二次函数速记口诀.docx
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二次函数速记口诀
二次函数速记口诀
二次方程零换y，二次函数便出现。
全体实数定义域，图像叫做抛物线。
抛物线有对称轴，两边单调正相反。
A定开口及大小，线轴交点叫顶点。
顶点非高即最低。
上低下高很显眼。
如果要画抛物线，平移也可去描点，
提取配方定顶点，两条途径再挑选。
列表描点后连线，平移规律记心间。
左加右减括号内，号外上加下要减。
二次方程零换y，就得到二次函数。
图像叫做抛物线，定义域全体实数。
A定开口及大小，开口向上是正数。
绝对值大开口小，开口向下A负数。
抛物线有对称轴，增减特性可看图。
线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。
如果要画抛物线，描点平移两条路。
提取配方定顶点，平移描点皆成图。
列表描点后连线，三点大致定全图。
若要平移也不难，先画基础抛物线，
顶点移到新位置，开口大小随基础。
二次函数与几何方法
分为：
二次函数与线段及角、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、
矩形、菱形、正方形、圆、面积等问题）
重要思想：
①分类讨论→代表性题型：
动态几何问题，存在性讨论问题;
②转化思想（待定系数）
→代表性题型：
面积问题，二函数图象与坐标轴的交点距离、二次函数与一次函数交点距离等;③最短路径→代表性题型：
利用二次函数的对称性求三角形的周长最小时点的坐标;④尺规作图→代表性题型：
二次函数中求出直角三角形与等腰三角形时点的坐标，采用直角三角板与圆规进行尺规作图分析;
⑤极端值思想→代表性题型：
动态几何问题，动态函数问题;
⑥数形结合思想→代表性题型：
函数与几何综合题。
二次函数的图像及画法
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
二次函数y=ax^2的图像的画法
用描点法画二次函数y=ax^2的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确。
用描点法画出二次函数y=x^2的图像，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。
因为抛物线y=x^2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点.因为抛物线y=x2有最低点.所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标。
基本图像
当a>0时，y=ax^2的图像
当a<0时，y=ax^2的图像
二次函数y=ax^2;，y=a（x-h）^2;，y=a（x-h）^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式
y=ax^2;
y=ax^2+K
y=a（x-h）^2;
y=a（x-h）^2+k
y=ax^2+bx+c
顶点坐标
（0，0）
（0，K）
（h，0）
（h，k）
（-b/2a，4ac-b^2/4a）
对称轴
x=0
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
当h>0时，y=a（x-h）^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到.
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x-h）^2+k的图象;
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）^2-k的图象;
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x+h）?
+k的图象;
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）?
+k的图象;在向上或向下.向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。
因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x-h）^2;+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便
二次函数对称轴及解法
设二次函数的解析式是y=ax^2+bx+c
对称轴为：
直线x=-b/2a,
顶点横坐标为：
-b/2a
顶点纵坐标为：
（4ac-b^2）/4a
求解方法：
1如果题目只给个二次函数的解析式的话，那就只有配方法了吧，y=ax2+bx+c=a[x+（b/2a）]2+（4ac-b2）/4a，则对称轴为x=-b/2a
2.如果题目有f（a-x）=f（b+x）的已知条件，那对称轴是x=（a+b）/2
3.如果题目给出了2个零点（a,0）、（b,0），则对称轴是x=（a+b）/2
4.如果题目给出了定义在R上的抛物线最大值或最小值（a,b）,则对称轴为x=a
二次函数抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）
当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左;因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号
当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。
因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左;当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。
事实上，b有其自身的几何意义：
抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。
可通过对二次函数求导得到。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2;-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2;-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数（x=-b±√b^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f（-b/2a）=4ac-b?
/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c（a≠0）
7.特殊值的形式
①当x=1时y=a+b+c
②当x=-1时y=a-b+c
③当x=2时y=4a+2b+c
④当x=-2时y=4a-2b+c
8.定义域：
R
值域：
（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[（4ac-b^2）/4a，正无穷）;②[t，正无穷）
奇偶性：
偶函数
周期性：
无
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0，则抛物线开口朝上;a<0，则抛物线开口朝下;
⑶极值点：
（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）;
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ>0，图象与x轴交于两点：
（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）;
Δ=0，图象与x轴交于一点：
（-b/2a，0）;
Δ<0，图象与x轴无交点;
②y=a（x-h）^2+k[顶点式]
此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=（4ac-b^2）/4a;
③y=a（x-x1）（x-x2）[交点式（双根式）]（a≠0）
对称轴X=（X1-X2）/2当a>0且X≧（X1+X2）/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小
此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。
二次函数与图形变换
图形变换包含平移、轴对称、旋转、位似四种变换，那么二次函数的图像在其图形变化（平移、轴对称、旋转）的过程中，如何完成解析式的确定呢？
解决此类问题的方法很多，关键在于解决问题的着眼点。
笔者认为最好的方法是用顶点式的方法。
因此解题时，先将二次函数解析式化为顶点式，确定其顶点坐标，再根据具体图形变换的特点，确定变化后新的顶点坐标及a值。
1、平移：
二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a值不变。
顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。
例1.将二次函数y=x2-2x-3的图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的新的图像解析式为_____
分析：
将y=x2-2x-3化为顶点式y=（x-1）2-4，a值为1，顶点坐标为（1，-4），将其图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么顶点也会相应移动，其坐标为（2，-2）,由于平移不改变二次函数的图像的形状和开口方向，因此a值不变，故平移后的解析式为y=（x-2）2-2。
2、轴对称：
此图形变换包括x轴对称和关于y轴对称两种方式。
二次函数图像关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数。
顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。
二次函数图像关于y轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a值不变。
但是顶点位置会改变，只要根据关于y轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。
例2.求抛物线y=x2-2x-3关于x轴以及y轴对称的抛物线的解析式。
分析：
y=x2-2x-3=（x-1）2-4，a值为1，其顶点坐标为（1，-4），若关于x轴对称，a值为-1，新的顶点坐标为（1，4），故解析式为y=-（x-1）2+4；若关于y轴对称，a值仍为1，新的顶点坐标为（-1，-4），因此解析式为y=（x+1）2-4。
3、旋转：
主要是指以二次函数图像的顶点为旋转中心，旋转角为180°的图像变换，此类旋转，不会改变二次函数的图像形状，开口方向相反，因此a值会为原来的相反数，但顶点坐标不变，故很容易求其解析式。
例3.将抛物线y=x2-2x+3绕其顶点旋转180°，则所得的抛物线的函数解析式为________
分析：
y=x2-2x+3=（x-1）2+2中，a值为1，顶点坐标为（1，2），抛物线绕其顶点旋转180°后，a值为-1，顶点坐标不变，故解析式为y=-（x-1）2+2。
二次函数的三种表达式
一般式：
y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：
y=a（x-h）^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：
y=a（x-x?
