大一上学期同济版高数第五章定积分.docx
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大一上学期同济版高数第五章定积分
第二十六讲
"今
-元函数积分学｛蔦挈
第_节
第五章
定积今的概念及住质
一、定积分问题举例
二.定积分的定义
三、定积分的性质
一、定积分问题举例
矩形面积=ah
梯形面积=—（6J+b）
1.曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线尹=/（刃（/（X）＞0）及X轴，以及两直线x=a,x=b所围成，求其面积A.
a
h
a
h
y=/U）
A=?
IT
解决步骤：
1）大化小.在区间[a,h]中任意插入n1个分点
<7=Xq用直线*="将曲边梯形分成《个小曲边梯形；
2）常代变.在第Z个窄曲边梯形上任取Ge[“_],兀]y]V=f（ry
—41N_:
_」」一.
JG“Xy_|%,•hX◎
3）近似和.
nn
q=工/\4产工//=1/=1
4）取极限•令z=maK{Ax}则曲边梯形面积
n
A=limVAA；
—（）台
/]
=Hm£/（多）MK）/.]
2.变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，已知速度v=v（/）eQ71，72J.且v（r）＞0,求在运动时间内物体所经过的路程
解决步骤：
1）大化小.在囚昇川中任意插入W-1个分点'将它分成n个小段比_1，巧］0=1,2,…川）,在每个小段上物体经过的路程为A5,（f=l,2,•••,«）
2）常代变.任取刍e［心_］/b以卩©）代替变速，得
△刁=+（£）*•（AZ.=/,-r,,,,=1•2•…M）
7
3）近似和.
n
$◎工V（备）AZj
（2=maxA/,）
n
4）取极限・S=limVV苗,）A“八0匸］・
上述两个问题的共性：
•所要计算的量（面积、路程）决定于一个函数以及自变量的一个变化区间：
（［a*］［厂1兀］）・
•解决问题的方法步骤相同：
‘‘大化小,常代变,近似和•取极限"
•所求量极限结构式相同：
特殊乘积和式的极限
定积分仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关,即
｛分a）dr=pf（"）dH
JaJaJa
根据定积分的定义
曲边梯形的面积等于曲边的纵坐标.f（x）在其底边所占的区间S上］上的定积分，即
A=『/（兀）dx
变速直线运动的物体所走过的路程等于速度函数v（Z）在区间厉,7^］上的定积分，即
S=『叩）力
注：
定积分是一种和式的极限，是一个数值。
不定积分表示全体原函数。
11
定积分的几何意义；
/（x）>0,f（x）dx=A曲边扌弟形面积
Ja
f（x）<0,f（X）dx--A曲边梯形面积的负值
Ja
y
Jbf（Qdx=-生+人3-Aj+As
各部分面积的代数和
可积的充分条件：
定理1•函数/（X）在［口0］上连续=/（x）在|6方I可积.
定理2・函数/3）在|%|上有界，且只有有限个间斷点=>/（X）在|a,b|可积.（证明略）
例1・利用定义计算定积分£*2&解：
将［0,11ZZ等分,分点为£=和0=0,1,…/）
取£=£馅W0=12…,）
贝U/（即心产殆*
n'
H1"c1I
孕©）0〉當〒・6“（心）（2小）
=lim一（1+一）（2+—）
（5nn
例2•用定积分表示下列极限：
八、1匕Si/C、1・1"+2"/
（1）lim工J+
（2）Inn
«—8«^二］\n«->8n'
1/i!
In
Mi
解：
（1）lim—工1—=lim£\1+—冷-J«->oo打j=[\'n二J\1nn
=r\1+XdvJo
区间不同弓取值不同
打1"十2"+…+兄
（2）lim
M—>CO
15
（设所列定积分都存在）
三、定积分的性质
1JV（x）dx=-J^/（x）dx
当a>h时，和式极限的分点、的大小顺序是：
C/=X（,>X|>••->兀—］>兀］=/?
