七年级下一元一次不等式综合应用.docx
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七年级下一元一次不等式综合应用
辅导讲义
学员编号：
年级：
七年级课时数：
学员姓名：
辅导科目：
数学学科教师：
授课
类型
解一元一次不等式的综合题
一元一次不等式的应用
授课日期时段
教学内容
1、专题精讲
题型一：
由不等关系式确定参数范围
例1.若x＜y，且（m-2）x＞（m-2）y，则m的取值范围是 。
【巩固1】当m满足 时，由a＜b，可得到am2＜bm2。
【巩固2】若|a-2|=2-a，则数a在数轴上的对应点在（ ）
A．表示数2的点的左侧
B．表示数2的点的右侧
C．表示数2的点或表示数2的点的左侧
D．表示数2的点或表示数2的点的右侧
答案：
m＜2；m≠0；C
题型二：
已知字母范围，确定字母组成的代数式范围
例1.若-2＜a＜-1，-1＜b＜0，则M=a+b的取值范围是（ ）
A．M=-2B．M＜-3C．-3＜M＜-2D．-3＜M＜-1
【变式】例1中条件不变，则N=a-b的取值范围是______。
【巩固1】5≤x≤20，25≤a≤30，则
的取值范围是 。
【巩固2】若0＜a＜1，则a2，a，
之间的大小关系为（ ）
A．a2＞a＞
B．
＞a＞a2C．
＞a2＞aD．不能确定
【巩固3】已知非负数a，b，c满足条件a+b=7，c-a=5，设S=a+b+c的最大值为m，最小值为n，则m-n的值为 。
答案：
D；-2＜N＜0；
；B；12
题型三：
与解方程（组）相结合的解不等式
例1.已知x和y满足3x+4y=2，x-y＜1，则（ ）
A．x=
B．y=-
C．x＞
D．y＞-
【巩固1】已知方程组：
的解x，y满足2x+y≥0，则m的取值范围是。
【巩固2】若方程组
的解满足条件x+y＜1，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1B．k＜0C．k＜9D．k＞-4
【巩固3】已知|3m-n+1|+（2m+3n-25）2=0，解不等式2mx-7（x-n）≥19．
答案：
D；
；A；
题型四：
解含参数的一元一次不等式
例1.若a＜b，则ax+b＞bx+a的解集是。
例2.已知不等式组
无解，则
的取值范围是 ．
【巩固1】解下列关于x的不等式：
（1）
x+b＞
x+ab（a＞b）；
（2）k（kx+1）＜1-x．
【巩固2】如果不等式
的解集是x>1，那么b必须满足（ ）
Ａ．ｂ＜－１ Ｂｂ≤－１ Ｃｂ＞－１ Ｄｂ≥－１
【巩固3】已知关于
的不等式组
的整数解共有5个，则
的取值范围是__________.
答案：
x＜1；a≤-1；略；A；-4＜a≤-3
题型五：
含绝对值的一元一次不等式
例1．已知关于x的不等式|x-1|+|x+1|＜m有解，则m的取值范围是。
答：
m＞2
【巩固1】若|2x+1|+|2x-1|＞a对任意实数x恒成立，则a的取值范围是。
答：
a＜2
解析：
由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和-2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边，若x对应点在1的右边，由图可以看出x=2；同理，若x对应点在-2的左边，可得x=-3，故原方程的解是x=2或x=-3．
【巩固2】参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x+3|=4的解为________；
（2）解不等式|x-3|+|x+4|≥9；
（3）若|x-3|+|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．
解：
（1）方程|x+3|=4的解就是在数轴上到-3这一点，距离是4个单位长度的点所表示的数，是1和-7．
故解是1和-7；
（2）由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与3和-4的距离之和为大于或等于9的点对应的x的值．
在数轴上，即可求得：
x≥4或x≤-5．
（3）|x-3|+|x+4|即表示x的点到数轴上与3和-4的距离之和，
当表示对应x的点在数轴上3与-4之间时，距离的和最小，是7．
故a≥7．
题型六：
一元一次不等式的整数解
例1.不等式19-3x＞2的非负整数解的个数是。
【巩固1】已知不等式2x-a＜0的正整数解有且只有2个，则a的取值范围为。
【巩固2】求不等式组
的整数解.
