答案 C
5．下列结论正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是平行四边形”是特称命题；②命题“∀x∈R，x2＋1>0”是全称命题；③若p：
∃x∈R，x2＋2x＋1≤0，则綈p：
∀x∈R，x2＋2x＋1≤0.
A．0B．1
C．2D．3
解析 ①是全称命题，②是全称命题，③綈p：
∀x∈R，x2＋2x＋1>0.∴①不正确，②正确，③不正确．
答案 B
6．设α，β，γ是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥α，n⊥α，则m⊥n.
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析 ①正确，②不正确，③正确，④正确．
答案 C
7．已知a＝（m＋1,0,2m），b＝（6,2n－1,2），若a∥b，则m与n的值分别为（ ）
A.，B．5,2
C．－，－D．－5，－2
解析 ∵a∥b，∴a＝λb，
∴解得
∴m＝，n＝.
答案 A
8．若双曲线－＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为（ ）
A．2B．3
C．4D．4
解析 设双曲线的焦距为2c，由双曲线方程知c2＝3＋，则其左焦点为（－，0）．
由抛物线方程y2＝2px知其准线方程为x＝－，
由双曲线的左焦点在抛物线的准线上知，
3＋＝，且p>0，解得p＝4.
答案 C
9．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为（ ）
A.B.
C.D．2
解析 由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝，|PF2|＝.
又|PF2|≥c－a，即≥c－a.
∴≤.即e≤.
答案 C
10．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点EF分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是（ ）
A．45°B．60°
C．90°D．120°
解析 建立空间直角坐标如图所示．
设AB＝2，则＝（0，－1,1）．
＝（2,0,2），
∴cos〈·〉
＝＝＝，
故EF与BC1所成的角为60°.
答案 B
11．给出下列曲线，其中与直线y＝－2x－3有交点的所有曲线是（ ）
①4x＋2y－1＝0；②x2＋y2＝3；③＋y2＝1；④－y2＝1.
A．①③B．②④
C．①②③D．②③④
解析 直线y＝－2x－3与4x＋2y－1＝0平行，所以与①不相交．
②中圆心（0,0）到直线2x＋y＋3＝0的距离d＝<.所以与②相交．把y＝－2x－3代入＋y2＝1，得＋4x2＋12x＋9＝1，
即9x2＋24x＋16＝0，
Δ＝242－4×9×16＝0，所以与③有交点．观察选项知，应选D.
答案 D
12．过点M（－2,0）的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2两点，设线段P1P2的中点为P.若直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2，则k1·k2等于（ ）
A．－B.
C．－2D．2
解析 设直线l的方程为y＝k1（x＋2），代入x2＋2y2＝2，
得（1＋2k）x2＋8kx＋8k－2＝0，
设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1＋x2＝，
而y1＋y2＝k1（x1＋x2＋4）＝.
∴k2＝＝－，∴k1·k2＝－.
答案 A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上）
13．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________．
解析 命题“存在一个三角形没有外接圆”是特称命题，它的否定是全称命题“任意一个三角形都有外接圆．”
答案 任意一个三角形都有外接圆
14．已知命题p：
1≤x≤2，q：
a≤x≤a＋2，且綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析 “p是q的必要不充分条件”的逆否命题是“q是p的必要不充分条件”．
∴{x|1≤x≤2}{x|a≤x≤a＋2}，∴0≤a≤1.
答案 0≤a≤1
15．已知直线l1的一个方向向量为（－7,4,3），直线l2的一个方向向量为（x，y,6），且l1∥l2，则x＝________，y＝________.
答案 －14 8
16．如图在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面ABCD所成角的余弦值为________．
解析 由题意知，AC1＝＝3，AC＝＝2，在Rt△AC1C中，cos∠C1AC＝＝.
答案
三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知命题p：
不等式|x－1|>m－1的解集为R，命题q：
f（x）＝－（5－2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．
解 由|x－1|>m－1的解集为R，知m－1<0，
∴m<1.即p：
m<1.
又f（x）＝－（5－2m）x是减函数，
∴5－2m>1，即m<2，即q：
m<2.
