C．W1＝W2D．无法判断
解析：
选C 根据功的定义，力F所做的功只与力F的大小及物体在力F的方向上发生的位移的大小有关，不需考虑其他力的影响，因两次的恒力相同，位移也相同，所以做功相同。
2．水平地面上有质量分别为m和4m的物块A和B，两者与地面的动摩擦因数均为μ。
细绳的一端固定，另一端跨过轻质动滑轮与A相连，动滑轮与B相连，如图4 1 2所示。
初始时，绳处于水平拉直状态。
若物块A在水平向右的恒力F作用下向右移动了距离s，重力加速度大小为g。
求：
图4 1 2
（1）物块B克服摩擦力所做的功；
（2）物块A、B的加速度大小。
解析：
（1）物块A移动了距离s，则物块B移动的距离为s1＝
s①
物块B受到的摩擦力大小为f＝4μmg②
物块B克服摩擦力所做的功为W＝fs1＝2μmgs。
③
（2）设物块A、B的加速度大小分别为aA、aB，绳中的张力为T。
由牛顿第二定律得F－μmg－T＝maA④
2T－4μmg＝4maB⑤
由A和B的位移关系得aA＝2aB⑥
联立④⑤⑥式得aA＝
⑦
aB＝
。
⑧
答案：
（1）2μmgs
（2）
变力做功的几种求法
1．平均值法
当力F的大小发生变化，且F、l呈线性关系时，F的平均值
＝
，用
计算F做的功。
2．图像法
图4 1 3
变力做的功W可用Fl图线与l轴所围成的面积表示。
l轴上方的面积表示力对物体做正功的多少，l轴下方的面积表示力对物体做负功的多少。
3．分段法（或微元法）
当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向（或反向）时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可，力做的总功W＝Fs路或W＝－Fs路。
4．等效替换法
若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以用求得的恒力的功来作为变力的功。
[典例] 如图4 1 4所示，一辆拖车通过光滑定滑轮将一重物G匀速提升，当拖车从A点水平移动到B点时，位移为s，绳子由竖直变为与竖直方向成θ的角度，求此过程中拖车对绳子所做的功。
图4 1 4
[思路点拨]
（1）拖车对绳子的拉力是变力。
（2）拖车对绳子所做的功与绳子对物体所做的功的大小相等。
[解析] 拖车对绳子做的功等于绳子对重物做的功。
以重物为研究对象，由于整个过程中重物匀速运动。
所以绳子的拉力大小FT＝G。
重物上升的距离等于滑轮右侧后来的绳长OB减去开始时的绳长OAl＝
－
＝
所以绳子对重物做功
W＝G·l＝
G
拖车对绳子做功等于绳子对重物做功，等于
G。
[答案]
G
由于拖车对绳子的拉力与重物的重力始终大小相等，常出现直接套用公式W＝Gs的错误，还可能出现生搬硬套W＝Gscosθ的错误。
这些都是因为忽视了拉力的方向在变，即拉力是变力，不能直接套用公式。
1.如图4 1 5所示，某个力F＝10N作用在半径为R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力F做的总功为（ ）
图4 1 5
A．0B．20πJ
C．10JD．10πJ
解析：
选B 利用微元法求解拉力F所做的功，可将圆周分成无限多小段，对每一小段，可以认为F与位移方向相同，而位移大小与对应弧长相同，则力F的总功为力F在各小段所做功的代数和，即WF＝F·2πR＝20πJ，故B正确。
2．用铁锤把钉子钉入木板，设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是（ ）
A．（
－1）dB．（
－1）d
C.
D.
d
解析：
选B 在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力成正比地增加，这属于变力做功问题，由于力与深度成正比，可先求出平均力、再用功的计算公式求解。
设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度d的关系满足F＝kd，由题意得，第一次做功W＝
1d＝
d，第二次做功W＝
2d′＝
d′，联立以上两式得d′＝－（
＋1）d（舍）或d′＝（
－1）d。
3.如图4 1 6所示，竖直向上抛出质量为m的小球，小球上升的最大高度为h，上升和下降过程中，空气阻力的大小均为F，则从抛出至回到出发点的过程中，重力对小球做的功为多少？
空气阻力对小球做的功为多少？
图4 1 6
解析：
物体的位置没有改变，所以重力做功为0。
在上升过程中，空气阻力方向向下，对小球做负功。
W1＝Fhcos180°＝－Fh。
在下降的过程中，空气阻力方向向上，还是对小球做负功，W2＝Fhcos180°＝－Fh。
所以空气阻力的总功应为它们的代数和W＝W1＋W2＝－2Fh。
答案：
0 －2Fh
几种常见力做功的特点
1．一对平衡力做功的特点
一对平衡力作用在同一物体上，若物体静止，则两个力都不做功；若物体运动，则这一对力所做的功均为零或一正一负代数和为零。
2．一对作用力与反作用力做功的特点
两个力作用在不同物体上，作用力做正功时，反作用力可能做正功，可能做负功，还可能不做功，总之，作用力做功与反作用力做功没有必然的联系，应具体情况具体分析。
3．摩擦力做功的特点
（1）摩擦力可以是动力，也可以是阻力，所以摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功（既不是动力也不是阻力）。
（2）互为作用力和反作用力的一对静摩擦力做功代数和为零。