答：
0,1,2,3,4,5；4＜a≤6；3或4；
三、学法提炼
1、专题特点：
（1）利用不等式（组）解决实际问题的步骤与列一元一次不等式解应用题的步骤类似，所不同的是，前者需寻求的不等关系往往不止一个，而后者只需找出一个不等关系即可。
（2）在列不等式（组）时，审题是基础，根据不等关系列出不等式组是关键。
解出不等式组的解集后，要养成检验不等式的解集是否合理，是否符合实际情况的习惯。
即审题→设一个未知数→找出题中所有的数量关系，列出不等式组→解不等式组→检验。
（3）在利用不等式（组）解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为了防止漏解和便于比较，我们常常用到分类讨论思想对方案的优劣进行探讨。
2、解题方法：
运用不等式知识解决实际问题，关键是把实际问题的文字语言转化为数学符号语言。
解答设计方案的问题时，要注意不等式组的解集必须符合实际问题的要求，不能把数学问题与实际问题相混淆。
3、注意事项：
（1）注意特殊解的时候不要忽略0的存在。
（2）解答设计方案的问题时，要注意不等式组的解集必须符合实际问题的要求，不能把数学问题与实际问题相混淆。
一、能力培养
由于列不等式（组）解应用题手段独特，方法灵活，因而近几年来常出现在中考试卷中，许多同学感到求解有难度，事实上，列不等式（组）解应用题的方法和列一元一次方程解应用题基本上相同，简单地分为：
设、找、列、解、答五个步骤，具体就是：
（1）设：
弄清题意和题目中的数量关系，用字母（x、y）表示题目中的未知数；
（2）找：
找到能够表示应用题全部含义的一个不等的关系；
找到不等量关系后建议学生先用文字建立方程，详见例题。
（3）列：
根据这个不等的数量关系，列出所需的代数式，从而列出不等式（组）；
依据上一步建立的方程，将各个量用代数式替换。
（4）解：
解这个所列出的不等式（组），求出未知数的解集；
（5）答：
写出答案
这五步的关键是“列”，难点是“找”，下面结合几个例题分类加以说明．
题型一：
分配问题
例题、一群女生住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满，可能有多少间宿舍，多少名学生？
解答：
解：
设有x间宿舍．
0＜4x+19-6（x-1）＜6，
9.5＜x＜12.5
∴x可取10、11或12，
∴学生数为59或63或67人．
答：
有10间宿舍59名学生或11间宿舍，63名学生或12间宿舍，67名学生．
点评：
考查一元一次不等式组的应用；根据最后一间宿舍的人数得到关系式是解决本题的关键．
【巩固1】用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空．请问：
有多少辆汽车？
多少吨货物？
解答：
解：
设有x辆车，则有（4x+20）吨货物．
∵每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，
∴装满的有x-1辆车，
由题意，得0＜（4x+20）-8（x-1）＜8，
解得5＜x＜7．
∵x为正整数，
∴x=6．
∴4x+20=44．
答：
有6辆车，44吨货物．
【巩固2】将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只．问有笼多少个？
有鸡多少只？
解答：
解：
设笼有x个．
解得：
8＜x＜11
x=9时，4×9+1=37
x=10时，4×10+1=41（舍去）．
故笼有9个，鸡有37只．
题型二：
积分问题
例题、某次数学测验，共有16道选择题，评分方法是：
答对一题得6分，不答或答错一题扣2分，某同学要想得分为60分以上，他至少应答对多少道题？
解答：
解：
设这个学生至少要答对x道题，则答错的题目为（16-x）道题．
依题意得：
6x-2（16-x）＞60，
6x-32+2x＞60，
8x＞92，
X＞11.5，
其中x的最小整数为12．
答：
他至少应答对12道题．
【巩固】一堆有红、白两种颜色的球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的2倍比红球多．若把每一个白球都记作“2”，每一个红球都记作“3”，则总数为“60”，那么这两种球各有多少个？
解答：
解：
设白球有x个，红球有y个，
由题意得，
，
由第一个不等式得：
3x＜3y＜6x，
由第二个个式子得，3y=60-2x，
则有3x＜60-2x＜6x，
∴7.5＜x＜12，
∴x可取8，9，10，11．
又∵2x=60-3y=3（20-y），
∴2x应是3的倍数，
∴x只能取9，
此时y=14
答：
白球有9个，红球有14个．
题型三：
比较问题
例题、某校校长暑假将带领该校“市级三好学生”去三峡旅游．甲旅行社说：
如果校长买全票一张，则其余学生可以享受半价优惠；乙旅行社说：
包括校长在内全部按全票的6折优惠．已知两家旅行社的全票价都是240元，请你就学生数说明哪家旅行社更优惠．
分析：
从题意可看出那家优惠和学生人数有关系，所以应该分三种情况讨论
（1）甲优惠，
（2）甲乙花钱一样，（3）乙优惠．
解答：
解：
设学生人数为x人．
（1）240+240×0.5x＜240×0.6（x+1）
