matlab复变函数画图形.docx
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matlab复变函数画图形
matlab复变函数画图形
第四篇计算机仿真
第二十一章计算机仿真在复变函数中的应用
基于MATLAB语言的广泛应用,我们介绍的计算机仿真方法主要立足于对MATLAB语言的仿真介绍,而其它的数学工具软件,MATHEMATIC,MATHCAD,MAPLE,的仿真方法是类似的,
本章将重点介绍使用MATLAB进行复数、复变函数的各类基本运算以及定理的验证,并介绍仿真计算留数、积分的方法,以及复变函数中Taylor级数展开,Laplace变换和Fourier变换,
21.1复数运算和复变函数的图形
21.1.1复数的基本运算
1复数的生成
复数可由语句z=a+b*i生成，也可简写成z=a+bi;另一种生成复数的语句是z=r*exp（i*theta），其中theta是复数辐角的弧度值，r是复数的模（
2复矩阵的生成
创建复矩阵有两种方法（
（1）一般方法
例21.1.1创建复矩阵的一般方法（
【解】仿真程序为
A=[3+5*I-2+3ii5-i9*exp（i*6）23*exp（33i）]
%运行后答案为A=3.0000+5.0000i-2.0000+3.0000i0+1.0000i
5.0000-1.0000i8.6415-2.5147i-0.3054+22.9980i
说明:
%后为注释语句,不需输入）
（2）可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式
例21.1.2将实、虚部合并构成复矩阵
【解】仿真程序为
re=rand（3,2）;
im=rand（3,2）;
com=re+i*im
%运行后答案为com=0.9501+0.4565i0.4860+0.4447i
0.2311+0.0185i0.8913+0.6154i
0.6068+0.8214i0.7621+0.7919i21.1.2复数的运算
1复数的实部和虚部
复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现（调用形式如下:
real（z）返回复数z的实部;
imag（z）返回复数z的虚部.
2共轭复数
复数的共轭可由函数conj实现（调用形式为:
conj（z）返回复数z的共轭复数.
3复数的模与辐角
复数的模与辐角的求取由函数abs和angle实现（调用形式为:
abs（z）返回复数z的模;
angle（z）返回复数z的辐角.
例21.1.1求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角（
113i（34i）（25i），,,82132i，i4ii,，i1i,2i
（1）;
（2）;（3）;（4）（
【解】a=[1/（3+2i）1/i-3i/（1-i）（3+4i）*（2-5i）/2ii^8-4*i^21+i]
%a=0.2308-0.1538i1.5000-2.5000i-3.5000-13.0000i1.0000-3.0000i
real（a）
%ans=0.23081.5000-3.50001.0000
（注明:
凡ans及其后面的内容均不需输入,它是前面语句的答案,本句ans是real（a）的答案）
imag（a）
%ans=-0.1538-2.5000-13.0000-3.0000
conj（a）
%ans=0.2308+0.1538i1.5000+2.5000i-3.5000+13.0000i1.0000+3.0000i
abs（a）
%ans=0.27742.915513.46293.1623
angle（a）
ans=-0.5880-1.0304-1.8338-1.2490%
4复数的乘除法
复数的乘除法运算由“*”和“/”实现（
5复数的平方根
复数的平方根运算由函数sqrt实现（调用形式如下:
sqrt（z）返回复数z的平方根值
6复数的幂运算
复数的幂运算的形式是z^n，结果返回复数z的n次幂（7复数的指数和对数运算
复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现（调用形式如下:
exp（z）返回复数z的以e为底的指数值;
log（z）返回复数z的以e为底的对数值.例21.1.2求下列式的值（
πi2ln（,10）e
（1）;
（2）（
【解】log（-10）
%ans=2.3026+3.1416i
exp（pi/2*i）
%ans=0.0000+1.0000i21.1.3复变函数的图形
1.整幂函数的图形2z例21.1.6绘出幂函数的图形.
【解】z=cplxgrid（30）;
cplxmap（z,z.^2）;
colorbar（'vert'）;
title（'z^2'）
%（如图21.1所示）
2z图21.1复变函数的图形
2.根式函数的图形
12z例21.1.7绘出幂函数的图形
【解】z=cplxgrid（30）;
cplxroot
（2）;
colorbar（'vert'）;
title（'z^{1/2}'）%（如图21.2）.
12z图21.2复变函数的图形
3.复变函数中对数函数的图形
Lnz例21.1.3绘出对数函数的图形.
【解】
z=cplxgrid（20）;
w=log（z）;
fork=0:
3
w=w+i*2*pi;
surf（real（z）,imag（z）,imag（w）,real（w））;
holdon
title（'Lnz'）
end
Lnz图21.3对数函数view（-75,30）%（如图21.3）
例21.1.4计算机仿真编程实践:
nzkn（1,2,,）,,,,n,2kz,,10若对应为的根，其中且取整数.试用计算机仿真编程验证下列数学恒等式
n1,0,,nk,1（）zz,km,m,1mk（）,成立.
