中考数学高频考点剖析专题15 平面几何之位置关系问题解析卷.docx
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中考数学高频考点剖析专题15平面几何之位置关系问题解析卷
备考2019中考数学高频考点剖析
专题十五平面几何之位置关系问题
考点扫描☆聚焦中考
位置关系，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括直线相交和直线平行两方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。
也有少量的解析题。
解析题主要以几何图形的综合为主。
结合近几年来全国各地中考的实例，我们从三方面进行平面几何位置问题的探讨：
（1）直线相交；
（2）直线平行；
（3）相交与平行的综合考查．
考点剖析☆典型例题
例1如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是（ ）
A．∠1=∠6B．∠2=∠6C．∠1=∠3D．∠5=∠7
【解答】解：
∵∠2=∠6（已知），
∴a∥b（同位角相等，两直线平行），
则能使a∥b的条件是∠2=∠6，
故选：
B．
例2如图，小明从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（ ）
A．右转80°B．左转80°C．右转100°D．左转100°
【解答】解：
60°+20°=80°．
由北偏西20°转向北偏东60°，需要向右转．
故选：
A．
例3（2017•新疆）如图，AB∥CD，∠A=50°，∠C=30°，则∠AEC等于（ ）
A．20°B．50°C．80°D．100°
【考点】JA：
平行线的性质．
【分析】先根据平行线的性质，得到∠ADC=∠A=50°，再根据三角形外角性质，即可得到∠AEC的度数．
【解答】解：
∵AB∥CD，∠A=50°，
∴∠ADC=∠A=50°，
∵∠AEC是△CDE的外角，∠C=30°，
∴∠AEC=∠C+∠D=30°+50°=80°，
故选：
C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：
两直线平行，内错角相等．
例4若∠A与∠B的两边分别垂直，请判断这两个角的等量关系．
（1）如图1，∠A与∠B的关系是 ∠A=∠B ；如图2，∠A与∠B的关系是 ∠A+∠B=180° ；
（2）若∠A与∠B的两边分别平行，试探索这两个角的等量关系，画图并证明你的结论．
【解答】
（1）如图1，∠A=∠B，
∵∠ADE=∠BCE=90°，∠AED=∠BEC，
∴∠A=180°﹣∠ADE﹣∠AED，
∠B=180°﹣∠BCE﹣∠BEC，
∴∠A=∠B，
如图2，∠A+∠B=180°；
∴∠A+∠B=360°﹣90°﹣90°=180°．
∴∠A与∠B的等量关系是互补；
故答案为：
∠A=∠B，∠A+∠B=180°；
（2）如图3，∠A=∠B，
∵AD∥BF，∴∠A=∠1，
∵AE∥BG，∴∠1=∠B，
∴∠A=∠B；
如图4，∠A+∠B=180°，
∵AD∥BG，
∴∠A=∠2，
∵AE∥BF，
∴∠2+∠B=180°，
∴∠A+∠B=180°．
例5如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°
（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，在
（1）的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？
（3）如图3，在
（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？
（2、3小题只需选一题说明理由）
【考点】JB：
平行线的判定与性质．
【分析】
（1）先根据CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可知∠BAC+∠ACD=180，故可得出结论；
（2）过E作EF∥AB，根据平行线的性质可知EF∥AB∥CD，∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，故∠BAE+∠ECD=90°，再由∠MCE=∠ECD即可得出结论；
（3）根据AB∥CD可知∠BAC+∠ACD=180°，∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，故∠BAC=∠PQC+∠QPC．
【解答】解：
（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB∥CD；
（2）∠BAE+
∠MCD=90°；
过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠E=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠MCE=∠ECD，
∴∠BAE+
∠MCD=90°；
（3）∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，
∴∠BAC=∠PQC+∠QPC．
考点过关☆专项突破
类型一相交线问题
1.（2018·浙江衢州·3分）如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
【考点】同位角
【分析】根据同位角就是：
两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角解答即可．
【解答】解：
由同位角的定义可知，∠1的同位角是∠4．
故选C．
【点评】本题考查了同位角问题，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解．
2.把一副直角三角板ABC（含30°、60°角）和CDE（含45°、45°角）如图放置，使直角顶点C重合，若DE∥BC，则∠1的度数是（ ）
A．75°B．105°C．110°D．120°
【解答】解：
∵DE∥BC，
∴∠E=∠ECB=45°，
∴∠1=∠ECB+∠B=45°+60°=105°，
故选：
B．
3.（2018·广东广州·3分）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ）
A.∠4，∠2B.∠2，∠6C.∠5，∠4D.∠2，∠4
【答案】B
【考点】同位角、内错角、同旁内角
【解析】【解答】解：
∵直线AD，BE被直线BF和AC所截，
∴∠1与∠2是同位角，∠5与∠6是内错角，
故答案为：
B.