x＞4
（2）240+240×0.5x=240×0.6（x+1）
x=4
（3）240+240×0.5x＞240×0.6（x+1）
x＜4
答：
x＞4时甲优惠，x=4时花费一样，当x＜4时乙优惠．
点评：
本题考查对题意的理解情况以及对优选方案为题分组讨论．
【巩固】暑假期间，两名老师计划带领若干名学生去三亚旅游，他们联系了报价均为每人400元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：
两名老师全额收费，学生都按六折收费；乙旅行社的优惠条件是：
老师，学生都按七折收费．假设这两名老师带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？
解答：
解：
设选择甲旅行社时，所需的费用为y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，
则y1=400×2+400×0.6x，即y1=240x+800
y2=（2+x）×400×0.7，即y2=280x+560
由y1=y2，得240x+800=280x+560
解得x=6；
由y1＞y2，得240x+800＞280x+560
解得x＜6；
由y1＜y2，得240x+800＜280x+560
解得x＞6．
所以，当x=6时，甲、乙两家旅行社的收费相同：
当x＜6时，选择乙旅行社费用较少；
当x＞6时，选择甲旅行社费用较少．
题型四：
行程、工程问题
例题1、某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分种走90米，若跑步可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑几分种？
解答：
解：
设至少要跑x分钟，
根据题意得210x+90（18-x）≥2100，
解得x≥4，
所以这人完成这段路程，至少要跑4分种．
例题2、一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3，在前两天一共完成了120m3，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务．问以后几天内，平均每天至少要挖土多少m3？
解答：
解：
设平均每天挖土xm3，
由题意得：
（10-2-2）x≥600-120，
解得：
x≥80．
答：
平均每天至少挖土80m3．
【巩固1】昆明城市的一种出租车起价（即行驶距离3km内需付7元费），达到或超过3km后，每增加1km加价0.80元（不足1km的部分按1km计），现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地支付车费11元，从甲地到乙地的路程最多是多少千米？
解答：
解：
设从甲地到乙地的路程大约有x千米，
根据题意，得，7+（x-3）×0.8≤11，
得x≤8，
答：
从甲地到乙地最多8千米．
【巩固2】一个修路队计划7天时间修路850m，第一天修了130m．根据上级部门的要求，至少需提前2天完成，那么以后几天里，平均每天至少要修多少米才能完成任务？
解答：
解：
设以后每天修x米，
根据题意，得：
130+（7-1-2）x≥850，
解得：
x≥180．
答：
以后几天平均每天至少修180米才能完成任务．
题型五：
浓度、利润问题
例题1、一种浓度是15%的溶液30千克，现要用浓度更高的同种溶液50千克和它混合，使混合得到的80千克溶液的浓度大于20%，则所用的浓度更高的溶液的浓度x至少为多少？
（想一想，其实你能做出来，步骤要完整！
）
解答：
解：
设所用的浓度更高的溶液的浓度x，则
30×15%+50x＞80×20%
x＞23%．
所用的浓度更高的溶液的浓度x至少为23%．
例题2、商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后将售价下降1O%，这样每件仍可以获利18元，又售出了全部商品的25%．
（1）试求该商品的进价和第一次的售价；
（2）为了确保这批商品总的利润不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？
解答：
解：
（1）设该商品的进价为x元，第一次的售价为y元，
由题意，得
，
解这个方程组，得x=90y=120．
答：
该商品的进价为90元，第一次的售价为120元；
（2）设剩余商品的售价为z元，
由题意，得30×65%m+18×25%m+（z-90）（1-65%-25%）m≥90m×25%．
解这个不等式，得z≥75．
答：
剩余商品的售价应不低于75元．
【巩固1】一种浓度是15%的溶液30千克，现要用浓度更高的同种溶液50千克和它混合，使混合后的浓度大于20%，而小于35%，则所用溶液浓度x的取值范围是（C ）
A．15%＜x＜23%B．15%＜x＜35%C．23%＜x＜47%D．23%＜x＜50%
【巩固2】商店进了一批服装，进价为320元，售价定为480元，为了使利润不低于20%，最多可以打几折？
解答：
解：
设设最多可以打x折，由题意，得
480x-320≥320×20%，
