三角形新课讲义35.docx

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三角形新课讲义35

三角形新课讲义

文档说明：

1.本文档共四课时，每课时均包含知识点讲授、例题讲解、课堂检测和课后作业四部分内容；

2.本文档知识点全面，所选例题经典，难易程度适中，适合作为新授课和复习课使用；

3.本文档每课时设计教学时间为90分钟，教师可根据实际情况灵活掌握。

4.本文档课堂检测和课后作业配有参考答案。

课时1三角形的边

一、知识点讲授：

1、概念：

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫

三角形，这三条线段就是三角形的边．

如图，记为△ABC；每两条边所组成的角叫做三角形的内角；三角形

中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角.

2、三角形的分类

（1）按三个内角的大小分，三角形可分为锐角三角形、直角三角形、钝角

三角形三类．

（2）按边的相等关系分类如下：

3、三边关系（重点）

[活动]

（1）试画一个三角形使其三边分别为：

a=3，b=2，c=4．

（2）画一个三角形，其中a=3，b=2，那么c=？

由上你得出了什么结论？

理论根据是什么？

定理：

推论：

二、例题讲解：

例1、判断下列三条线段能否构成三角形.

（1）3，4，5；

（2）3，5，9；（3）5，5，8.

归纳总结：

如何真正来使用这条定理呢？

①两条较短边之和大于最长边；

②等腰三角形两腰之和大于第三边；

③等边一定可以．

例2、

（1）已知三角形的两边分别为5cm和6cm，求第三边c的取值范围；

（2）已知等腰三角形的周长是18cm，其中一条边长为4cm，求其它两条

边的长.

三、课堂检测：

一、填空题

1．由__________________三条线段_______所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做______；相邻两边的公共端点叫做______；相邻两边所组成的角叫做______，简称______．

2．如图所示，顶点是A，B，C的三角形，记作______，读作____________．其中，顶点A所对的边______还可用______表示；顶点B所对的边______还可用_______表示；顶点C所对的边______还可用______表示．

3．由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质：

______________________________．由它还可推出：

三角形两边的差_____________

__________________．

4．对于△ABC，若a≥b，则a＋b_______c，同时a－b______c；又可写成________＜c＜

________．

5．若一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则第三边x的长度的取值范围是_________

______，其中x可以取的整数值为__________________．

四、课后作业：

一、填空题

1．已知：

如图，试回答下列问题：

（1）图中有______个三角形，它们分别是____________________________________．

（2）以线段AD为公共边的三角形是________________________________________．

（3）线段CE所在的三角形是______，CE边所对的角是______．

（4）△ABC，△ACD，△ADE这三个三角形的面积之比等于______∶______∶______．

二、选择题

1．下列各组线段能组成三角形的是（）．

（A）3cm，3cm，6cm（B）2cm，3cm，6cm

（C）5cm，8cm，12cm（D）4cm，7cm，11cm

2．现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取（）．

（A）0.85m长的木条（B）0.15m长的木条

（C）1m长的木条（D）0.5m长的木条

3．从长度分别为10cm，20cm，30cm，40cm的四根木条中，任取三根可组成三角形的个数是（）．

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

4．若三角形的两边长分别为3和5，则其周长l的取值范围是（）．

（A）6＜l＜15（B）6＜l＜16

（C）11＜l＜13（D）10＜l＜16

三、解答题

1．

（1）一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求各边长．

（2）若等腰三角形的两边长分别为3cm和8cm，则它的周长是多少?

（3）一个等腰三角形的周长为30cm，一边长为6cm，求其他两边的长．

（4）有两边相等的三角形的周长为12cm，一边与另一边的差是3cm，求三边的长．

2．

（1）若三角形三边分别为2，x－1，3，求x的范围．

（2）若三角形两边长为7和10，求最长边x的范围．

（3）等腰三角形腰长为2，求周长l的范围．

3．如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点．

（1）通过度量AB，CD，DB的长度，确定AB与

的大小关系．

（2）试用你所学的知识来说明这个不等关系是成立的．

4．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m和5m的木棒．如果要求第三根木棒的长度是整数，小颖有几种选法?

第三根木椁的长度可以是多少?