【分析】同位角：
两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。
内错角：
两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。
根据此定义即可得出答案.
4.（2018·广西贺州·3分）如图，下列各个角中，互为对顶角的是.
【解答】解：
互为对顶角的是：
∠1和∠2．
5.．如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，则∠BOD的度数等于（ ）
A．20°B．30°C．35°D．40°
【考点】J2：
对顶角、邻补角；IJ：
角平分线的定义．
【分析】根据角平分线定义求出∠AOC=
∠EOC=35°，根据对顶角的定义即可求出∠BOD的度数．
【解答】解：
∵OA平分∠EOC，∠EOC=70°，
∴∠AOC=
∠EOC=35°，
∴∠BOD=∠AOC=35°．
故选：
C．
6.如图，直线AB、CD相交于点O，OF⊥CO，∠AOF与∠BOD的度数之比为3：
2，则∠AOC的度数是（ ）
A．18°B．45°C．36°D．30°
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【分析】根据垂直定义可得∠FOC=90°，再根据∠AOF与∠BOD的度数之比为3：
2可得∠AOF：
∠AOC=3：
2，然后可得答案．
【解答】解：
∵OF⊥CO，
∴∠FOC=90°，
∵∠AOF与∠BOD的度数之比为3：
2，
∴∠AOF：
∠AOC=3：
2，
∴∠AOC=90°×
=36°，
故选：
C．
7.如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．
（1）直接写出图中∠AOC的对顶角：
∠BOD ，∠EOB的邻补角：
∠AOE
（2）若∠AOC=70°且∠BOE：
∠EOD=2：
3，求∠AOE的度数．
【考点】J2：
对顶角、邻补角．
【分析】
（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；
（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：
∠EOD=2：
3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．
【解答】解：
（1）∠AOC的对顶角是∠BOD，∠EOB的邻补角是∠AOE，
故答案为：
∠BOD，∠AOE；
（2）∵∠AOC=70°，
∴∠BOD=∠AOC=70°，
∵∠BOE：
∠EOD=2：
3，
∴∠BOE=
×70°=28°，
∴∠AOE=180°﹣28°=152°．
∴∠AOE的度数为152°．
类型二平行线问题
1.（2018•山东枣庄•3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．30°C．45°D．50°
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：
∵直线m∥n，
∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°，
故选：
D．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
2．（2018•山东淄博•4分）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
A．4B．6C．
D．8
【考点】KO：
含30度角的直角三角形；JA：
平行线的性质；KJ：
等腰三角形的判定与性质．
【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．
【解答】解：
∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMB=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故选：
B．
【点评】本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
3．（2018•山东菏泽•3分）如图，直线a∥b，等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a、b上，若∠1=30°，则∠2的度数是（ ）
A．45°B．30°C．15°D．10°
【考点】KW：
等腰直角三角形；JA：
平行线的性质．
【分析】根据a∥b，得到∠1+∠3+∠4+∠2=180°，将∠1=30°，∠3=45°，∠4=90°代入即可求出∠2的度数．
【解答】解：
如图．
∵a∥b，
∴∠1+∠3+∠4+∠2=180°，
∵∠1=30°，∠3=45°，∠4=90°，
∴∠2=15°，
故选：
C．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4.（2018·山东潍坊·3分）把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（ ）
A．45°B．60°C．75°D．82.5°
【分析】直接利用平行线的性质结合已知角得出答案．
【解答】解：
作直线l平行于直角三角板的斜边，
可得：
∠2=∠3=45°，∠3=∠4=30°，
故∠1的度数是：
45°+30°=75°．
故选：
C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
5.如图1，一张四边形纸片ABCD，∠A=50°，∠C=150°．若将其按照图2所示方式折叠后，恰好MD′∥AB，ND′∥BC，则∠D的度数为 80° ．
【解答】解：
∵△MND′由△MND翻折而成，
∴∠1=∠D′MN，∠2=∠D′NM，
∵MD′∥AB，ND′∥BC，∠A=50°，∠C=150°
∴∠1+∠D′MN=∠A=50°，∠2+∠D′NM=∠C=150°，
∴∠1=∠D′MN=
∠A=
=25°，∠2=∠D′NM=
∠C=
=75°，
∴∠D=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣25°﹣75°=80°．
故答案是：
80°．
6.如图，AB∥CD，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于
EF长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H．若∠D=116°，则∠DHB的大小为 32 度．
【解答】解：
∵AB∥CD，
∴∠D+∠ABD=180°，
又∵∠D=116°，
∴∠ABD=64°，
由作法知，BH是∠ABD的平分线，
∴∠DHB=
∠ABD=32°；
故答案为：
32．
7.（2018·湖南省衡阳·3分）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC的度数为 75° ．
【解答】解：
∵BC∥DE，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠FBC=∠EAB=
（180°﹣90°）=45°，
