九年级春季班第12讲梯形的存在性问题学生版张于.docx
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九年级春季班第12讲梯形的存在性问题学生版张于
梯形是相对限制较少的一类四边形，要使得一个四边形是梯形，只需要有其中一组对边平行，另一组对边不平行即可。
所以，在此类问题中，要么对点有较高的限制（在某一直线上），要么对梯形形状有较高要求（等腰或直角）。
综合利用各个条件，才能求出最后的结果．
1、知识内容：
梯形的限制较少，所以可能出现的情况就会有很多，在处理时需要想清所有可能情况，再进行讨论处理。
有一种比较常见的情况是：
若已知三点ABC，另一点M在某固定直线上，形成的四边形ABCM为梯形，则会有两种情况：
①AM//BC；②CM//AB，如图所示。
2、解题思路：
（1）根据题目条件，求出已知3个点的坐标；
（2）分情况进行讨论；
（3）对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程；
（4）根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标；
（5）根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．
注：
若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等．
【例1】在平面直角坐标系中，已知抛物线
与x轴交于点A（
，0）和点B，与y轴交于点C（0，
）．
（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；
（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，
求点F的坐标；
（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t>3，如果
和
的面积相
等，求t的值．
【例2】在平面直角坐标系中，抛物线
过A（－1，0）、B（3，0）、C（2，3）三点，与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴；
（2）分别联结AD、DC、CB，直线y=4x＋m与线段DC交于点E，当此直线将四边
形ABCD的面积平分时，求m的值；
（3）设点F为该抛物线对称轴上一点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，
请直接写出所有满足条件的点F的坐标．
1、知识内容：
特殊梯形主要分成等腰梯形和直角梯形两种．对于这两种情况，只需在之前平行的基础上，增加考虑直角或腰相等的条件．
2、解题思路：
直角梯形：
（1）根据题目条件，求出已知3个点的坐标；
（2）寻找已有的直角，进而判断可能的平行直线；
（3）对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程；
（4）根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标；
（5）根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．
等腰梯形：
（1）根据题目条件，求出已知3个点的坐标；
（2）分情况讨论；
（3）对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程；
（4）根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标；
（5）验证所有形成的梯形是否等腰，并作答．
【例3】如图，二次函数
的图像与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且
．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标；
（3）在
（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得以P、A、D、O为顶点的四边
形是直角梯形，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【例4】如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在
轴和
轴的正半轴上，OM=6，ON=3，反比例函数
的图像与PN交于C，与PM交于D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．
（1）求证：
AB//CD；
（2）在直角坐标平面内是否若存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是
等腰梯形？
若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【例5】在平面直角坐标系xOy中，二次函数
的图像与y轴交于点A，与双曲线
有一个公共点B，它的横坐标为4．过点B作直线l//x轴，与该二次函数图像交于另一点C，直线AC的截距是
．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求直线AC的表达式；
（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形，如果存在，求出点D的坐标，如果不存在，说明理由．
随堂检测
【习题1】如图，已知A、B是双曲线
上的两个点，A、B的横坐标分别为2和－1，BC⊥x轴，垂足为C．在双曲线上是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形？
如果存在，求点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
【习题2】如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A（－1,0）和点B（3,0），D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C（5,6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在x轴上，且
和
相似，求点E的坐标；
A
B
C
D
O
x
y
（3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．
课后作业
【作业1】已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
x
y
O
P
A
B
（2）如图1，在直线y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？
若存在，
求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【作业2】如图，已知二次函数
的图像经过点B（1,2），与x轴的另一个交点为A，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，过点B作直线BM⊥x轴垂足为点M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线BM上有点
，联结CP和CA，判断直线CP与直线CA的位置关系，
并说明理由；
（3）在
（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边
形为直角梯形，若存在，求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
A
B
O
P
M
x
y
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