电磁学第四章恒定电流和电路.docx
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电磁学第四章恒定电流和电路
电磁学第四章恒定电流和电路
前三章讨论了静电场，场源电荷相对于观察者是静止不动的。
从本章起讨论电荷运动时引起的有关现象。
若电荷作有规则的定向运动就会形成电流，要维持电流的存在，必须要有相应的电场，所以本章
主要讨论恒定电流和电场，并引入许多重要的物理概念。
§4.1恒定电流
一、电流、电流强度、电流密度
导体放在静电场中时，导体中的自由电子在外电场作用下发生定向运动，当导体内部场强为零时，定向运动停止。
若能使内部场强不为零，定向运动就会持续下去，这时，在导体中就有电流产生。
1、电流
（1）定义：
带电粒子（在外电场作用下）作宏观的定向运动便形成电流（叫做电流）
本章只讨论：
导体内部的电流。
（2）载流子：
导体中的能在电场力作用下发生定向运动的带电粒子叫做该导体的载流子，它们是形成电流的内在因素。
不同性质的导体有不同的载流子：
金属导体的载流子是自由电子，
酸、碱、盐的水溶液中的载流子：
是正负离子等。
（3）电流的方向
正电荷运动的方向为电流的方向。
结论:
A:
导体中电流的方向总是沿着电场方向，从高电势处指向低电
势处；
B:
导体中的载流子为负电荷（自由电子），此时可以把电流等效为等量的正电荷沿负电荷的反方向运动形成。
2、电流强度描述，电流的大小
（1）定义：
单位时间内通过导体任一横截面的电荷量，叫做该截面的电流强度。
（这里的截面可以推广到任意曲面）
Aq
表示为：
I二limt>0-
△t
（2）电流强度I是反映导体中某一截面整体特征的标量。
IAq
就某S面：
1=三：
平均地反映了s面的电流特征。
3、电流密度J
（1）定义：
导体中每一点的J的方向是该点正电荷运动方向（电场方向），J的大小等于过该点并与电流方向（正电荷运动方向）垂直的单位面积上的电流强度，写为：
（2）
J与I有不同：
I是一个标量，描写导体中的一个面;
J是矢量点函数，描写导体中的一个点。
（3）
J与I的普遍关系
dS_
只反映了J与I的特殊关系（要求面元与J垂直），下面推
导J与I的一般关系
n
J
在导体中某点处取一任意面元dS（dS与J并非垂直），面元dS的法线方向n?
与该点的J夹角为二，则dS在与J垂直的平面上的投影为：
dS〕二dScos^
而dl二JdS=JdScos^（标量）
二Jr?
d^=JdS（二矢量点乘仍为标量）
所以通过导体中任意曲面S的电流强度I与J的关系为：
I二JdS
S
此式说明：
一曲面上的I是J对该曲面的通量（J通量）。
（4）J是矢量，J在空间的分布形成J场电流场。
由J的定义，导体中各点J有确定的数值和方向，即使在导体的外部（真空），J=0，也有确定的值，可见J在整个空间具有确定的分布，这样就构成一个矢量场，称之为电流场（J场）
为了研究J场的性质，仿照前面讨论电场E的方法，讨论矢量J对任一闭合曲面的通量。
二、连续性方程
dS2
；
在J场中（导体中）任选一闭合曲面S,由通量的定义知：
J对曲
面s的通量就是由面内向外流出的电流强度（由内向外是n?
方向），也
等于单位时间内由面内向外流出的电荷量（正电荷）。
而根据电荷守恒定律：
单位时间内从面内流出的电荷量应等于面内电荷量的减少。
如果S内电量为q（正电荷），则单位时间内的减少为-兽。
因此:
JdS
dSn
dt
JdS二JdSJdS
SdSdS,
“1T2ITn
=流出的I
=单位时间内由面内向外流出的电荷量
=单位时间内面内电荷量的减少
=一z?