∵∠AFC是△AEF的外角，
∴∠AFC=∠FAE+∠E=45°+30°=75°．
故答案为：
75°．
8如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD的度数．请将解题过程填写完整．
解：
∵EF∥AD（已知）
∴∠2= ∠3 （ ）
又∵∠1=∠2（已知）
∴∠1=∠3（ ）
∴AB∥ DG （ ）
∴∠BAC+ ∠AGD =180°（ ）
∵∠BAC=70°（已知）
∴∠AGD= 110° ．
【解答】解：
∵EF∥AD（已知），
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠1=∠3（等量代换），
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠BAC=70°（已知），
∴∠AGD=110°．
故答案为：
∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG，内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110°．
类型三相交与平行综合问题
1．（2017张家界）如图，a∥b，PA⊥PB，∠1=35°，则∠2的度数是 55° ．
【考点】JA：
平行线的性质；J3：
垂线．
【分析】先延长AP交直线b于C，再根据平行线的性质以及三角形的外角性质进行计算即可．
【解答】解：
如图所示，延长AP交直线b于C，
∵a∥b，
∴∠C=∠1=35°，
∵∠APB是△BCP的外角，PA⊥PB，
∴∠2=∠APB﹣∠C=90°﹣35°=55°，
故答案为：
55°．
2．（2018•广安•3分）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD=150°，则∠ABC= 120 度．
【分析】先过点B作BF∥CD，由CD∥AE，可得CD∥BF∥AE，继而证得∠1+∠BCD=180°，∠2+∠BAE=180°，又由BA垂直于地面AE于A，∠BCD=150°，求得答案．
【解答】解：
如图，过点B作BF∥CD，
∵CD∥AE，
∴CD∥BF∥AE，
∴∠1+∠BCD=180°，∠2+∠BAE=180°，
∵∠BCD=150°，∠BAE=90°，
∴∠1=30°，∠2=90°，
∴∠ABC=∠1+∠2=120°．
故答案为：
120．
【点评】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
3．（2018·辽宁省阜新市）如图，已知AB∥CD，点E，F在直线AB，CD上，EG平分∠BEF交CD于点G，∠EGF=64°，那么∠AEF的度数为 52° ．
【解答】解：
∵AB∥CD，∠EGF=64°，∴∠BEG=∠EGF=64°．
又∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠BEG=128°，∴∠AEF=180°﹣128°=52°．
故答案为：
52°．
4.（2018·重庆市B卷）（8.00分）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．
【分析】依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°，再根据GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根据∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB=55°﹣35°=20°．
【解答】解：
∵∠EFG=90°，∠E=35°，
∴∠FGH=55°，
∵GE平分∠FGD，AB∥CD，
∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，
∵∠FHG是△EFH的外角，
∴∠EFB=55°﹣35°=20°．
【点评】考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
5.（2015•六盘水）如图，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3，请帮小颖说明理由．
【分析】根据两平行线间的距离相等，即可解答．
【解答】解：
∵直线l1∥l2，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3的底边AB上的高相等，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这3个三角形同底，等高，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这些三角形的面积相等．
即S1=S2=S3．
6.（2018•重庆）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．
【分析】依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°，再根据GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根据∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB=55°﹣35°=20°．
【解答】解：
∵∠EFG=90°，∠E=35°，
∴∠FGH=55°，
∵GE平分∠FGD，AB∥CD，
∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，
∵∠FHG是△EFH的外角，
∴∠EFB=55°﹣35°=20°．
7.如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在AB上．
（1）试找出∠1、∠2、∠3之间的关系并说出理由；
（2）如果点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化？
（3）如果点P在A、B两点外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B不重合）
【考点】平行线的性质．
【分析】
（1）过点P作l1的平行线，根据平行线的性质进行解题．
（2）（3）都是同样的道理．
【解答】解：
（1）∠1+∠2=∠3；
理由：
过点P作l1的平行线，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PQ，
∴∠1=∠4，∠2=∠5，（两直线平行，内错角相等）
∵∠4+∠5=∠3，
∴∠1+∠2=∠3；
（2）同
（1）可证：
∠1+∠2=∠3；
（3）∠1﹣∠2=∠3或∠2﹣∠1=∠3
理由：
当点P在下侧时，过点P作l1的平行线PQ，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PQ，
∴∠2=∠4，∠1=∠3+∠4，（两直线平行，内错角相等）
∴∠1﹣∠2=∠3；
当点P在上侧时，同理可得：
∠2﹣∠1=∠3．
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