5．如图，P是△ABC内一点，请想一个办法说明AB＋AC＞PB＋PC．

6．如图，D，E是△ABC内的两点，求证：

AB＋AC＞BD＋DE＋EC．

课时2三角形的角平分线、中线、高

一、知识点讲解：

1、三角形的角平分线

三角形一个角的角平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点之间的_________（选填“直线”、“线段”或“射线”）叫做三角形中这个角的角平分线。

简称三角形的角平分线。

如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段_________叫做△ABC的角平分线,表示为∠_____=∠_____＝1/2_____或2∠_____=2∠_____＝∠_____。

符号语言：

∵AD是△BAC的角平分线,

∴∠1=∠2=

∠BAC

思考：

三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？

动手操作：

请画出△ABC（锐角三角形）的所有角平分线，并且观察这些角平分线有什么规律？

对于钝角三角形、直角三角形它们的角平分线也有这样的规律吗?

2、三角形的中线

连结三角形一个顶点和它对边中点的，叫做三角形这个边上的中线。

简称三角形的中线。

表示为=＝1/2或2=2=BC.

符号语言：

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=CD.

例题1图

动手操作：

请画出△ABC（锐角三角形）的所有中线，并且观察这些中线有什么规律？

对于钝角三角形、直角三角形它们的中线也有这样的规律吗?

结论：

a.一个三角形共有条中线，它们都在三角形（“内”或“外”）部，而且相交于一点。

b.若AD为△ABC的中线，则S△ABD=S△ACD.

3、三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作，顶点和垂足之间的叫做三角形的高线，简称

三角形的高。

符号语言：

∵AM是BC边上的高

∴AM⊥BC

注意：

高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

分别作出以下三个三角形的高

A

BC

结论：

锐角三角形的三条高在三角形的部且交于一点。

直角三角形的三条高交于处。

钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在三角形的部。

二、例题讲解：

例1、如图，∠A=70°，BC、

分别平分

和

过点

与

平行，则

.

例2、例题：

如图,已知,AD是BC边上的中线,AB=5cm,AD=4cm,▲ABD的周长是12cm,求BC的长.

例3、在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm,求AD的长.

例4、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是[]

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形

三、课堂检测：

一、填空题

1．从三角形一个顶点向它的对边画______，以______和______为端点的线段叫做三角形这边上的高．如图，若CD是△ABC中AB边上的高，则∠ADC______∠BDC＝______，C点到对边AB的距离是______的长．

2．连接三角形的一个顶点和它__________________的______叫做三角形这边上的中线．如图，若BE是△ABC中AC边上的中线，则AE______EC＝

______．

3．三角形一个角的_______与这个角的对边相交，以这个角的______和______为端点的线段叫做三角形的角平分线．一个角的平分线与三角形的角平分线的区别是______________

___________________________．如图，若AD是△ABC的角平分线，则∠BAD______

∠CAD＝

______或∠BAC＝2______＝2______．

二、画图题

4．分别画出△GEF的高GH，中线EM，角平分线FN．

四、课后作业：

一、画图，并回答问题

1．

（1）分别画出△ABC的三条高AD，BE，CF．

（∠A为锐角）（∠A为直角）（∠A为钝角）

（2）这三条高AD，BE，CF所在的直线有怎样的位置关系?

2．

（1）分别画出△ABC的三条中线AD，BE，CF．

（2）这三条中线AD，BE，CF有怎样的位置关系?

（3）设中线AD与BE相交于M点，分别量一量线段BM和ME、线段AM和MD的长，从中你能发现什么结论?

3．

（1）分别画出△ABC的三条角平分线AD，BE，CF．

（2）这三条角平分线AD，BE，CF有怎样的位置关系?

（3）设△ABC的角平分线BE，CF交于N点，请量一量点N到△ABC三边的距离，从中你能发现什么结论?

二、填空题

1．等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线将这个三角形分成两部分，这两部分的周长之差为2cm，则这个等腰三角形的腰长为_______．

2．要使六边形木架不变形，至少要再钉上_______根木条．

3．将一个三角形剖分成若干个面积相等的小三角形，称为该三角形的等积三角形的剖分（以下两问要求各画三个示意图）．

（1）已知一个任意三角形，将其剖分成3个等积的三角形．

（2）已知一个任意三角形，将其剖分成4个等积的三角形．

4．不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．

课时3与三角形有关的角

一、知识点讲解：

1、三角形内角

三角形内角和。

（如何来证明此结论？

？

？

）

三个角中最多有个钝角，最多有个直角，最多有个锐角，最少有个锐角。

2、三角形外角

三角形外角的概念

∠叫做△ABC的外角。

也就是，三角形一边与另一边的组成的角，叫做三角形的外角。

想一想，三角形的外角共有几个？

三角形外角的性质

（1）三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠是角，即∠ACD+∠ACB=

（2）你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？

结论:

三角形的一个外角等于与它的两个之和。

由加数与和的关系你还能知道什么？

三角形的一个外角与它不相邻的任何一个内角。

即

，

。

（3）例如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？

结论：

三角形外角的和等于0

3、三角形的分类

1按角分类:

三角形三角形

三角形三角形

三角形

2按边分类:

三角形三角形

三角形底和腰不等的等腰三角形

三角形

二、例题讲解：

例1、已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的

高，求∠DBC的度数。

练习：

在△ABC中，∠A－∠C=25°，∠B－∠A＝10°，求∠B．

例2、

（1）如图，AB和CD交于点O，求证：

∠A＋∠C＝∠B＋∠D．

（2）如图，求证：

∠D=∠A＋∠B+∠C．

重要结论：

（不作为定理，用时请给出证明）

例3、如图，在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，

且CD、BE交于一点P，若∠A=50º，求∠BPC的度数．

例4、

如图，在△ABC中，AE⊥BC于E，AD为∠BAC的平分线，∠B=50º，∠C=70º，求∠DAE．

例5、如图，在△ABC中，∠A︰∠B︰∠C=3︰4︰5，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD、CE相交于点H，求∠BHA的度数。

例6.如图，BE平分∠ABC,CD平分∠ACB，∠A=500，求∠BOC的度数。

例7.一个零件形状如图所示，按规定∠BAC=900,∠B=210,∠C=200,检验工人量得∠BDC=1300，就断定此零件不合格，请运用所学知识说明理由。

例8.如图所示,在△ABC中,△ABC的内角平分线与外角平分线交于点P,试说明∠P＝

∠A.

例9、如图,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数.

例10、在△ABC中，∠A=

∠C=

∠ABC，BD是角平分线，求∠A及∠BDC的度数。

例11、

（1）如图7-2-2

（1）,在△ABC中，∠C>∠B,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC,则∠EAD与∠B,∠C有和数量关系？

（2）如图7-2-2

（2）,AE平分∠BAC,F为其上一点,FD⊥BC于D,这时∠EFD与∠B、∠C又有何数量关系？

（3）如图7-2-2（3）,AE平分∠BAC,F为AE的延长线上的一点，FD⊥BC于D,这时∠AFD与∠B、∠C又有何数量关系？

三、课堂检测

一、填空题

1．三角形的内角和性质是______________________________．

2．三角形的内角和性质是利用平行线的______与______的定义，通过推理得到的．它的推理过程如下：

已知：

△ABC．

求证：

∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝______．

证明：

过A点作______∥______，

则∠EAB＝______，∠FAC＝______．

（____________，____________）

∵∠EAF是平角，

∴∠EAB＋______＋______＝180°．（）

∴∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝∠EAB＋∠______＋∠______．（）

即∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝______．

3．三角形的一边与____________________________________叫做三角形的外角．因此，三角形的任意一个外角与和它相邻的三角形的一个内角互为______．

4．利用“三角形内角和”性质，可以得到三角形的外角性质．

如图，∵∠ACD是△ABC的外角，

∴∠ACD与∠ACB互为______，

即∠ACD＝180°－∠ACB．①

又∵∠A＋∠B＋∠ACB＝______，

∴∠A＋∠B＝___________．②

由①、②，得∠ACD＝______＋______．

∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B．

由上述说理，可以得到三角形外角的性质如下：

三角形的一个外角等于______________________________________________________．

三角形的一个外角大于______________________________________________________．

二、解答题

5．如图，在△ABC中，∠A＝70°，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，求∠BOC的度数．

6．如图，BE与CF相交于A点，试确定∠B＋∠C与∠E＋∠F之间的大小关系，并说明你的理由．

7．已知：

如图，CE⊥AB于E，AD⊥BC于D，∠A＝30°．求∠C的度数．

8．依据题设，写出结论，想一想，为什么?

如图，△ABC中，∠ACB＝90°．则

（1）∠A＋∠B＝______，即∠A与∠B互为______；

（2）若作CD⊥AB于点D，可得∠BCD＝∠______，∠ACD＝∠______．

四、课后作业

一、填空题

1．△ABC中，若∠A＋∠C＝2∠B，则∠B＝______．

2．△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．

3．如图，直线a∥b，则∠A＝______．

4．如图，∠DAC＝∠B，∠ADC＝115°，则∠BAC＝______．

5．如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，则∠A＝______．

6．在△ABC中，若∠B－∠A＝15°，∠C－∠B＝60°，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．

二、解答题

1．如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，在B处测得灯塔C位于北偏东25°，求∠ACB．

2．如图，△ABC中，已知∠ABC＝60°，∠ACB＝54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数．

3．如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．

（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数．

（2）试问∠DAE与∠C－∠B有怎样的数量关系?