（减小率）
dt
此式称为连续性方程，它实际上是电荷守恒定律的一种数学表述。
三、恒定电流和电场
1、恒定电流：
空间各点J都不随时间而变化的电流叫做恒定电流。
2、维持恒定电流的条件：
要维持电流，则导体内的电场E内=0，而导体内的电场是由导体各处分布着的电荷激发的。
若产生电场E内的空间电荷分布（密度）随时间发生变化二它们激发的电场E内也随时间变化=导体内的电流密度J也随时间变化=不是恒定电流。
电流的恒定条件：
空间各点的电荷分布（密度）不随时间而变。
故对任意闭合曲面S有
[.J・dS二-0f恒定条件的数学表达式
sdt
此式的物量意义：
在恒定电流的情况下，从闭合面S某些部分流
进去的电流强度（J通量）必然等于该闭合曲面其他部分流出去电流强度。
注意：
乜=0并不是电荷不运动，只是对某一闭合面S而言，单位
dt
时间内流进S的电荷量q与流出的q相等，结果好象是q没随时间变化一样。
3、电流线（J线）
（1）规定：
电流线上每点的切线方向与该点的电流密度J的方向相同，通过场中任一曲面（非闭合面）的电流线条数等于该曲面的J通量（即该曲面的电流强度）。
即:
通过任一曲面S的J线条数=..J・ds=l
S
（2）J线的性质：
对恒定电流：
＞JdS=0
S
即:
J对闭合曲面S的通量为零，说明穿进S的J线条数必然等于穿出的J线条数，即J线不中断，无间断点。
故
性质：
恒定电流场中的J线是既无起点又无终点的连续闭合曲线。
这个性质叫做恒定电流的闭合性。
所以恒定电流流通的路径是一个闭合路径。
4、恒定电场
（1）定义：
分布不随时间变化的电荷所产生的电场；或与恒定电流相伴的电场。
（2）特点（恒定电场与静电场的共同点）：
£=°，空间各点E
dt
不随时间变化，因此恒定电场也视为静电场；但和前面讲的静电场有所不同（不同点）：
前面的静电场，产生电场的电荷是静止不动的，这里产生恒定电场的电荷是运动的，只是电荷分布（密度）不随时间而变。
既然恒定电场也视为静电场，所以在恒定电场中，高斯定理和环路定理也完全适用。
例：
P167习题4、1、1J二J?
解:
J通量为:
dI二JdS二Ji?
dSl?
-Ji?
rR2si^1d1d
=J?
sinTcos®i?
+sin日sin®?
+cos日k?
R2si
1丿
=JR2sin2ncosd^d
（2）在x>0的半球面上（用yoz面来分割球面成x>0的半球面和x<0的半球面）
—31
2兀2—2
11udl=JRsin二小2cosd=J「R
Sio
2
同理，在xw0的半球面上：
31
Isdl二JR2。
sin~d「「2cosd二-JR2
22
liI2=dldl=JdSJdS
S$Sis2
（恒定电流场）
JdS=0
§4.2直流电路
一、电路
1、电路：
电流流通的路径叫电路。
通常的电路往往由若干分支组成，每个分支叫做一条支路。
若一电路只由一条支路组成，称为无分支电路，它是最简单的电路，也称全电路。
2、节点：
支路与支路之间有联结点，三条或三条以上支路的联结点叫做节点（或结点）。
二、直流电路
1、直流电路一一载有恒定电流的电路，也称为恒定电流电路。
恒定电流时，各点的电流密度J不随时间而变，而l=…J9S，
S
所以直流电路中任一截面的电流强度也不随时间变化。
2、直流电路的性质（实际是恒定电流条件的推论）
（1）直流电路中同一支路的各个截面有相同的电流强度I
S
S2
证明：
如图，选一闭合曲面S包含同一支路的任两个截面S2。
（闭合曲面S与支路相截的部分为S1>S2，S1>S2为支路中任意选取的两个截面）应用恒定条件于S有：
「JdS=JdSJdSJdS=0
SSiS2其它
而导体（导线）置于真空中（空气中），J=0=..JdS=0，
其它
J方向：
从左>右
n方向：
从里>外
二+I1—I2=0I1=I2
若支路形状为：
IlJdS-
Si
Ii
3面的电流强度
■I2
S2面的电流强度
*
h—*J
11JdS=-1[
仍有：
Il=I2
51
11JdS二12
52
（2）流进直流电路任一节点的电流强度等于从该节点流出的电流
强度。
如图：
节点A由5条支路组成，由恒定条件:
jdSJ2dS111J5dSJdS=0
S1S285其它
而!
!
JdS二0
其它
二+I1+I2+（—I3）+I4+（—I5）=0
11+I2+I4=I3+I5
即流出=流进
（3）这个结论称为基尔霍夫第一方程组，它是恒定条件的必然推论，也是电荷守恒定律的必然结果。
§4.3欧姆定律和焦耳定律
、欧姆定律电阻
电阻I二R,R值反映导体对电流的阻碍程度，称为导体的电阻。
二、电阻率
ldl
R或R=■—（与材料、形状、长短、粗细、温度有关）
SS
'与导体的材料及温度有关，称为导体的电阻率。
1
对纯金属：
—?
