归纳：
本题根据：
如果几个非负数的和等于0，那么这几个非负数都等于0，先求出点的坐标，然后再根据路程=速度×时间得到相关线段的长度。
最后运用梯形的面积公式解决相关问题。
练习：
1.如图，在长方形ABCD中，边AB=8，BC=4，以点O为原点，OA，OC所在的直线为y轴和x轴，建立直角坐标系．
（1）点A的坐标为（0，4），则B点坐标为______，C点坐标为______；
（2）当点P从C出发，以2单位/秒速度向CO方向移动（不超过O点），Q从原点O出发以1单位/秒速度向OA方向移动（不超过A点），P，Q同时出发，在移动过程中，四边形OPBQ的面积是否变化？
若不变，求其值；若变化，请说明理由.
二．平行线中的动点问题
在初一阶段，平行线的性质是重点内容，对于初一学生来说也是难点，平行线的性质与判定的灵活运用是现在考试中的热点，经常会设计类似下图的问题，如果学生能熟练掌握下图的规律，在以后的解决问题时就会起到事半功倍的效果，从而提升学生学习数学的兴趣。
如图AB∥CD，动点P所在的位置不同，∠PCD,∠PAB,∠APB三个角的关系就不同。
图1.∠PCD+∠PAB=∠APB（中间的角∠APB最大，两小的和等于最大角）
图2.∠PAB=∠APB+∠PCD（点P在最上边，上面的两个角的和等于最下面的角）
图3.∠PCD=∠PAB+∠APB（点P在最下边，下面的两个角的和等于最上面的角）
例3.（安阳期末）
（1）已知AB∥CD，那么图1中∠PAB,∠APC,∠PCD之间有什么数量关系？
并说明理由。
（2）已知∠BAC=80°，点D是线段AC上一点，CE∥BD，∠ABD和∠ACE的平分线交于点F，请利用
（1）的结论求出图2中∠F的度数。
解析：
（1）过点P作PE∥AB，
因为AB∥CD，所以PE∥CD
所以∠EPC=∠C，∠EPA=∠A
因为∠EPC=∠EPA+∠APC
所以∠C=∠A+∠APC
小结：
这道题的规律是点P为两平行线外一点，三个角的大小关系是：
两个较小角的和等于较大的角。
题中要求利用第一问的结论，求∠F。
所以我们首先研究
（1）的结论与
（2）的图形有什么关系，能否把
（2）的图形转化为与
（1）的图形一样。
如图4延长BD，过F作BD的平行线，这样就能看到点A和P在两平行线外侧，
∠A=∠ACE-∠ABC=80°；
∠BCF=∠FCE-∠FBC=
小结：
这道题目实际上是例1图3的应用。
掌握住上面的规律来解题能起到事半功倍的效果。
三．动点在截线上运动
例2：
已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．
（1）如图①，当∠A=25°，∠APC=70°时，求∠C的度数；
（2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有什么确定的相等关系？
试证明你的结论；
（3）如图③，当点P在线段FE的延长线上运动时，
（2）中的结论还成立吗？
如果成立，说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的相等关系并证明．
解析：
（1）对于图①,过点P作AB的平行线，然后根据平行线的性质可以证得：
∠APC=∠A+∠C。
从而求得∠C的度数。
点P在线段EF上运动时（注意：
关键词是线段），∠A、∠APC与∠C之间的关系就是：
∠APC=∠A+∠C。
证明方法参考
（1）.
当点P在FE延长线上运动时，过点P作AB的平行线，根据平行线的性质可以证得
∠C=∠A+∠APC
例4.如图，已知AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E．∠ADC=70°.
（1）求∠EDC的度数；
（2）若∠ABC=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；
（3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．
分析：
（1）根据角平分线的性质结合∠ADC=70°即可求得结果；
（2）过点E作EF∥AB，即可得到AB∥CD∥EF，从而可得∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，再根据角平分线的性质可得∠ABE=
∠ABC=
n°，∠CDE=
∠ADC=35°，即可求得结果；
（3）过点E作EF∥AB，根据角平分线的性质可得∠ABE=
∠ABC=
n°，∠CDE=
∠ADC=35°，再根据平行线的性质可得∠BEF的度数，从而求得结果.
解：
（1）∵DE平分∠ADC，∠ADC=70°，
∴∠EDC=
∠ADC=
×70°=35°；
（2）过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=70°，
∴∠ABE=
∠ABC=
n°，∠CDE=
∠ADC=35°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=
n°+35°；
（3）过点E作EF∥AB
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=70°
∴∠ABE=
∠ABC=
n°，∠CDE=
∠ADC=35°
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-
n°，∠CDE=∠DEF=35°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°-
n°+35°=215°-
n°.
点评：
本题知识点较多，综合性强，难度较大，是中考常见题，正确作出辅助线是解题关键.
练习：
1.已知直线l1∥l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P是直线AB上的一个动点．
（1）、如图，点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系？
并说出理由.
（2）、如果点P在A、B两点外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间关系（点P和A、B不重合）（直接写出结论）
四、综合运用，提升能力
例2.如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足
。
（1）则C点的坐标为__________;A点的坐标为__________．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（1,2），设运动时间为t（t＞0）秒．问：
是否存在这样的t，使
若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC=∠FCO,点G是第二象限中一点，连OG,使得∠AOG=∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，
的值是否会发生变化,若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
解析：
根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数都等于0.
所以，a-2b=0,b-2=0；可得b=2;a=4
答：
A（0,4）;C（2,0）
（2）首先得出OP=2-t，QO=2t，D（1，2），再表示出△DOP和△DOQ的面积，进而得出等式求出答案．
由题意可得：
OP=2-t，QO=2t，D（1，2），
则S△DOP=1212OP•yD=1212（2-t）×2=2-t，
S△DOQ=1212OQ•xD=1212×2t×1=t，
∵S△ODP=S△ODQ，∴2-t=t，
∴解得：
t=1，
∵∠2+∠3=90°，
又∵∠1=∠2，∠3=∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO=180°，
∴OG∥AC，
∴∠1=∠CAO，
∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4=∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，
∴∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，
=2．
点评 本题考查三角形综合题、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
练习：
已知：
在如图①至图③中，△ABC的面积为a，解答下面各题：
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=_________（用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=_________（用含a的代数式表示）；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB；连接FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，求S3的大小（用含a的代数式表示）；
（4）像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的多少倍？
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