学年七年级数学上册 第3章 一次方程与方程组 33 二元一次方程组及其解法教案 新版沪科版.docx

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学年七年级数学上册第3章一次方程与方程组33二元一次方程组及其解法教案新版沪科版

3.3　二元一次方程组及其解法

第1课时　二元一次方程组

教学目标

【知识与技能】

理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义,并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解.

【过程与方法】

经历认识二元一次方程和二元一次方程组的过程,感受类比的学习方法在数学学习过程中的作用.

【情感、态度与价值观】

学会用类比的方法迁移知识,体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性,感受学习数学的乐趣.

教学重难点

【重点】理解二元一次方程组的解的意义.

【难点】求二元一次方程的正整数解.

教学过程

一、创设情境,引入新课

古老的“鸡兔同笼”问题:

“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡、兔各几何?

”

教师描述:

这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题.它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣,这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣.怎样来解答这个问题呢?

学生思考并自行解答,教师巡视.最后,在学生动手动脑的基础上,集体讨论并给出各个解决方案.

教师展示幻灯片:

方法1:

算筹解法.（孙子算经,用算筹研究代数.）

方法2:

图形解法.（尚不成熟的符号语言,但很直观.）

方法3:

算术解法.

兔数　（94÷2）-35=12

鸡数　35-12=23

方法4:

一元一次方程的解法.

解:

设鸡有x只,则兔有（35-x）只,则可列方程:

2x+4（35-x）=94

解得:

x=23

则鸡有23只,兔有12只.

请同学们自己思考.

教师不失时机地复习一元一次方程的有关概念,“元”是指什么?

“次”是指什么?

二、尝试活动,探索新知

1.讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念.

教师提问:

上面的问题可以用一元一次方程来解,那么还有其他方法吗?

方法6:

设有x只鸡,y只兔,依题意得:

x+y=35　　①

2x+4y=94　②

针对学生列出的这两个方程,教师提出如下问题:

（1）你能给这两个方程起个名字吗?

（2）为什么叫二元一次方程呢?

（3）什么样的方程叫二元一次方程呢?

教师结合学生的回答,板书定义1:

含有两个未知数,并且未知数的指数都是1的方程,叫做二元一次方程.

同时教师引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移与类比,让学生用原有的认知结构去同化新知识,符合建构主义理念.

教师追问:

在上面的问题中,鸡、兔的只数必须同时满足①、②两个方程.把①、②两个二元一次方程结合在一起,用大括号来连接.我们也给它起个名字,叫什么呢?

学生思考,教师板书定义2:

把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.

2.讨论二元一次方程、二元一次方程组的解的概念.

探究活动:

满足x+y=35,且符合问题的实际意义的值有哪些?

请填入表中.

x

…

y

…

　　教师启发:

（1）若不考虑此方程与上面实际问题的联系,还可以取哪些值?

（2）你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗?

（3）它与一元一次方程的解有什么区别?

教师板书定义3:

使二元一次方程两边相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.

教师提问:

那么什么是二元一次方程组的解呢?

学生讨论达成共识:

二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程.即:

既是方程①的解,又是方程②的解.

教师板书定义4:

二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.

注意:

二元一次方程组的解是成对出现的,用大括号来连接,表示“且”.

请同学们议一议:

将上述“鸡兔同笼”问题的几种方案进行优劣对比,你有哪些想法呢?

学生通过对比,体验到从算术方法到代数方法是一种进步.当我们遇到求多个未知量,而且数量关系较复杂时,列二元一次方程组比列一元一次方程容易,它大大减轻了我们的思维负担.

三、例题讲解

【例】　下列各对数值中不是二元一次方程x+2y=2的解的是（　　）

解法分析:

将A、B、C、D中各对数值逐一代入方程检验是否满足方程,选D.

变式练习:

上题中的选项是二元一次方程组

的解的是（　　）

解法分析:

在例1的基础上,进一步检验A、B、C、D中各对值是否满足方程2x+y=-2,使学生明确认识到二元一次方程组的解必须同时满足两个方程.

教师总结:

本例题先检验二元一次方程的解,再检验二元一次方程组的解,符合从简单到复杂的认知规律,使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念.

四、巩固练习

1.根据下列语句,列出二元一次方程:

（1）甲数的一半与乙数的3倍的和为11;

（2）甲数和乙数的2倍的差为17.

