（2019赤峰）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE

的长是

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

9．（2019重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是

A．2B．3C．4D．5

【答案】C

10．（2019连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”

应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、

“兵”所在位置的格点构成的三角形相似

A．①处B．②处C．③处D．④处

【答案】B

11．（2019安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，

EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF=EG，则CD的长为

A．3.6B．4C．4.8D．5

【答案】B

12．（2019兰州）已知△ABC∽△A'B'C'，AB=8，A'B'=6，则BC=

B'C'

A．2

B．4

C．3

D．16

3

9

【答案】B

13．（2019常州）若△ABC～△A′B'C′，相似比为

1∶2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为

A．2∶1

B．1∶2

C．4∶1

D．1∶4

【答案】B

二、填空题

14．（2019吉林）在某一时刻，测得一根高为

1.8m的竹竿的影长为

3m，同时同地测得一栋楼的影长为

90m，则这栋楼的高度为

__________m．

【答案】54

15．（2019台州）如图，直线

l

1∥

2∥

3，，，

分别为直线

l

1，

2，

3上的动点，连接

，，，线

l

l

ABC

l

l

ABBCAC

段AC交直线l2于点

D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l

2，l3之间的距离为

n，若∠ABC=90°，

BD=4，且m

2

，则m+n的最大值为__________．

n

3

25

【答案】

16．（2019南京）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD=2，BD=3，

则AC的长__________．

【答案】

10

17.（2019）

烟台）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为

1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别

为A（-2，-1），B（-2，-3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，-1），B1（1，-5），O1（5，

