等差数列学案.docx
《等差数列学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《等差数列学案.docx（59页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
等差数列学案
等差数列学案
本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 §2 等差数列
第1课时 等差数列的概念及通项公式
知能目标解读
.通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.
2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.
3.体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题.
4.掌握等差中项的定义，并能运用它们解决问题.
5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.
重点难点点拨
重点：
等差数列的概念.
难点：
等差数列的通项公式及其运用.
学习方法指导
.等差数列的定义
（1）关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面：
①如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列.
②一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列.
③求公差时，要注意相邻两项相减的顺序.d=an+1-an或者d=an-an-1.
（2）如何证明一个数列是等差数列?
要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只需证明对任意正整数n,an+1-an是同
一个常数是同一个常数）.这里所说的常数是指一个与n无关的常数.
注意:
判断一个数列是等差数列的定义式：
an+1-an=d.若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也可以证明an+1-an或an-an-1不是常数，而是一个与n有关的变数即可.
2.等差数列的通项公式
（1）通项公式的推导常用方法：
方法一（叠加法）：
∵{an}是等差数列，
∴an-an-1=d,an-1-an-2=d,
an-2-an-3=d,…,
a3-a2=d,a2-a1=d.
将以上各式相加得：
an-a1=d,
∴an=a1+d.
方法二：
∵{an}是等差数列，
∴an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+d.
即an=a1+d.
方法三（逐差法）：
∵{an}是等差数列，则有
an=+++…++a1=a1+d.
注意：
等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应注意体会并应用.
（2）通项公式的变形公式
在等差数列{an}中，若m，n∈N+，则an=am+d.推导如下：
∵对任意的m,n∈N+，在等差数列中，有
am=a1+d ①
an=a1+d ②
由②-①得an-am=d,
∴an=am+d.
注意：
将等差数列的通项公式an=a1+d变形整理可得an=dn+a1-d，从函数角度来看，an=dn+是关于n的一次函数或常数函数，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差d是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道，d=
.
（3）通项公式的应用
①利用通项公式可以求出首项与公差;
②可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项;
③若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数.
3.从函数角度研究等差数列的性质与图像
由an=f=a1+d=dn+，可知其图像是直线y=dx+上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.
当d>0时，{an}为递增数列，如图（甲）所示.
当d<0时，{an}为递减数列，如图所示.
当d=0时，{an}为常数列，如图所示.
4.等差中项
如果在数a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，
那么A叫做数a与b的等差中项.
注意:
等差中项A=
a,A,b成等差数列；
若a,b,c成等差数列，那么b=，2b=a+c,b-a=c-b,a-b=b-c都是等价的；
用递推关系an+1=
给出的数列是等差数列，an+1是它的前一项an与后一项an+2的等差中项.
知能自主梳理
.等差数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的 是 ，我们称这样的数列为等差数列.
2.等差中项
如果在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，那么A叫做 .
3.等差数列的判断方法
（1）要证明数列{an}是等差数列，只要证明：
当n≥2时， .
（2）如果an+1=对任意的正整数n都成立，那么数列{an}是 .
（3）若a,A,b成等差数列，则A＝ .
4.等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为
，它的推广通项公式为
.
5.等差数列的单调性
当d>0时，{an}是
数列；当d=0时，{an}是
数列；当d<0时，{an｝是
数列.
［答案］ 1.差 同一个常数
2.a与b的等差中项
3.
（1）an-an-1=d 等差数列 （3）
4.an=a1+d an=am+d
5.递增 常 递减
思路方法技巧
命题方向 等差数列的定义及应用
［例1］ 判断下列数列是否为等差数列.
（1）an=3n+2；
（2）an=n2+n.
［分析］ 利用等差数列定义，看an+1-an是否为常数即可.
［解析］ an+1-an=3+2-=3.由n的任意性知，这个数列为等差数列.
an+1-an=2+-=2n+2,不是常数，所以这个数列不是等差数列.
［说明］ 利用定义法判断等差数列的关键是看an+1-an得到的结论是否是一个与n无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列.至于它到底是一个什么样的数列，这些不再是我们研究的范畴.
n=1
变式应用1 试判断数列｛cn｝，cn=
是否为等差数列.
2n-5 n≥2
［解析］ ∵c2-c1=-1-1=-2,
cn+1-cn=2-5-2n+5=2.
∴cn+1-cn不等于同一个常数，不符合等差数列定义.
∴{cn}不是等差数列.
命题方向 等差数列通项公式的应用
［例2］ 已知数列{an}为等差数列，且a5=11,a8=5,求a11.
［分析］ 利用通项公式先求出a1和d，再求a11，也可以利用通项公式的变形形式an=am+d求解.
