推理与证明复数算法回归教材纠错例题解析数学.docx
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推理与证明复数算法回归教材纠错例题解析数学
推理与证明、复数、算法
1.归纳推理和类比推理
共同点：
两种推理的结论都有待于证明.
不同点：
归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理.
1*
［问题1］⑴若数列｛an｝的通项公式为an=n+〔2（n€N），记f（n）=（1-ai）（1-a2）…（1-an）,试通过计算f
（1）,f
（2）,f（3）的值，推测出f（n）=.
a1—I—a2-1-•••—I—an
⑵若数列｛an｝是等差数列，bn=n，则数列｛bn｝也为等差数列.类比这一性质可
知，若正项数列｛Cn｝是等比数列，｛dn｝也是等比数列，则dn的表达式应为（）
C1+C2+…+Cn
A.dn=
n
C1C2…Cn
B.dn=
n
C.dn=%&+c2+・・・+Cn
nI2答案
（1）；nl2
（2）D
2n+2
2•证明方法：
综合法由因导果，分析法执果索因•反证法是常用的间接证明方法，利用反证
法证明问题时一定要理解结论的含义，正确进行反设.
［问题2］用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设
答案三角形三个内角都大于60°
3.复数的概念
对于复数a+bi（a,b€R）,a叫做实部，b叫做虚部；当且仅当b=0时，复数a+bi（a,b€R）是实数a;当0时，复数a+bi叫做虚数；当a=0且b丰0时，复数a+bi叫做纯虚数.
［问题3］若复数z=lg（m2—m—2）+ilg（m2+3m+3）为实数，则实数m的值为.
答案—2
4.复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结
论应记熟：
1Ii1—i
（1）（1i±=切;
（2）二=i；—;=—i；（3）i4n=1；i4n+1=i；i4n+2=—1；i4n+3=—i；i4n+i4n+1
1—i1+i
+i4n*2+i4n*3=0；（4）设3=—2，贝yW0=1；W2=W；W3=1；1+w+W2=0.
［问题4］
1—；3i
已知复数z=厂耳,z是z的共轭复数，则丨Z|=.
\3+i
答案1
5.
（1）循环结构中几个常用变量：
1计数变量：
用来记录某个事件发生的次数，如i=i+1.
2累加变量：
用来计算数据之和，如s=s+i.
3累乘变量：
用来计算数据之积，如p=pxi.
（2）处理循环结构的框图问题，关键是理解认清终止循环结构的条件及循环次数.
［问题5］执行如图的程序框图，输出S的值为.
答案2
1111
解析由算法知，记第k次计算结果为Sk，则有S1="=—1,S2=—=~,S3=-
1—21——12丄
因此｛Sk｝是周期数列，周期为3，输出结果为S2016=S3=2.
易错点1复数概念不清
72
例1设复数Z1=1—i,72=a+2i，若Z2的虚部是实部的2倍，则实数a的值为（）
A.6B.—6C.2D2
易错分析本题易出现的问题有两个方面，一是混淆复数的实部和虚部；二是计算空时，错
Z1
用运算法则导致失误.
Z2=a+2i=a+2i1+i=a—2+2+aiZ1=1—i=1—i1+i=2
由题意，知号=2X号.
解得a=6•故选A.
答案A
易错点2循环结束条件判断不准
例2如图所示是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S=720,则在判断框中应填入关
于k的判断条件是（）
A.k>6?
B.k>7?
C.k>8?
D.k>9?
易错分析本题可以按照开始的输入值、程序执行的规律和输出结果进行综合解决.容易出
错的就是不清楚这个判断条件是什么，本题是当不满足判断框中的条件时结束循环，当判断框中的条件满足时执行循环，故应该从k=10开始按照递减的方式逐步进行，直到S的输出
结果为720.
解析第一次运行结果为S=10,k=9,第二次运行结果为S=10X9=90,k=8;第三次运
行结果为S=720,k=7•这个程序满足判断框的条件时执行循环，故判断条件是k>8?
.故选
C.
答案C
易错点3类比不当
例3已知圆的面积S（R）=泯2,显然s'（R）=2nR表示的是圆的周长：
C=2nR.把该结论类
比到空间，写出球中的类似结论：
.
易错分析该题易出现的问题是从平面圆类比到空间球的结论时缺乏对应特点的分析，误以为是球的表面积的导数问题，而无法得到正确的结论.
解析平面图形的面积应该和空间几何体的体积问题类比；平面图形的周长应和空间几何体
44
的表面积类比.所以半径为R的球的体积为V（R）=3n3,其导函数V（R）=3X3nR2=4tR2,
显然表示的是球的表面积.