【解】仿真程序
n=round（1000*random（'beta',1,1））+1
%n=input（'pleaseentern='）
su=1;
sum=0;
fors=1:
n
N（s）=exp（i*2*s*pi/n）;
end
fork=1:
n
fors=1:
n
ifs~=k
su=1/（N（k）-N（s））*su;
end
end
sum=sum+su;
su=1;
end
sum
%仿真验证结果为:
n=735sum=2.2335e-016-5.1707e-016i
其中n的值为随机产生的整数，可见其和的实部和虚部均接近于零。
另一篇:
matlab表现复变函数（四维）的方法是用三维空间坐标再加上颜色，类似于地球仪用颜色表示海洋与高山。
单值函数:
单叶
多值函数:
多叶
matlab使用下列函数进行复变函数的做图:
cplxgrid:
构建一个极坐标的复数数据网格
z=cplxgrid（m）;%产生（m+1）*（2*m+1）的极坐标下的复数数据网格。
最大半径为1的圆面cplxmap:
对复变函数做图
cplxmap（z,f（z）,[optionalbound]）%画复变函数的图形，可选项用以选择函数的做图范围cplxmap做图时，以xy平面表示自变量所在的复平面，以z轴表示复变函数的实部，颜色表示复变函数的虚部
cplxroot:
画复数的n次函数曲面
cplxroot（n）%画复数n次根的函数曲面,复数为最大半径为1的圆面
cplxroot（n,m）%画复数n次根的函数曲面,复数为最大半径为1的圆面,为（m+1）*（2m+1）的方阵
例1:
画复数z^3的图形
z=3*cplxgrid（30）;
cplxmap（z,z.^3）;
colorbar
其结果如图
可见，自变量z的取值在水平面的半径小于3的园内。
cplxmap做图时，以xy平面表示自变量所在的复平面，以z轴表示复变函数的实部，颜色表示复变函
数的虚部
由于函数为单页的，所以函数是单值的
例2:
画复数（z-0.5）^0.5的图形
仿照cplxroot函数的程序，编程如下
m=20;
n=2;
r=（0:
m）'/m;
theta=pi*（-m:
m）/m;z=r*exp（i*theta）-0.5;
w1=z.^（1/n）;
subplot（2,2,1）,surf（real（z）,imag（z）,real（w1）,imag（w1））;colorbar
w2=w1.*exp（i*2*pi/n）;
subplot（2,2,2）,surf（real（z）,imag（z）,real（w2）,imag（w2））;colorbar
subplot（2,1,2）
surf（real（z）,imag（z）,real（w1）,imag（w1））;holdon
surf（real（z）,imag（z）,real（w2）,imag（w2））;colorbar
如果仅使用w1=z.^（1/n）;，则所得结果为图（2，2，1）
可见，对于多值函数，MATLAB仅仅是对其主值进行计算。
例3:
复变函数1/（1-z）的级数展开
复变函数1/（1-z）是级数展开中常用的一个函数。
当abs（z）<1时，它的泰勒展开式为
1/（1-z）=求和（k=0,+无穷）z^k
当abs（z）>1时，它的罗朗展开式为
1/（1-z）=求和（k=-无穷,-1）z^k
泰勒展开与罗朗展开的区别
在复变函数里面,一些函数无法被展开为泰勒级数,因为那里存在一些奇点。
但是如果变量x是负指
数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数,这就是洛朗级数.
从形式上看,泰勒级数是只含正幂项和常数项.洛朗级数不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的
项。
有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。
可以认为泰勒级数是洛朗级数的一种特殊形式
m=30;
r=2*（0:
m）'/m;
theta=pi*（-m:
m）/m;z=r*exp（i*theta）-0.5;z（find（z==1））=nan;z1=z;
z1（abs（z1）>=1）=nan;w1=1;u1=1;
fork=1:
100
u1=u1.*z1;
w1=u1+w1;
end
subplot（2,2,1）
cplxmap（z1,w1）
colorbar
z2=z;
z2（abs（z2）<=1）=nan;w2=1./z2;u2=1./z2;fork=1:
100
u2=u2./z2;
w2=u2+w2;
end
subplot（2,2,2）
cplxmap（z2,-w2）
colorbar
subplot（2,2,3）
cplxmap（z,1./（1-z））
colorbar
temp1=caxis;
subplot（2,2,4）
cplxmap（z1,w1）
holdon
cplxmap（z2,-w2）
caxis（temp1）
axis（[min（min（real（z）））,max（max（real（z）））,min（min（imag（z）））,max（max（imag（z）））,min（min（re
al（1./（1-z））））,max（max（real（1./（1-z））））]）colorbar
图（2，2，1）为泰勒展开，图（2，2，2）为罗朗展开
图（2，2，3）为matlab计算结果，图（2，2，4）为泰勒展开和罗朗展开的综合结果
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