1），△

与△

111是以点

P

为位似中心的位似图形，则

P

点的坐标为__________．

ABO

ABO

【答案】（-5，-1）

18.（2019）本溪）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，

相似比为1，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为__________．

2

【答案】（2，1）或（-2，-1）

19．（2019宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=__________．

【答案】16

5

20．（2019河池）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，则AB=__________．

CD

【答案】2

5

21．（2019淮安）如图，

l

1

∥

2

∥

3，直线

a

、

b

与

l

1、

2、

3分别相交于点

、、

和点

、、．若

=3，

l

l

l

l

ABC

DEF

AB

DE=2，BC=6，则EF=__________．

【答案】4

三、解答题

22．（2019福建）已知△ABC和点A'，如图．

（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；（要求：

尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、

B'C'、C'A'的中点，求证：

△DEF∽△D'E'F'．

解：

（1）作线段A'C'=2AC、A'B'=2AB、B'C'=2BC，得△A'B'C'即可所求．

∵A'C'=2AC、A'B'=2AB、B'C'=2BC，

∴△ABC∽△A′B′C′，∴S△A'B'C'（A'B'）24．

S△ABCAB

（2）如图，

∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，

∴DE1BC，DF1AC，EF1AB，

222

∴△DEF∽△ABC

同理：

△D'E'F'∽△A'B'C'，

由

（1）可知：

△ABC∽△A′B′C′，

∴△DEF∽△D'E'F'．

23．（2019绍兴）如图，矩形

ABCD中，AB=a，BC=b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，

AD上，MN，EF交于点P，记k=MN：

EF．

（1）若：

b

的值为

1，当

⊥

时，求

k

的值．

a

MNEF

（2）若a：

b的值为

1

，求k的最大值和最小值．

2

（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE=60°，MP=EF=3PE时，求a：

b的值．

解：

（1）如图1中，

作FH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．

∵四边形ABCD是正方形，∴FH=AB，MQ=BC，

∵AB=CB，∴FH=MQ，

∵EF⊥MN，∴∠EON=90°，

∵∠ECN=90°，∴∠MNQ+∠CEO=180°，∠FEH+∠CEO=180°，∴∠FEH=∠MNQ，∵∠EHF=∠MQN=90°，

∴△FHE≌△MQN（ASA），∴MN=EF，∴k=MN：

EF=1．

（2）∵a：

b=1：

2，∴b=2a，

由题意：

2≤

5a

，

≤

EF

，

aMN

a

5a

∴当MN的长取最大时，EF取最短，此时

k的值最大，最大值为

5，

当MN的长取最短时，EF的值取最大，此时

k的值最小，最小值为

25．

5

（3）连接FN，ME．

MNEF

∵k=3，MP=EF=3PE，∴3，

PMPE

PNPF

∴2，

PMPE

∴△PNF∽△PME，

NFPN

∴2，ME∥NF，

MEPM

设PE=2m，则PF=4m，MP=6m，NP=12m，

①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与点B重合．过点F作FH⊥BD于点H．

∵∠=∠=60°，

MPE

FPH

∴PH=2m，FH=23m，DH=10m，

∴a

AB

FH

3．

b

AD

HD

5

②如图

3中，当点

N与点C重合，过点E作EH⊥MN于点H．则PH=m，HE

3m，

∴=+=13，∴tan∠

HCE

MB

HE

3

，

HCPHPCm

BC

HC

13

∵ME∥FC，∴∠MEB=∠FCB=∠CFD，

∵∠B=∠D，∴△MEB∽△CFD，

∴CD

FC

2，∴a

CD

2MB

23，

MB

ME

b

BC

BC

13

综上所述，a：

b的值为

3或23．

5

13

24．（2019凉山）如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于

N．

2

（1）求证：

BD=AD·CD；

（2）若CD=6，AD=8，求MN的长．

解：

（1）证明：

∵DB平分∠ADC，

∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∠BCD=90°，

∴△ABD∽△BCD，

∴ADBD，

BDCD

2

∴BD=AD·CD．

（2）∵BM∥CD，∴∠MBD=∠BDC，

∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°，∴BM=MD，∠MAB=∠MBA，

∴BM=MD=AM=4，

22

∵BD=AD·CD，且CD=6，AD=8，∴BD=48，

222

∴BC=BD-CD=12，

222

∴MC=MB+BC=28，

∴MC=27，

∵BM∥CD，∴△MNB∽△CND，

∴BM

MN

2

，且MC=2

7，

CD

CN

3

∴MN=47．

5

25．（2019舟山）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

（1）温故：

如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC

上，若BC=a，AD=h，求正方形PQMN的边长（用a，h表示）．

（2）操作：

如何画出这个正方形PQMN呢？

如图2，小波画出了图1的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：

先在AB上任取

一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使点Q'，M'在BC边上，点N'在△ABC内，然后连结BN'，并延长交AC于点

N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．

（3）推理：

证明图2中的四边形PQMN是正方形．

（4）拓展：

小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线上截取NE=NM，连结EQ，EM（如图3），当

∠QEM=90°时，求“波利亚线”BN的长（用a，h表示）．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

解：

（1）证明：

如图1，由正方形PQMN得PN∥BC，∴△APN∽△ABC，

∴NPAE，即PNhPN，

BCADah

解得PNah．

ah

（3）证明：

由画法得，∠QMN=∠PNM=∠POM=90°，∴四边形PQMN为矩形，

∵N'M'⊥BC，NM⊥BC，

∴NM'∥NM，

∴△BN'M'∽△BNM，

∴N'M'BN'，同理可得

NMBN

∴N'M'

P'N'

.

NM

PN

N'P'=BN'，

NPBN

∵N′M′=P′N′，∴NM=PN，

∴四边形PQMN为正方形．

（4）如图2，过点N作NR⊥ME于点R．

∵NE=NM，∴∠NEM=∠NME，

∴ER=RM=1EM，

2

又∵∠EQM+∠EMQ=∠EMQ+∠EMN=90°，

∴∠EQM=∠EMN.