［解析］ 解法一：
设数列{an}的首项为a1,公差为d，由等差数列的通项公式及已知，得
a1+4d=11 a1=19
解得
.
a1+7d=5 d=-2
∴a11=19+×=-1.
解法二：
∵a8=a5+d,
∴d===-2.
∴a11=a8+d=5+3×=-1.
［说明］ 对于解法一，根据方程的思想，应用等差数列的通项公式先求出a1和d，确定通项，此法也称为基本量法.
对于解法二，根据通项公式的变形公式为：
am=an+d,m,n∈N+，进一步变形为d=，应注意掌握对它的灵活应用.
变式应用2 已知等差数列{an}中，a10=29,a21=62,试判断91是否为此数列中的项.
a10=a1+9d=29
［解析］ 设等差数列的公差为d,则有
，
a21=a1+20d=62
解得a1=2,d=3.
∴an=2+×3＝3n-1.
令an＝3n-1=91,得n=
N+.
∴91不是此数列中的项.
命题方向 等差中项的应用
［例3］ 已知a,b,c成等差数列，那么a2,b2,c2是否成等差数列？
［分析］ 已知a,b,c成等差数列，由等差中项的定义，可知a+c=2b,然后要证其他三项a2,b2,c2是否成等差数列，同样考虑等差中项.当然需用到已知条件a+c=2b.
［解析］ 因为a,b,c成等差数列，所以a+c=2b,
又a2+c2-2b2
=a2c+c2a+ab+bc
=a2c+c2a-2abc=ac=0,
所以a2+c2=2b2,
所以a2,b2,c2成等差数列.
［说明］ 本题主要考查等差中项的应用，如果a,b,c成等差数列，则有a+c=2b;反之，若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.
变式应用3 已知数列｛xn｝的首项x1=3,通项xn=2np+nq，且x1、x4、x5成等差数列.求：
p,q的值.
［分析］ 由x1、x4、x5成等差数列得出一个关于p,q的等式，结合x1=3推出2p+q=3,从而得到p,q.
［解析］ 由x1=3,得2p+q=3, ①
又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得
3＋25p+5q=25p+8q, ②
由①②得q=1,∴p=1.
［说明］ 若三数a,b,c成等差数列，则a+c=2b,即b为a,c的等差中项，这个结论在已知等差数列的题中经常用到.
探索延拓创新
命题方向 等差数列的实际应用
［例4］ 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
［解析］ 由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an,则an-an-1=-20,,每年获利构成等差数列｛an｝,且首项a1=200,公差d=-20,
所以an=a1+d
=200+×=-20n+220.
若an<0,则该公司经销这一产品将亏损，
由an＝-20n＋220<0,解得n>11,
即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.
［说明］ 关于数列的应用题，首先要建立数列模型将实际问题数列化.
变式应用4 XX年将在伦敦举办奥运会，伦敦将会有很多的体育场，为了实际效果，体育场的看台一般呈“辐射状”.例如，某体育场一角的看台座位是这样排列的：
第一排有150个座位，从第二排起每一排都比前一排多20个座位，你能用an表示第n排的座位数吗？
第10排可坐多少人？
［分析］ 分析题意知，看台上的每一排的座位数组成了一个等差数列.
［解析］ 由题意知，每排的座位数组成了一个首项为a1=150,公差为d=20的等差数列，
∴an=a1+d=150+×20=20n+130,
则a10=330,即第10排可坐330人.
名师辨误做答
［例5］ 已知数列｛an｝,a1=a2=1,an=an-1+2.
（1）判断数列｛an｝是否为等差数列？
说明理由；
（2）求｛an｝的通项公式.
［误解］
（1）∵an=an-1+2,
∴an-an-1=2，
∴｛an｝是等差数列.
（2）由上述可知，an=1+2=2n-1.
［辨析］ 忽视首项与所有项之间的整体关系，而判断特殊数列的类型是初学者易犯的错误.事实上，数列｛an｝从第2项起，以后各项组成等差数列，而｛an｝不是等差数列，an=f应该表示为“分段函数”型.
［正解］
（1）当n≥3时，an=an-1+2,
即an-an-1=2.
当n=2时，a2-a1=0不满足上式.
∴｛an｝不是等差数列.
（2）∵a2=1,an=an-1+2，
∴a3=a2+2=3.
∴a3-a2=2.
当n≥3时，an-an-1=2.
∴an=a2+d=1+2=2n-3,
又a1=1不满足此式.
∴an=
.
2n-3
课堂巩固训练
一、选择题
.（XX•重庆文，1）在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则a10=（ ）
A.12 B.14 c.16 D.18
［答案］ D
［解析］ 该题考查等差数列的通项公式，由其两项求公差d.