若p真q假，则m不存在．
若p假q真，则∴1≤m<2.
综上知，实数m的取值范围是[1,2）．
18．（12分）求证：
a＋2b＝0是直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直的充要条件．
证明 充分性：
当b＝0时，如果a＋2b＝0，那么a＝0，此时直线ax＋2y＋3＝0平行于x轴，直线x＋by＋2＝0平行于y轴，它们互相垂直；当b≠0时，直线ax＋2y＋3＝0的斜率k1＝－，直线x＋by＋2＝0的斜率k2＝－，如果a＋2b＝0，那么k1k2＝（－）×（－）＝－1.故两直线互相垂直．
必要性：
如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k1k2＝（－）×（－）＝－1，所以a＋2b＝0，若两条直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b＝0，且a＝0，所以a＋2b＝0.
综上可知，a＋2b＝0是直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直的充要条件．
19．（12分）抛物线y＝－与过点M（0，－1）的直线l相交于A，B两点，O为原点，若OA和OB的斜率之和为1，求直线l的方程．
解 显然直线l垂直于x轴不合题意，故设所求的直线方程为y＝kx－1，代入抛物线方程化简，得
x2＋2kx－2＝0.
由根的判别式Δ＝4k2＋8＝4（k2＋2）>0，于是有k∈R.
设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），
则＋＝1.①
因为y1＝kx1－1，y2＝kx2－1，
代入①，得2k－（＋）＝1.②
又因为x1＋x2＝－2k，x1x2＝－2，代入②得k＝1.
所以直线l的方程为y＝x－1.
20．（12分）已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，＝e（e为椭圆C的离心率），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解
（1）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c由已知得解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
（2）设M（x，y），P（x，y1），其中x∈[－4,4]．由已知得＝e2.
而e＝，故16（x2＋y）＝9（x2＋y2）．①
由点P在椭圆C上得y＝，
代入①式并化简得9y2＝112，
所以点M的轨迹方程为y＝±（－4≤x≤4），它是两条平行于x轴的线段．
21．（12分）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE.
（1）证明：
平面ADE⊥平面ACC1A1；
（2）求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．
解
（1）证明：
由正三棱柱ABC－A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1.
又DE⊂平面A1B1C1，所以DE⊥AA1.
而DE⊥AE，AA1∩AE＝A，
所以DE⊥平面ACC1A1.
又DE⊂平面ADE，
故平面ADE⊥平面ACC1A1.
（2）如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系．
不妨设AA1＝，则AB＝2，相关各点的坐标分别是A（0，－1,0），B（，0,0），C1（0,1，），D（，－，）．
易知＝（，1,0），＝（0,2，），＝（，，）．
设平面ABC1的一个法向量为n＝（x，y，z），
则有
解得x＝－y，z＝－y.
故可取n＝（1，－，）．
所以cos〈n，〉＝＝＝.
由此可知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为.
22．（12分）如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.
（1）设E是DC的中点，求证：
D1E∥平面A1BD；
（2）求二面角A1—BD—C1的余弦值．
解
（1）证明：
在图中连接B，E，则四边形DABE为正方形，
∴BE＝AD＝A1D1，且BE∥AD∥A1D1.
∴四边形A1D1EB为平行四边形．
∴D1E∥A1B.
又D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，
∴D1E∥平面A1BD.
（2）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA＝1，则D（0,0,0），A（1,0,0），B（1,1,0），C1（0,2,2），A1（1,0,2）．
∴＝（1,0,2），＝（1,1,0）．
设n＝（x，y，z）为平面A1BD的一个法向量，
由n⊥，n⊥，得
取z＝1，则n＝（－2,2,1）．
又DC1＝（0,2,2），＝（1,1,0），
设m＝（x1，y1，z1）为平面C1BD的一个法向量，
由m⊥，m⊥，
得取z1＝1，则m＝（1，－1,1）．
设m与n的夹角为α，二面角A1－BD－C1为θ，显然θ为锐角，
∴cosα＝＝＝－.
∴cosθ＝，
即所求二面角A1－BD－C1的余弦值为.
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