01:
t.称电导率
三、欧姆定律的微分形式（经典金属电子论）P127
（金属导电、欧姆定律和焦耳定律的经典微观解释）
金属中有很多自由电子：
结构组成为自由电子+原子实
1、当金属内E内二0时，自由电子作无规则热运动一一形成电子气，热运动平均速度V=105（米/秒）（由统计力学）。
自由电子热运动过程中不断与金属骨架（原子实）碰撞，故自由电子的运动轨迹为折线。
2、当E内=0时，电子气除热运动V夕卜，还有定向运动u形成电流，但uv。
（1）考虑电子在两次碰撞之间的运动时
E内二0时，匀速运动；
E内=0时，初速为0的匀加速直线运动
加速度:
a"
初速：
uo=0（定向速率）
末速：
Uf
-f为两次碰撞之间的平均时间eE-I
=a
f4，「为平均自由程
V
平均速度:
0uf
-eEl
系。
2mv
f定向运动平均速度与场强E的关
（2）考虑与J垂直的面元S上的J的表示
“U*
在金属内部与J垂直的方向上取一面元S。
以厶s为底，U为高
取一柱体。
单位时间内要通过S面而形成电流的电子数应为柱体体积
（US）内的电子数：
心q
S上的电流强度：
dlnu「Se
n为单位体积内的电子数
dl-
S上一点的电流密度：
J_S-nue
（大小）
写成矢量:
速度方向相反）
-2.-
•.jBe
2mv
是电导率
J=「neu（方向：
电流密度方向与电子定向运动的
二E
金属中同一点是一个正常数，不同金属不同，同一
E下有不同的J
3、讨论
（1）J=E（J与E方向相同，大小成正比）称为欧姆定律的微分形式：
反映了导体中的J与引起J的外因E和内因之间的关系；
1
对比I=rU（称为欧姆定律的积分形式）：
反映了导体中的I与
1
引起I的外因U和内因R的关系。
1
（2）J二E与I二一U等价，并可互相推导：
P129
R
选一圆柱形导体AB，其中各点的J都与轴线平行，在轴线上选线元dl:
J二E两边点乘上dl得:
Jdl=E卄亠Edl
沿AB作线积分（沿轴线）得:
BJdl
Jdl
V
A
p
IdlS
左边:
BJdl
A
B：
?
Idl同一支路上各截面有相同的i
AS‘
B"
1A§dl"RAB
右边:
B
AEdl二Uab
UAB
故UIRI
故ABAB
RAB
（3）用经典金属电子论解释了欧姆定律
四、焦耳定律
1、焦耳定律的内容
导体通过电流时要放出热量，且有Q=l2Rt（焦耳定律）
2、电功率：
电路的作用之一是（借助电流）把电源的能量传输给
U2
用电器。
用电器在单位时间内吸收的电能叫做它所吸收的电功率
3、额定功率：
般用电器上都标有额定电压和额定功率或标有电
P=IU=I
2R=
R
阻和额定功率：
“220V,40W”灯炮：
说明在220V下正常工作吸收电功率为40W
“3k"，5W”说明此3k「的电阻最大允许的电功率为
5W。
4、用经典的金属电子论可解释电流的热效应（焦耳定律）P130
金属中：
自由电子在电场力的作用下定向运动形成电流，此过程中电场力作功，使电子的定向运动动能增大。
同时自由电子又不断地与金属骨架（原子实）碰撞，碰撞时把定向运动的动能传递给了晶格，使晶格的热振动（绕平衡位置的振动）加剧，因而金属的温度升高（宏观表现）。
§4.4电源和电动势
、非静电力
1、恒定电流的条件：
SJVS二0说明了恒定电流的闭合性。
2、仅靠静电力不能维持恒定电流
如图，一闭合回路上的A、B两点，因电流线是闭合的，所以电
流由A-；B，再由B-A
B*
低电势端
只有静电力作用时
'At
B时：
VVB
A时：
VBVA
（因I由咼f低J二E）
上面出现了矛盾的结果。
即仅靠静电力不能维持恒定电流。
3、非静电力
使电流（正电荷）从低电势处流向高电势处，从而使电流线闭合。
这种力称为非静电力。
4、电源
（1）定义：
提供非静电力的装置称为电源。
或把其他形式的能量转化为电势能的一种装置，其它形式的能量包括化学能（化学电池）机械能（发动机），热能（热电偶），太阳能（硅（硒）太阳电池）等。
（2）电源的作用：
与水泵类似，水泵使水由低处流向高处；电源使正电荷由低电势处运动到高电势处。
（3）电源的正负极：
电势高的叫正极，低的叫负极。
B・
低电势端
A
高电势端
电源外，静电力推动正电荷由正极（高电势处）至顶极（低电势处）电源内，非静电力使正电荷（电流）从低电势（负极）处流向高电势处（正极）。
注意：
电源内部的电荷除了受非静电力的作用外，还受静电力的作用外，还受静电力的作用。
BA
-+
-F静―'+*■F非+
+
负极
正极
如图：
非静电力将B端（负极的）正电荷运向A端，从而使A端带正电而B端带负电，A、B两端的正、负电荷激发一个从A-B的静电场，从而电源内的正电荷还要受到由A—B的静电力F。