由a2=2,a3=4知d==2.
∴a10=a2+8d=2+8×2=18.
2.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为（ ）
A.2 B.3 c.－2 D.－3
［答案］ c
［解析］ ∵an=a1+d=dn+,
∴公差为－2，故选c.
3.方程x2-6x+1=0的两根的等差中项为（ ）
A.1 B.2 c.3 D.4
［答案］ c
［解析］ 设方程x2-6x+1=0的两根为x1、x2,则x1+x2=6.
∴其等差中项为=3.
二、填空题
4.在等差数列{an}中，a2=3,a4=a2+8,则a6=
.
［答案］ 19
［解析］ ∵a2=3,a4=a2+8,
a1+d=3
a1=-1
∴
,解得
.
a1+3d=a1+d+8
d=4
∴a6=a1+5d=-1+20=19.
5.已知a、b、c成等差数列，那么二次函数y=ax2+2bx+c的图像与x轴的交点有 个.［答案］ 1或2
［解析］ ∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c,
又Δ=4b2-4ac=2-4ac=2≥0.
三、解答题
6.在等差数列｛an｝中，已知a5=10,a12=31,求通项公式an.
a1+4d=10
a1=－2
［解析］ 由题意得
,解得
.
a1+11d=31
d=3
∴an=-2+×3＝3n-5.
课后强化作业
一、选择题
.等差数列1，-1，-3，-5，…，-89，它的项数为（ ）
A.92 B.47 c.46 D.45
［答案］ c
［解析］ ∵a1=1，d=-1-1=-2,
∴an=1+•=-2n+3,
由-89=-2n+3，得n=46.
2.如果数列{an}是等差数列，则（ ）
A.a1+a8<a4+a5 B.a1+a8=a4+a5 c.a1+a8>a4+a5 D.a1a8=a4a5
［答案］ B
［解析］ 设公差为d,则a1+a8-a4-a5=a1+a1+7d-a1-3d-a1-4d=0,
∴a1+a8=a4+a5.
3.已知数列3,9,15,…,3,…,那么81是它的第（ ）
A.12项 B.13项 c.14项 D.15项
［答案］ c
［解析］ 由3=81,解得n=14.
4.在等差数列{an}中，a2=-5,a6=a4+6,则a1等于（ ）
A.-9 B.-8 c.-7 D.-4
［答案］ B
a1+d=-5
［解析］ 由题意，得
，
a1+5d=a1+3d+6
解得a1=-8.
5.数列{an}中，a1=2,2an+1=2an+1,则a101的值是（ ）
A.49 B.50 c.51 D.52
［答案］ D
［解析］ 由2an+1=2an+1得an+1-an=，
∴{an}是等差数列,首项a1=2,公差d=,
∴an=2+
=
,
∴a101==52.
6.已知a=,b=,则a,b的等差中项为（ ）
A.
B.
c.
D.
［答案］ A
［解析］ ===.
7.设数列{an}是递增等差数列，前三项和为12，前三项积为48，则它的首项为（ ）
A.1 B.2 c.4 D.3
［答案］ B
a1+a2+a3=12
a1+a3=8
［解析］ 由题设
，,∴a2=4,∴
a1a2a3=48
a1a3=12
∴a1,a3是一元二次方程x2-8x+12=0的两根，
又a3＞a1,∴a1=2.
8.{an}是首项为a1=4,公差d=2的等差数列，如果an=XX,则序号n等于（ ）
A.1003 B.1004 c.1005 D.1006
［答案］c
［解析］∵a1=4,d=2,
∴an=a1+d=4+2=2n+2,
∴2n+2=XX,
∴n=1005.
二、填空题
9.三个数lg,x,lg成等差数列，则x=
.
［答案］ 0
［解析］ 由等差中项的运算式得
x==＝0.
0.一个等差数列的第5项a2=10,且a1+a2+a3=3,则a1=
,d=
.
［答案］ -2,3
a5=a1+4d=10
a1+4d=10
a1=-2
［解析］ 由题意得
,即
，∴
.
a1+a1+d+a1+2d=3
a1+d=1
d=3
1.等差数列{an}的前三项依次为x，2x+1，4x+2，则它的第5项为
.
［答案］ 4
［解析］ ∵2=x+,∴x=0,则a1=0,a2=1,d=a2-a1=1,∴a5=a1+4d=4.
2.在数列{an}中，a1=3，且对于任意大于1的正整数n，点（,）在直线x-y-=0上，则an=
.
［答案］ 3n2
［解析］ 由题意得
-
=,
∴数列{}是首项为，公差为的等差数列，
∴
=n,∴an=3n2.