所以结论是：
半径为R的球的体积为V（R）=4tR3,其导函数表示的是球的表面积：
S=4tR2.
4
答案半径为R的球的体积为v（r）=qnR3，其导函数表示的是球的表面积：
s=4伙2
3
易错点4循环次数把握不准
例4执行下边的程序框图，若p=0.8，则输出的n=.
易错分析容易陷入循环运算的“黑洞”，出现运算次数的偏差而致错.解析顺着框图箭头的走向列举出有关的输出数据，有
11113317cc*
S：
0+厂2，2+4,3+8=0.875.
n:
2,3,4.
“0.875<0.8”判断为“否”，输出n=4.
答案4
B.第二象限
D.第四象限
A•第一象限
C.第三象限答案B
解析严=12i1
1—i1—i1+i
•••对应点在第二象限.
1—i
2.用反证法证明命题：
“若a,b,c,d€R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1，则a,b,c,
d中至少有一个负数”的假设为（）
A.a,b,c,d中至少有一个正数
B.a,b,c,d全都为正数
C.a,b,c,d全都为非负数
D.a,b,c,d中至多有一个负数
答案C
解析用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而“a,b,c,d中至少有一个负数”
的否定是“a,b,c,d全都为非负数”，故C正确.
3.观察下列各式：
1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…，可以得出的一般结论是（）
2
A.n+（n+1）+（n+2）+•••+（3n—2）=n
B.n+（n+1）+（n+2）+…+（3n—2）=（2n—1）2
C.n+（n+1）+（n+2）+•••+（3n—1）=n2
D.n+（n+1）+（n+2）+…+（3n—1）=（2n—1）2
答案B
解析1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…，由上述式子可
以归纳：
等式左边为连续自然数的和，有2n—1项，且第一项为n,则最后一项为3n—2,等
式右边均为2n—1的平方.
1+i1—i
4.设f（n）=n+n（n€N*），则集合｛f（n）｝中元素的个数为（）
1—i1十I
A.1B.2C.3D.无数个
答案C
解析f（n）=n十1in=in+（—i）n,
1—i1+i
f
（1）=0,f
（2）=—2,f（3）=0,f（4）=2,f（5）=0,…
•集合中共有3个元素.
2S
5.设三角形ABC的三边长分别为a、b、c,面积为S,内切圆半径为r，贝Ur=；类
a+b+c
比这个结论可知：
若四面体S—ABC的四个面的面积分别为S、S2、S3、S4，内切球的半径为
r，四面体S—ABC的体积为V，则r等于（）
A
'Sl+S2+S3+S4
亠3V-4V
C.D-
Si+S2+S3+S4S+S2+S3+S4
答案C
1
解析设四面体的内切球的球心为0,则V=Vo—abc+Vo—sab+Vo—sac+Vo—sbc，即V=^Sir
111”3V
+3S2r+3S5r+3S4r，所以「=S1+S2+S3+S4.
5n1_
6.定义某种运算S=a?
b,运算原理如图所示，则式子[（2tan壬）？
Ine]—[lg100?
（3）_1]的值是
（）
A.—3B.—4
C.—8D.0
答案D
所以2tanjn?
lne=2?
1=4,
1―
lg100?
（3）1=2?
3=4,
1112131415
解析前n—1行共用了[1+n—J]n—1个数，即1个数，也就是说第n—1行的最后
8.若复数Z1=4+29i,z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数⑵一Z2）i的实部为.
答案—20
解析（乙一Z2）i=（—2+20i）i=—20—2i,
故（Z1—z2）i的实部为一20.
9.在平面上有如下命题“0为直线AB外的一点，则点P在直线AB上的充要条件是：
存在
实数x,y,满足OP=xOA+yOB，且x+y=1”，类比此命题，给出在空间相应的一个正确命题是.
答案O为平面ABC外一点，则点P在平面ABC上的充要条件是：
存在实数x,y,乙满足
—>—>—>
OA+yOB+zOC,且
10.某程序框图如图所示，现将输出的（x,y）值依次记为：
（X1,y1）,（x2,y2），…，（xn,yn）,…,
若程序运行中输出的一个数组是（x,—10），则数组中的x=.
答案32
解析运行第一次，输出（1,0）,n=3,x=2,y=—2;
运行第二次，输出（2,—2）,n=5,x=4,y=—4;
运行第三次，输出（4,-4）,n=7,x=8,y=-6;
运行第四次，输出（8,-6）,n=9,x=16,y=-8;
运行第五次，输出
（16,-8）,n=11,x=32,y=-10;
运行第六次，输出（32，-10）．
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