当
F=F非时，A、B两端的电荷不再增加，A、B之间的电势达到一稳定值。
二、电动势，一段含源电路的欧姆定律
1、J与E的关系
仅存在静电力时，J二E，静电力使正电荷运动，导体内的电流
由静电场E引起；
如果存在非静电力时（如电源内部）,J=（E•E非），电流由E、
E非共同引起。
J■■
将上式变换为：
EE非
注意：
E非仅在电源内部，而E却在整个电路存在，且不随时间变
化。
将上式从BfA沿电源内部进行线积分:
AJAA
B—d—bEdlbE非dl
AJ
B—
r—di
B
A1IA"
usd^fBsIdl
同一支路上各截面有相同的1>
IR
AB
Ir>
r为电源的内阻
A
BEdl二Uba
B
dlIr-Uba
IrUab
2、电动势
（1）定义：
A
=BE非dl为电源的电动势
它等于把单位正电荷从电源负极经电源内部移到正极时非静电力
所做的功
（2）说明
A、电动势是表征电源本身特性的物理量，它的大小只决定于电
源本身的性质，而与外电路无关。
；的大小反映了单位正电荷通过电
源时，电源能够将多少其他形式的能量转化为电能。
B、电动势是标量，；的方向从电源负极经电源内部指向正极。
C、单位：
伏特（与电压、电势单位相同）
D、电动势和电压的区别
电动势：
反映非静电力对单位正电荷作功的本领；
电压：
反映静电力对单位正电荷作功的本领。
3、合源电路的欧姆定律:
a顺序方向b
——
rI
由前知：
；
二UabIr或Uab二一Ir
此式即为一段合源电路的欧姆定律，UaB称为电源的端电压。
计
算端电压uab就是沿AfB计算电势降落：
选AfB为计算的顺序方向，沿此顺序方向；的电势降低，故取“+”号，而内阻r上的电势Ir升高，所以前取“―”号。
讨论：
（1）若外电路为电阻元件，且总电阻为R，则Uab=IR,
则上式写为：
=IRIr
IRr
此式称为全电路欧姆定律。
（2）若外电路有分支，且外电路中还有多个电源，则含源电路的欧姆定律写为：
Uab二UaUb八-'JR
符号法则：
选AfB的顺序方向：
电阻中电流方向与顺序方向相同，电势降落为+IR，相反为一IR;电动势指向（从电源负极经电源内电路到电源正极）与顺序方向相同，电势降落为-；,相反时为+；。
如下图结果为：
Uab
A3
R3
8riC&「2冷「3
=I1R1I1r1
-12r^_12R2"3一丨2「3
例1书上P135—136例题1
@只内2
D
C
注意一种特殊情况：
Uab=4V
在例1中，求得,,,c（伏），若I再增加，则Ucd等于
UcD=幻-心=0
负值。
这说明：
当电路中不止一个电源时，流过其中某一电源的电流可能与非静电力方向相反（从正极经电源内部到负极），称此状态（I
与；方向相反）为电源的充电状态，反之为放电状态。
此时非静电力作负功，电源的非静电能不减少反而增力，所以叫充电。
例2:
书上P136例题2:
八个全同电源顺接，每个电源端电压为
零，但回路中仍有电流（因为是含源电路）。
例3（补充）：
书上P170习题4、4、5
AI，—R1—,.aB8Rlc
A~~Il—|•1—1|■
u
R
求Uab,Uac,Ucb
解：
由全电路欧姆定律得：
"六订=2（安）方向如图
由含源电路欧姆定律：
uAB八1IRi八623=0（伏）
二TR-IR22=-24-2110=0（伏）
Uac…IR…24八8（伏）
=IR--2IR2=231-6-10八8（伏）
Ucb=2一収2=10一21=8（伏）
=IR1尺-43-6=8（伏）
三、电动势的测量一一单势差计
书上P136-137。
（利用I=0时，；二Uab来进行测量）
四、导线表面的电荷分布（自学）
书上P137-138。
五、直流电路的能量转换（自学）
书上P138-139。
§4.5基尔霍夫方程组
一、基尔霍夫第一方程组（第一定律）
（节点方程）
1、内容：
在任一节点处，流向节点的电流之和等于流出节点的电流之和。
对于一个有多个节点的复杂电路，利用基尔霍夫第一方程组可以写出一组方程，故称为基尔霍夫第一方程组，记作
n
-Ii=0
i勻
2、注意：
（1）符号规定：
当某支路电流的正方向指向节点时用“一”，
背离节点时用“+”（或相反）；而每一个Ii本身则仍为一可正可负的代数量。
求出电流后，I为正，说明其真实方向与选定正方向相同，I为
负则相反。
（2）对于有n个节点的复杂电路，只能列出（n—1）个独立的节
点方程
二、基尔霍夫第二方程组（第二定律）（回路方程）（环路定理的结
果）
1、内容：
任一闭合回路中，电势降落的代数和为0。
（实际上就是：
从一闭合回路的任一点A出发，绕回路一周又回
到出发点A，Uaa当然为0,即电势没有变化）
书141页图4-23中电流I?