又∠QEM=∠NRM=90°，NM=QM，

∴△EQM≌△RMN（AAS），

∴EQ=RM，

∴EQ=1EM，

2

∵∠QEM=90°，∴∠BEQ+∠NEM=90°，

∴∠BEQ=∠EMB，

又∵∠EBM=∠QBE，

∴△BEQ∽△BME，

∴BQ

BE=EQ

1

．

BE

BMEM

2

设BQ=x，则BE=2x，BM=4x，

∴QM=BM–BQ=3x=MN=NE，

∴BN=BE+NE=5x，

∴BN=

5NM=

5ah

．

3

3a

3h

26．（2019巴中）△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．

①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1∶2．且△A1B1C位于点C的异侧，并

表示出A1的坐标．

②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．

③在②的条件下求出点B经过的路径长．

解：

①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，-3）．

②如图，△A2B2C为所作．

③OB=12

42

17，

点

B

经过的路径长=90π17

17

．

180

2

π

27．（2019衢州）如图，在

Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点

D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结

BM并延长分别交DE，AC于点F、G．

（1）求CD的长．

（2）若点M是线段AD的中点，求EF的值．

DF

（3）请问当

DM的长满足什么条件时，在线段

DE上恰好只有一点

P，使得∠CPG=60°？

解：

（1）∵

平分∠

，∠

=60°，

AD

BACBAC

∴∠DAC1

∠BAC=30°，

2

在Rt△ADC中，DC=AC?

tan30°=6

3

3．

2

3

（2）由题意易知：

BC=63，BD=43，

∵DE∥AC，∴∠EDA=∠DAC，∠DFM=∠AGM，

∵AM=DM，∴△DFM≌△AGM（ASA），∴DF=AG，

由DE∥AC，得△BFE∽△BGA，

∴EFBEBD，AGABBC

∴EF

EF

BD

4

3

2

．

DF

AG

BC

6

3

3

（3）∵∠CPG=60°，过C，P，G作外接圆，圆心为Q，

∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形．

①当⊙Q与DE相切时，如图1，过点Q作QH⊥AC于H，并延长HQ与DE交于点P．连结QC，QG．

设⊙Q的半径QP=r．则QH

1

r，r

1

r=23，

2

2

解得

r

4

3

，∴

CG

4

3

3

4

，

AG=2

3

3

，

易知△DFM∽△AGM，可得DM

DF

4

，

AM

AG

3

∴DM4

，∴DM163．

7

7

②当⊙Q经过点E时，如图2，过点C作CK⊥AB，垂足为K，

设⊙Q的半径QC=QE=r．则QK=33–r.

在Rt△EQK中，12+（33

r）2=r2，解得r

143，

9

∴CG143

3

14，

9

3

易知△DFM∽△AGM，可得DM143．

5

③当⊙Q经过点D时，如图3中，此时点M与点G重合，且恰好在点A处，可得DM=43．

∴综上所述，当

DM

163

或

143

≤4

3

时，满足条件的点

P

只有一个．

7

5

＜DM

28．（2019荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，

恰好在镜子中看到楼的顶部

E；再将镜子放到

C处，然后后退到

D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部

E（O，

A，B，C，D在同一条直线上），测得

AC=2m，BD=2.1m，如果小明眼睛距地面髙度

BF，DG为

1.6m，试确

定楼的高度

OE．

解：

如图，设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE

于点H，

∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，

∴ACMAMO，FGMFMH

即：

AC

OE

OE

OE

，

BDMH

MOOH

OEBF

∴

OE

2，∴OE=32，

OE1.6

2.1

答：

楼的高度

OE为32米．

29．（2019安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．

（1）求证：

△PAB∽△PBC；

（2）求证：

PA=2PC；

（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．

证明：

（1）∵∠ACB=90°，AB=BC，

∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，

又∠APB=135°，∴∠PAB+∠PBA=45°，

∴∠PBC=∠PAB，

又∵∠APB=∠BPC=135°，

∴△

∽△

．

PAB

PBC

（2）∵△PAB∽△PBC，∴PA

PB

AB，

PB

PC

BC

在Rt△ABC中，AB=AC，∴AB

2

，

BC

∴PB

2PC，PA

2PB，

∴PA=2PC．

（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，

∴PF=h1，PD=h2，PE=h3，

∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°，

∴∠APC=90°，

∴∠EAP+∠ACP=90°，

又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°，

∴∠EAP=∠PCD，

∴Rt△AEP∽Rt△CDP，