）（x-x?
）[仅限于与x轴有交点A（x?
，0）和B（x?
，0）的抛物线]
注：
在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2ak=（4ac-b^2）/4ax?
x?
=（-b±√b^2-4ac）/2a
二次函数的常见考法
（1）考查一些带约束条件的二次函数最值;
（2）结合二次函数考查一些创新问题
二次函数的实际应用
在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线型;生产和生活中，有很多“利润最大”、“用料最少”、“开支最节约”、“线路最短”、“面积最大”等问题，它们都有可能用到二次函数关系，用到二次函数的最值。
那么解决这类问题的一般步骤是：
第一步：
设自变量;
第二步：
建立函数解析式;
第三步：
确定自变量取值范围;
第四步：
根据顶点坐标公式或配方法求出最值（在自变量的取值范围内）。
二次函数的判定：
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数；
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是
二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；
②自变量的最高次数是2；
③二次项系数不等于零。
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：
（a，h，k是常数，a≠0）
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。
如果没有交点，则不能这样表示
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数
二次函数的最大值和最小值
二次函数的最值：
1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y最小值=；
当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y最大值=。
也即是：
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2时，，当x=x1时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，，当x=x2时。
。
二次函数抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
事实上，b有其自身的几何意义：
抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。
可通过对二次函数求导得到。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2;-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2;-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
_______
Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f（-b/2a）=4ac-b?
/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c（a≠0）
7.特殊值的形式
①当x=１时y=a+b+c
②当x=-1时y=a-b+c
③当x=2时y=4a+2b+c
④当x=-2时y=4a-2b+c
8.定义域：
R
值域：
（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[（4ac-b^2）/4a，正无穷）；②[t，正无穷）
奇偶性：
偶函数
周期性：
无
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；
⑶极值点：
（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）；
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ＞0，图象与x轴交于两点：
（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
Δ＝0，图象与x轴交于一点：
（-b/2a，0）；
Δ＜0，图象与x轴无交点；
②y=a（x-h）^2+k[顶点式]
此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=（4ac-b^2）/4a；
③y=a（x-x1）（x-x2）[交点式（双根式）]（a≠0）
对称轴X=（X1-X2）/2当a>0且X≧（X1+X2）/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小
此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。
二次函数与一元二次方程的联系
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax^2;，y=a（x-h）^2;，y=a（x-h）^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式
y=ax^2;
y=ax^2+K
y=a（x-h）^2;
y=a（x-h）^2+k
y=ax^2+bx+c
顶点坐标
（0，0）
（0，K）
（h，0）
（h，k）
（-b/2a，4ac-b^2/4a）
对称轴
x=0
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
当h>0时，y=a（x-h）^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x-h）^2+k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）^2-k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x+h）?
+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）?
+k的图象；在向上或向下.向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。
因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x-h）^2;+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象：
当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是（-b/2a，[4ac-b^2;]/4a）．
3．抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0），若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；
（2）当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A（x?
，0）和B（x?
，0），其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=|x?
-x?
|另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A|（A为其中一点的横坐标）
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．
5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：
如果a>0（a<0），则当x=-b/2a时，y最小（大）值=（4ac-b^2）/4a．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c（a≠0）．
（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：
y=a（x-h）^2+k（a≠0）．
（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：
y=a（x-x?
）（x-x?
）（a≠0）．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。
因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．
二次函数y＝ax^2的性质
函数图像：
当a>0时，y＝ax^2的图像
当a<0时，y＝ax^2的图像
开口方向：
a＞0向上，a＜0向下
顶点坐标：
（0,0）
对称轴：
Y轴
函数变化：
（1）当a＞0
x＞0时，y随x增大而增大；
x＜0时，y随x增大而减小.
（2）当a＜0
x＞0时，y随x增大而减小；
x＜0时，y随x增大而增大.
最大（小）值：
（1）当a＞0，当x＝0时，y最小＝0.
（2）当a＜0，当x＝0时，y最大＝0.
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