、I3方向有误！
！
就复杂电路中的任一回路（包含电源、电阻），基尔霍夫第二方程
组写为：
（升）a-；八-IR（降）
2、说明：
探
（1）符号规则：
任意选定一个回路绕行方向。
对电源：
当绕行
方向从负极进入电源时，其电动势前写“+”号，否则写“一”号；对电阻：
当绕行方向与流过电阻的电流的正方向相同时，该电阻的IR
项前写“+”号，否则字“―”号。
（2）取闭合回路时，应注意回路的独立性。
具体规则是：
新选定的回路中，至少应有一段电路是在已选过的回路中所未曾出现过的。
（3）对有n个节点b条支路的复杂电路，其独立回路个数m=b
-（n-1）。
三、用基尔霍夫方程组解题举例
解题步骤：
1、任意规定各支路电流的正方向并选定各回路绕行方向（若电路中电流方向已标出，就不再另标了）；
2、选定支路数b,节点数n,独立回路数m=b-（n-1）;
3、根据符号法则列出（n—1）个节点方程，m个回路方程（检查节点、回路方程之和是否等于支路数）；
4、解方程组，根据解出结果Ii（或i）的正负，判断其实际方向。
例1书上P142—143例题1
|iA
Ri
|3
回路I
丿回路II
8T
解：
假设各支路电流正方向如图。
一个独立节点，两个独立回路:
2二I2R2I3R3
解得：
I1=1（安），I2=—0.5（安）13=0.5（安）说明：
丨1、13的实际方向与假设的正方向相同，12的实际方向与假设的正方向相反。
例2:
书上P143例题2自学
例3:
书上P143—144例题3自学
例4（补充）：
书上P171习题4.5.1
已知：
2=2（伏），R1=1.5（欧），R3=2（欧）
12=1（安），求电阻R2和电流h，打。
解：
各支路电流正方向如图，对节点B:
I2_I3_打=0①选图中I、II两个独立回路，绕行方向如图所示。
对于回路I:
.0.
1二I1R1-13R3②
对回路II:
2=12R213R3③
代入数据，联立求解上述三方程得：
11=4（安），I3=_3（安）,R2=4（欧）
结果说明：
I3的真实方向与选定方向相反。
此题与P142例1非常类似，只是例1中求的是3个电流，而这里把一个电流作为已知，把一个电阻作为未知，未知数的个数仍为3个。
用基氏方程不但能求电流，还可以求电阻，甚至求电源的电动势、端电压等。
例5（补充）：
电势差计的测量原理图：
电势差计用来测量未知电动势，测量原理是利用外电路电流I=0
时端电压与电源电动势相等的原理。
B-
I打
A-
Io打
K置于2端，由基氏方程组得：
对节点A:
I^II①
对回路ABCDA:
；x•lr•IRg-IR二0②
解：
I=举匚③
R+r+Rg
其中电阻R是可变的，调节R使检流计中无电流通过，即让1=0,I’=Io,则此时—loRx（端电压），若Io已知，则可求出；x。
而Io未知，故实验测量时，分两步（叫比较法）：
（1）把K置于2端，调节D头使检流计中1=0,这时电势差计达到平衡，R取Rx值。
、二IoRx④
（2）把K置于1端，调节D头使检流计中1=0，电势差计平衡，R取Rs值。
；s-I0Rs⑤
（3）回路A
升级会员 