解得：
x≥0.8
∴x最少=0.8=80%．
故答案为8．
题型六：
方案选择与设计
例题1、某厂用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料中的维生素C含量及每千克原料的价格如下表所示：
原料项目
甲种原料
乙种原料
维生素C含量（单位/kg）
600
100
原料价格（元/kg）
8
4
现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，请根据以上条件解答下列问题：
（1）设需用xkg甲种原料，写出x所满足的不等式组；
（2）若按上述条件购买甲种原料的质量为整kg数，有几种购买方案，请写出购买方案．
解答：
解：
（1）
；
（2）由
（1）解得 6.4≤x≤8
若按上述的条件购买甲种原料的质量为整kg数，有两种购买方案，
即方案一：
甲种原料为7kg，乙种原料为3kg；
方案二：
甲种原料为8kg，乙种原料为2kg．
例题2、今年我市为庆祝国庆60周年，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A，B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧．具体信息如表格：
1个A种造型
1个B种造型
甲种花卉（盆）
80
50
乙种花卉（盆）
40
90
成本（元）
800
960
（1）请你设计一下有哪几种搭配方案；
（2）试说明
（1）中哪种方案成本最低？
最低成本是多少元？
解答：
解：
（1）设搭配A种造型x个，则B种造型为（50-x）个．
由题意，得
．
解得31≤x≤33．
∵x为整数，
∴x=31，32，33．
∴可设计三种搭配方案：
方案1：
A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；
方案2：
A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；
方案3：
A种园艺造型33个，B种园艺造型17个．
（2）∵B种造型的造价成本高于A种造型成本，
∴B种造型越少，成本越低，故应选择方案3，成本最低．
最低成本为：
33×800+17×960=42720（元）．
答：
应选择方案3成本最低，最低成本为42720元．
【巩固1】某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．
（1）设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；
（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案．
解答：
解：
（1）由租用甲种汽车x辆，则租用乙种汽车（8-x）辆，
由题意得：
，
解得：
5≤x≤6．
即共有2种租车方案：
第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；
第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．
（2）第一种租车方案的费用为5×2000+3×1800=15400（元）；
第二种租车方案的费用为6×2000+2×1800=15600（元）．
∴第一种租车方案更省费用．
【巩固2】某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100只，付款总额不得超过11815元．已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，试解答下列问题：
品名
厂家批发价（元/只）
商场零售价（元/只）
篮球
130
160
排球
100
120
（1）该采购员最多可购进篮球多少只？
（2）若该商场把这100只球全部以零售价售出，为使商场尽量获得更多的利润，采购员要购进篮球多少只？
该商场最多可盈利多少元？
解答：
解：
（1）设采购员可购进篮球x只，则排球是（100-x）只，
依题意得130x+100（100-x）≤11815，
解得x≤60.5，
∵x是整数，
∴x=60，
答：
购进篮球和排球共100只时，该采购员最多可购进篮球60只．
（2）设利润为y元，
y=（160-130）x+（120-100）（100-x）=10x+2000，
∵篮球的利润大于排球的利润，因此这100只球中，当篮球最多时，商场可盈利最多，
故篮球60只，此时排球40只，商场可盈利10×60+2000=2600（元）．
即该商场可盈利2600元．
二、能力点评
学法升华
1、知识收获：
经过本节课的学习，你能从解不等式当中收获哪些题型总结？
列举看看，并且说说一般思想方法是什么？
答：
题型有：
求一元一次不等式的整数解、解含绝对值的一元一次不等式等；在解这些不等式的时候一定要抓住不等式的基本性质；
2、方法总结：
在解不等式的应用题时，有哪些方法？
答：
运用不等式知识解决实际问题，关键是把实际问题的文字语言转化为数学符号语言。
解答设计方案的问题时，要注意不等式组的解集必须符合实际问题的要求，不能把数学问题与实际问题相混淆。