2.方程x+2y=7在自然数范围内的解（　　）

A.有无数组B.有两组

C.有三组D.有四组

3.若mx+y=1是关于x、y的二元一次方程,那么（　　）

A.m≠0B.m=0

C.m是正有理数D.m是负有理数

【答案】　1.

（1）0.5x+3y=11　

（2）x-2y=17　2.D　3.A

五、课堂小结

本节课学习了哪些内容?

你有哪些收获?

（什么叫二元一次方程?

什么叫二元一次方程组?

什么叫二元一次方程组的解?

）

第2课时　用代入消元法解二元一次方程组

教学目标

【知识与技能】

1.用代入法解二元一次方程组.

2.了解解二元一次方程组时的“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.

3.会用二元一次方程组解决实际问题.

4.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决实际问题的意识和能力.

5.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,进一步培养解方程组的能力.

【过程与方法】

通过观察、验证、讨论、交流等学习方式经历代入消元的过程,深刻体会到转化的作用,发展学生的抽象思维能力,培养学生有条理的表达能力和与人交流的能力.

【情感、态度与价值观】

1.了解二元一次方程组的“消元”思想、初步理解“化未知为已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中,享受学习数学的乐趣,增强学习数学的信心.

2.培养学生合作交流、自主探索的良好习惯.

3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生应用数学的意识.

4.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,激发学生学习数学的兴趣.

教学重难点

【重点】用代入消元法解二元一次方程组.

【难点】探索用代入消元法将“二元”转化为“一元”的消元过程.

教学过程

一、创设情境,引入新课

教师出示下列问题:

问题1:

篮球联赛中,每场比赛都要分胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.某队为了争取较好的名次,想在全部22场比赛中得到40分,那么这个队胜负场数分别是多少?

问题2:

在上述问题中,我们也可以设出两个未知数,列出二元一次方程组,那么怎样求解二元一次方程组呢?

二、尝试活动,探索新知

教师引导:

什么是二元一次方程组的解?

（方程组中各个方程的公共解）

学生列式计算后回答:

满足方程①的解有:

……

满足方程②的解有:

……

这两个方程的公共解是

教师追问:

这个问题能用一元一次方程来解决吗?

学生思考并列出式子:

设胜x场,负（22-x）场,

解方程:

2x+（22-x）=40　③

学生观察并思考:

上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?

教师提问:

1.在一元一次方程的解法中,列方程时所用的等量关系是什么?

2.方程组中方程②所表示的等量关系是什么?

3.方程②与③的等量关系相同,那么它们的区别在哪里?

4.怎样使方程②变为只含有一个未知数呢?

结合学生的回答,教师做出讲解:

由方程①进行移项得y=22-x,由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场数,故可以把方程②中的y用（22-x）来代换,即得2x+（22-x）=40.这样,二元就化为一元了.

解得x=18.

问题解完了吗?

怎样求y?

将x=18代入方程y=22-x,得y=4.

能代入原方程组中的方程①、②来求y吗?

代入哪个方程更简便?

这样,二元一次方程组的解就是

教师归纳并板书:

这种通过代入消去一个未知数,使二元方程转化为一元方程,从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法,简称代入法.

三、例题讲解

【例1】　用代入法解方程组:

本题较简单,直接由学生板演,师生共同评价.

【答案】　由②，得x＝1－5y.③

把③代入①，得2（1－5y）＋3y＝－19，

2－10y＋3y＝－19，－7y＝－21，y＝3.

把y＝3代入③，得x＝－14.

所以原方程组的解是

解后反思,教师引导学生思考下列问题:

（1）选择哪个方程代入另一方程?

其目的是什么?

（2）为什么能代入?

（3）只求出一个未知数的值,方程组就解完了吗?

（4）把已求出的未知数的值代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便?

（5）怎样检验你运算的结果是否正确呢?

（与解一元一次方程一样,需检验.其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中,看方程的左、右两边是否相等.检验可以口算,也可以在草稿纸上验算.）

【例2】　（例1的变式）解方程组:

分析:

对于这个方程组，应将方程组变形为

观察③和④中未知数的系数，绝对值最小的是2，一般应选取方程③变形，得x＝

，然后代入④求解．

（1）从方程的结构来看:

例2与例1有什么不同?

例1是用x=1-5y直接代入②的,而例2的两个方程都不具备这样的条件,都不能直接代入另一个方程.