三、解答题
3.在等差数列{an}中：
已知a5=-1,a8=2,求a1与d;
已知a1+a6=12,a4=7,求a9.
a1+d=-1
a1=-5
［解析］ 由题意知
，解得
.
a1+d=2
d=1
a1+a1+d=12
a1=1
（2）由题意知
，解得
，
a1+d=7，
d=2
∴a9=a1+d=1+8×2=17.
4.已知函数f=
，数列{xn}的通项由xn=f确定.
求证：
｛｝是等差数列；
当x1=时，求x100.
［解析］ xn=f=
，
所以==+，
-=
.
所以｛｝是等差数列；
由知{}的公差为.
又因为x1=,即＝2.
所以=2+×，
=2+×=35.
所以x100=.
5.已知等差数列｛an｝中，a5+a6+a7=15,a5•a6•a7=45,求数列｛an｝的通项公式.
［分析］ 显然a6是a5和a7的等差中项，可利用等差中项的定义求解a5和a7，进而求an.［解析］ 设a5=a6-d,a7=a6+d,
则由a5+a6+a7=15,得3a6=15,
∴a6=5.
a5+a7=10
a5=1
a5＝9
由已知可得
，解得
或
a5•a7=9
a7=9
a7=1
当a5=1时，d=4,
从而a1=-15,an=-15+×4=4n-19.
当a5=9时，d=-4,从而a1=25.
∴an=25+×（-4）＝－4n+29.
所以数列｛an｝的通项公式为an=4n－19或an=-4n+29.
6.第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算.
试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
XX年北京奥运会是第几届？
2050年举行奥运会吗？
［解析］ 由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列，这个数列的通项公式为
an=1896+4=1892+4n.
（2）假设an=XX，由XX=1892+4n,得n=29.
假设an=2050,2050=1892+4n无正整数解.
所以XX年北京奥运会是第29届，2050年不举行奥运会.
第2课时 等差数列的性质
知能目标解读
.掌握等差数列的项与序号的性质.
2.理解等差数列的项的对称性.
3.能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题.
重点难点点拨
重点：
等差数列的性质.
难点：
应用等差数列的性质解决一些实际问题.
学习方法指导
.等差数列的公差与斜率的关系
（1）一次函数f=kx+b的图像是一条直线，斜率k=
.
当k=0时，对于常数函数f=b,上式仍然成立.
（2）等差数列｛an｝的公差本质上是相应直线的斜率.
特别地，如果已知等差数列｛an｝的任意两项an,am,由an=am+d,类比直线方程的斜率公式得d=
.
2.等差数列的“子数列”的性质
若数列｛an｝是公差为d的等差数列，则
（1）｛an｝去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；
（2）奇数项数列｛a2n-1｝是公差为2d的等差数列；偶数项数列｛a2n｝是公差为2d的等差数列；
（3）若｛kn｝是等差数列，则｛akn｝也是等差数列.
知能自主梳理
.等差数列的项与序号的性质
（1）两项关系
通项公式的推广：
an=am+
.
多项关系
项的运算性质：
若m+n=p+q，则
=ap+aq.
特别地，若m+n=2p，则am+an=
.
2.等差数列的项的对称性
有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和（若有中间项则等于中间项的2倍），即a1+an=a2+
=ak+
=2a
.
3.等差数列的性质
（1）若｛an｝是公差为d的等差数列，则下列数列：
①｛c+an｝是公差为
的等差数列；
②｛c•an｝是公差为
的等差数列；
③｛ank｝是公差为
的等差数列.
若｛an｝、｛bn｝分别是公差为d1、d2的等差数列，则数列｛pan+qbn｝是公差为
的等差数列.
［答案］ 1.d am+an 2ap
2.an-1 an-k+1
3.d cd kd pd1+qd2
思路方法技巧
命题方向 运用等差数列性质an=am+d解题
［例1］ 若数列{an}为等差数列，ap=q,aq=p，则ap+q为（ ）
A.p+q
B.0
c.-
D.
［分析］ 本题可用通项公式求解.
利用关系式an=am+d求解.
利用一次函数图像求解.
［答案］ B
［解析］ 解法一：
∵ap=a1+d,
aq=a1+d,
a1+d=q ①
∴
a1+d=p ②
①-②，得（p-q）d=q-p.∵p≠q,∴d=-1.
代入①，有a1+=q,∴a1=p+q-1.
故ap+q=a1+d=p+q-1+=0.∴应选B.
解法二：
∵ap=aq+d,∴q=p+d,即q-p=d.
∵p≠q,∴d=-1.
故ap+q=ap+［］d=q+q=0.∴应选B.
解法三
升级会员 