说明理由．

4．如图，O是△ABC外一点，OB，OC分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF．若∠A＝n°，试用含n的代数式表示∠BOC．

5．如图，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAC及∠BOA．

6．如图，已知线段AD，BC相交于点Q，DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，求∠C的度数．

课时4多边形及其内角和

一、知识点讲解

1、多边形的概念

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

2、多边形的内角和

n边形：

从一个顶点出发的对角线有（n-3）条，它们把n边形分成（n-2）个三角形，因此n边形的内角和为（n-2）·180°.

在n边形内部任取一点O，连接OA1、OA2、OA3、…、OAn，把n边形分成n个三角形，则n边形的内角和为

练习：

求下列图中的x的值.

n边形的对角线：

条

n边形从每一个顶点出发的对角线有条.

3、多边形的外角和

分析：

（1）任何一个外角与它相邻的内角有什么关系？

（2）五边形的5个外角加上与它们相邻的内角，

所得总和是多少？

（3）上述总和与五边形的内角和、外角和有什么

关系？

结论：

五边形的外角和为

n边形的内角和、外角和有什么关系？

结论：

n边形的外角和为

如何理解：

从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和，由于走了一周，因此所转的各个角的和等于一个周角.

二、例题讲解

例1、

（1）一个多边形的内角和是540º，那么这个多边形的对角线的条数是.

（2）已知一个多边形的内角和与外角和共2160º，则这个多边形的边数是.

例2、

（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005º，求多边形的边数。

（2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570，求这个没有计算在内的内角的度数.

例3、若多边形最多有四个钝角，那么此多边形的边数最多是______.

例4、

（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=.

（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=.

例5、

（1）如图，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=.

（2）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=.

（3）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=.

小结：

1、n边形内角和：

.

2、n边形外角和：

.

3、n边形从每一个顶点出发的对角线有条.n边形的对角线共有条.

4、关注“8字形”和“燕尾形”的应用

三、课堂检测

一、填空题

1．平面内，由__________________________________________叫做多边形．组成多边形的线段叫做______．如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做______________．多边形_____________________叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的_______组成的角叫做多边形的外角．连接多边形______________的线段叫做多边形的对角线．

2．画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在_____________，那么这个多边形称作凸多边形．

3．各个角_______，各条边_________的_________叫做正多边形．

4．n边形的内角和等于_______________．这是因为，从n边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将此n边形分为_______个三角形．而这些三角形的内角和的总和就是此n边形的内角和，所以，此n边形的内角和等于180°×______．

5．请按下面给出的思路，进行推理填空．

如图，在n边形A1A2A3…An－1An内任取一点O，依次连接______、_______、______、…、______、_______，则它们将此n边形分为______个三角形，而这些三角形的内角和的总和，减去以O为顶点的一个周角就是此多边形的内角和．所以，n边形的内角和＝

180°×_______－（）＝（）×180°．

6．一个多边形的内角和是1980°，则它的边数是______，共有______条对角线，它的外角和是______．

7．正n边形的每一个内角等于______，每一个外角等于______．

8．若一个正多边形的内角和为2340°，则边数为______，它的外角等于______．

9．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则它的内角和等于______．

10．多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数为______，对角线条数为______．

11．如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，其中一个角为65°，则另一个角为______．

四、课后作业

一、选择题

1．一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是（）．

（A）三角形（B）四边形（C）五边形（D）六边形

2．一个多边形的边数增加，它的内角和也随着增加，而它的外角和（）．

（A）随着增加（B）随着减少（C）保持不变（D）无法确定

3．若一个多边形从一个顶点，只可以引三条对角线，则它是（）．

（A）五边形（B）六边形（C）七边形（D）八边形

4．如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和增加（）．

（A）0°（B）90°（C）180°（D）360°

5．如果一个四边形四个内角度数之比是2∶2∶3∶5，那么这四个内角中（）．

（A）只有一个直角（B）只有一个锐角

（C）有两个直角（D）有两个钝角

二、解答题

1．如图，四边形ABCD中