（2）如何变形?

把一个方程变形为用含x的式子表示y（或含y的式子表示x）.

（3）选用哪个方程变形较简便呢?

通过观察,发现方程①中y的系数为-1,因此,可先将方程①变形,用含x的代数式表示y,再代入方程②求解.

【答案】　将原方程组整理，得

由③，得x＝

.⑤

把⑤代入④，得2（3y＋1）－3y＝－5，

3y＝－7，y＝－

.

把y＝－

代入⑤，得x＝－3.

所以原方程组的解是

四、巩固练习

1.　已知

是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是（　　）

A．1　　　B．3　　　C．－3　　　D．－1

解析：

将

代入方程2x－ay＝3，得2＋a＝3，所以a＝1.

2.已知

是二元一次方程组

的解，则a－b的值为（　　）

A．1　　　B．－1　　　C．2　　　D．3

解析：

把解代入原方程组得

解得

所以a－b＝－1.

五、课堂小结

你从本节课的学习中体会到代入法的基本思路是什么?

主要步骤有哪些呢?

让学生在互相交流的活动中完成本节课的小结,并能通过总结与归纳,更加清楚地理解代入消元法,体会代入消元法在解二元一次方程组的过程中反映出来的化归思想.

第3课时　用加减消元法解二元一次方程组

教学目标

【知识与技能】

1.掌握用加减消元法解二元一次方程组.

2.使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法.

3.体验数学学习的乐趣,在探索过程中体验成功的喜悦,增强学好数学的信心.

【过程与方法】

1.通过探索二元一次方程组的解法,了解二元一次方程组的“消元”思想,使学生养成良好的探索习惯.

2.通过对具体实际问题的分析,组织学生自主交流、探索,经历列方程的建模过程,培养学生应用数学的意识.

【情感、态度与价值观】

1.让学生在了解二元一次方程组的“消元”思想以及初步理解“化未知为已知”和“化复杂问题为简单问题”的化归思想的过程中,享受学好数学的乐趣,增强学好数学的信心.

2.使学生养成合作交流、自主探索的良好习惯.

3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生应用数学的意识.

4.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,激发学生学习数学的兴趣.

教学重难点

【重点】如何用加减法解二元一次方程组.

【难点】如何运用加减法进行消元.

教学过程

一、创设情境,引入新课

教师提出问题:

王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨,共花了14元,李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨,共花了12元,梨每千克的售价是多少?

比一比看谁算得快.

教师总结最简便的方法:

抵消掉相同部分,王老师比李老师多买了1千克的梨,多花了2元,故梨每千克的售价为2元.

二、例题讲解

【例1】　解方程组:

分析　根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉y，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．

解：

①＋②，得6x＝18，解得x＝3.

把x＝3代入①，得9＋2y＝13，

所以y＝2.

所以

【例2】　解方程组:

分析　

（1）上面的方程组是否符合用加减法消元的条件？

（不符合）

（2）如何转化可使某个未知数系数的绝对值相等？

（①×2或②×3）

解：

①×2，得18x＋4y＝30.③

③－②，得15x＝20，x＝

.

把x＝

代入②，得4＋4y＝10，y＝

.所以

师生共析:

1.用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.

2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤:

第一步:

在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.

第二步:

如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数（选最小公倍数较小的一组系数）,求出它们的最小公倍数（如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数）,然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等（都等于原系数的最小公倍数）,再加减消元.

第三步:

对于较复杂的二元一次方程组,应先化简（去分母、去括号、合并同类项等,通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边、常数项在方程的右边的形式）,再作如上加减消元的考虑.

三、巩固练习

1.已知x、y满足方程组

求代数式x－y的值．

解析：

观察两个方程的系数，可知两方程相减得2x－2y＝－6，从而求出x－y的值．

解：

②－①得2x－2y＝－1－5，③

得x－y＝－3.

2.已知xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项，求m和n的值．

解析：

根据同类项的概念，可列出含字母m和n的方程组，从而求出m和n.

解：

因为xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项，

所以

整理，得

④－③，得2m＝8，所以m＝4.把m＝4代入③，得2n＝6，所以n＝3.

所以当

时，xm－n＋1y与－2xn－1y3m－2n－5是同类项．

四、课堂小结

本节课我们主要学习了二元一次方程组的另一种解法——加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”.请同学们回忆:

加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么?

用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?