3、技巧提炼：
本节课有哪些思想方法？
答：
在利用不等式（组）解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为了防止漏解和便于比较，我们常常用到分类讨论思想对方案的优劣进行探讨。
课后作业
1、某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。
现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。
经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元。
甲
乙
价格（万元/台）
7
5
每台日产量（个）
100
60
（1）按该公司要求可以有几种购买方案？
（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？
答案：
解：
（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6－x）台。
7x＋5（6－x）≤34
x≤2，
∵x为非负整数
∴x取0、1、2
∴该公司按要求可以有以下三种购买方案：
方案一：
不购买甲种机器，购买乙种机器6台；
方案二：
购买甲种机器1台，购买乙种机器5台；
方案三：
购买甲种机器2台，购买乙种机器4台；
（2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元，新购买机器日生产量为360个；
按方案二购买机器，所耗资金为1×7＋5×5＝32万元；，新购买机器日生产量为1×100＋5×60＝400个；
按方案三购买机器，所耗资金为2×7＋4×5＝34万元；新购买机器日生产量为2×100＋4×60＝440个。
∵选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求，又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二。
2、有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若使总收入不低于15.6万，则最多只能安排多少人种甲种蔬菜？
解：
设安排x人种甲种蔬菜，（10－x）种乙种蔬菜。
0.5×3x＋0.8×2×（10－x）≥15.6
x≤4
答：
最多只能安排4人种甲种蔬菜。
3、某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元；
（1）符合公司要求的购买方案有几种？
请说明理由；
（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上那种购买方案？
解：
（1）设轿车要购买x辆，则面包车要购买（10－x）辆。
7x＋4（10－x）≤55
x≤5
∵x≥3，
∴x取3、4、5
∴购机方案有三种：
方案一：
轿车3辆，面包车7辆；
方案二：
轿车4辆，面包车6辆；
方案三：
轿车5辆，面包车5辆；
（2）方案一的日租金为：
3×200＋7×110＝1370（元）
方案二的日租金为：
4×200＋6×110＝1460（元）
方案三的日租金为：
5×200＋5×110＝1550（元）
为保证日租金不低于1500元，应选择方案三。
4、小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多（设为a人，a＞8），就站到A窗口队伍的后面.过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人.
（1）此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少（用含a的代数式表示）？
（2）此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，求a的取值范围（不考虑其他因素）.
解：
（1）他继续在A窗口排队所花的时间为
（分）
（2）依题意得
a＞20.
5、苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：
①每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租；
②每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗；
③每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益；
④每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益；
（1）若租用水面
亩，则年租金共需__________元；
（2）水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润（利润=收益－成本）；
（
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