从而Ar；=%,■-X,-.,<0j=l,2,…〃
即Ar,的绝对值等于小区间的长度，但符号是负的。
若对调积分的上下限，把乃作为下限，把a作为上限。
则分点的顺序要反过来计算。
公式右边中的A1；.>0
与公式左边中的△y，相差一个符合。
，Aa=hJ^/（x）d.r=0
•/a=hnAr,=0/=1,2,…《fb
2.Idx=h-a
Ja
3.J^/c/（x）dx=^J^/（x）dx（k为常数）
4.Jj/（x）土g（x）}dx=JV（.v）d.v±^^^g（x）dx
n
证；左端=lim£|/（,）士&©）]△"
2-叫]
nn
=±[im=右端
八°匸1八°匸1,7
cbccLb
5.J/（x）dx=f/（x）dx+/（x）dx
JaJaJc
证：
当G因/（x）在[a0|上可积，
所以在分割区间时，可以永远取C为分点，于是工/（,）»=工/（<）»+工于（,）△勺
[ajy][
令zItO
rbrcrb
ff（x）dx=\/（x）dx+Jf（x）dx
JaJaJc
当Ci,h,c的相对位置任意时，例如aGh
Qc°fbpc
f/（x）cb;=J/（x）dA+Jf（x}（ixJaJaJh
・•・f"/（x）dx=j7'O）dx-r/（x）d.vJaJaJb
=P/V）心+f：
f（x）tk
JaJc
IQ
6・若在\a,/?
］上y（x）>0,则［^/{x^dx>（）.
Ja
n
证：
V工/（即X"
/=|
chn"
二J/（x）dA：
=limVfe）AXj二0
Jg几tO行
推论1・若在［s切上/（x）j7（x）dxnnjt
例如：
比较J^2sin.vr/.v,jfsin'xtZv
的大小。
解：
在文w0,^
sin^Axn
fsin^xdx<
Jo
TTn
21
/（x）d.v<{J/U）d.r
sin?
xdx<[2sinxdx
第二十六讲
"今
-元函数积分学｛蔦挈
第_节
第五章
定积今的概念及住质
一、定积分问题举例
二.定积分的定义
三、定积分的性质
一、定积分问题举例
矩形面积=ah
梯形面积=—（6J+b）
1.曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线尹=/（刃（/（X）＞0）及X轴，以及两直线x=a,x=b所围成，求其面积A.
a
h
a
h
y=/U）
A=?
IT
解决步骤：
1）大化小.在区间[a,h]中任意插入n1个分点
<7=Xq用直线*="将曲边梯形分成《个小曲边梯形；
2）常代变.在第Z个窄曲边梯形上任取Ge[“_],兀]y]V=f（ry
—41N_:
_」」一.
JG“Xy_|%,•hX◎
3）近似和.
nn
q=工/\4产工//=1/=1
4）取极限•令z=maK{Ax}则曲边梯形面积
n
A=limVAA；
—（）台
/]
=Hm£/（多）MK）/.]
2.变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，已知速度v=v（/）eQ71，72J.且v（r）＞0,求在运动时间内物体所经过的路程
解决步骤：
1）大化小.在囚昇川中任意插入W-1个分点'将它分成n个小段比_1，巧］0=1,2,…川）,在每个小段上物体经过的路程为A5,（f=l,2,•••,«）
2）常代变.任取刍e［心_］/b以卩©）代替变速，得
△刁=+（£）*•（AZ.=/,-r,,,,=1•2•…M）
7
3）近似和.
n
$◎工V（备）AZj
（2=maxA/,）
n
4）取极限・S=limVV苗,）A“八0匸］・
上述两个问题的共性：
•所要计算的量（面积、路程）决定于一个函数以及自变量的一个变化区间：
（［a*］［厂1兀］）・
•解决问题的方法步骤相同：
‘‘大化小,常代变,近似和•取极限"
•所求量极限结构式相同：
特殊乘积和式的极限
定积分仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关,即
｛分a）dr=pf（"）dH
JaJaJa
根据定积分的定义
曲边梯形的面积等于曲边的纵坐标.f（x）在其底边所占的区间S上］上的定积分，即
A=『/（兀）dx
变速直线运动的物体所走过的路程等于速度函数v（Z）在区间厉,7^］上的定积分，即
S=『叩）力
注：
定积分是一种和式的极限，是一个数值。
不定积分表示全体原函数。
11
定积分的几何意义；
/（x）>0,f（x）dx=A曲边扌弟形面积
Ja
f（x）<0,f（X）dx--A曲边梯形面积的负值
Ja
y
Jbf（Qdx=-生+人3-Aj+As
各部分面积的代数和
可积的充分条件：
定理1•函数/（X）在［口0］上连续=/（x）在|6方I可积.
定理2・函数/3）在|%|上有界，且只有有限个间斷点=>/（X）在|a,b|可积.（证明略）
例1・利用定义计算定积分£*2&解：
将［0,11ZZ等分,分点为£=和0=0,1,…/）
取£=£馅W0=12…,）
贝U/（即心产殆*
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孕©）0〉當〒・6“（心）（2小）
=lim一（1+一）（2+—）
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