（3）互为作用力和反作用力的一对滑动摩擦力做功代数和为负。
1．关于力对物体做功，下列说法正确的是（ ）
A．静摩擦力对物体一定不做功
B．滑动摩擦力对物体一定做功
C．一对平衡力对物体做功的代数和一定为零
D．合外力对物体不做功，物体一定处于平衡状态
解析：
选C 如果静摩擦力是动力或者阻力，就会对物体做正功或者负功，A错误；如果滑动摩擦力既不是动力也不是阻力，就对物体不做功，B错误；一对平衡力要么对物体都不做功，要么一个正功一个负功且代数和为零，C正确；根据匀速圆周运动知识，D错误。
2．如图4 1 7所示，A、B叠放在一起，用绳将A连在墙上，用力F拉着B向右移动，用F拉、fAB、fBA分别表示绳子的拉力、A对B的摩擦力和B对A的摩擦力，则下列说法中正确的是（ ）
图4 1 7
A．F做正功，fAB做负功，fBA做正功，F拉不做功
B．F和fBA做正功，F拉和fAB做负功
C．F做正功，fAB做负功，fBA和F拉不做功
D．F做正功，其他力不做功
解析：
选C 由W＝Flcosα和题意知，力F的作用点位移不为零，且与F方向相同，故F做正功；绳子拉力F拉的作用点位移为零，故F拉不做功；fBA的作用点位移为零，fBA不做功；fAB的作用点位移不为零，且与fAB方向相反，故fAB做负功，故C正确。
1．关于功的概念，以下说法正确的是（ ）
A．力是矢量，位移是矢量，所以功也是矢量
B．功有正、负之分，所以功可能有方向性
C．若某一个力对物体不做功，说明该物体一定没有位移
D．一个力对物体做的功等于这个力的大小、物体在该力作用下位移的大小及力和位移间夹角的余弦三者的乘积
解析：
选D 功是标量，只有大小没有方向，功的正负只是说明力是动力还是阻力，A、B选项错误；力对物体不做功，不一定物体没有位移，当力和位移夹角为90°时，力对物体也不做功，C选项错误；根据功的计算式W＝Flcosα知D选项正确。
2．有下列几种运动情况：
①用水平推力F推一质量为m的物体在光滑水平面上前进位移l；
②用水平推力F推一质量为2m的物体在粗糙水平面上前进位移l；
③用与水平方向成60°角斜向上的拉力F拉一质量为m的物体在光滑水平地面上前进位移2l；
④用与斜面平行的力F拉一质量为3m的物体在光滑斜面上前进位移l。
关于以上四种情况下力F做功的判断，正确的是（ ）
A．②情况做功最多 B．①情况做功最少
C．④情况做功最少D．四种情况做功一样多
解析：
选D 本题考查了对功的概念的理解，求解此类题目的关键是抓住力F、位移l和其夹角分析，找出在每一具体的物理情景中的F、l、α，代入W＝Flcosα进行计算，即可得到正确的答案。
3.如图1所示，用水平力F拉着重为100N的物体，在水平地面上向左匀速移动了5m，物体所受地面的摩擦力大小为20N，则（ ）
图1
A．重力做的功是500JB．拉力做的功为100J
C．拉力大小为120ND．拉力大小为100N
解析：
选B 重力方向上没有位移，所以重力不做功，A选项错误；在拉力作用下匀速移动，说明受力平衡，所以拉力大小等于摩擦力大小，即拉力大小为20N，选项C、D错误；由功的计算式可得拉力做的功为100J，选项B正确。
4．如图2所示，线拴着小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，圆的半径是1m，球的质量是0.1kg，线速度v＝1m/s，小球由A点运动到B点恰好是半圆周。
那么在这段运动中线的拉力做的功是（ ）
图2
A．0B．0.1J
C．0.314JD．无法确定
解析：
选A 物体所做的运动为曲线运动，物体受到线的拉力为变力，但由于线的拉力方向始终垂直于物体的速度方向，所以线的拉力对物体所做的功为零。
5．（多选）如图3所示，一端可绕O点自由转动的长木板上方放一个物块，手持木板的另一端，使木板从水平位置沿顺时针方向缓慢旋转，则在物块相对于木板滑动前的过程中（ ）
图3
A．重力做正功B．摩擦力做负功
C．摩擦力不做功D．支持力不做功
解析：
选AC 重力与速度方向成锐角，重力做正功；摩擦力与速度方向垂直，摩擦力不做功；支持力与速度方向成钝角，支持力做负功。
综上所述，A、C项正确。
6．如图4所示，滑雪者由静止开始沿斜坡从A点自由滑下，然后在水平面上前进至B点停下。
已知斜坡、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数均为μ，滑雪者（包括滑雪板）的质量为m，A、B两点间的水平距离为L。
在滑雪者经过AB段的过程中，摩擦力所做功的大小为（ ）
图4
A．大于μmgLB．小于μmgL
C．等于μmgLD．以上三种情况都有可能
解析：
选C 设水平部分的长度为x1，斜坡的长度为x2，斜坡与水平面的夹角为θ，则下滑的过程中摩擦力做功为W＝μmgx1＋μmgcosθ·x2＝μmg（x1＋x2cosθ）＝μmgL。
7．如图5所示，均匀长木板长l＝40cm，放在水平桌面上，它的右端与桌边相齐，木板质量为m＝2kg，与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2。
今用水平推力F将其匀速推下桌子，则水平推力做功为（g取10m/s2）（ ）
图5
A．0.8JB．1.6J
C．8JD．4J
解析：
选A 只要将木板的重心推离桌面，木板就会掉下桌面，由滑动摩擦力公式得f＝μN＝μmg＝0.2×2×10N＝4N，W＝F·s＝4×0.2J＝0.8J，A正确。
明确木板离开桌面的临界条件，准确利用功的公式求解。
8．（多选）如图6所示，物块B与水平地面接触，物块A置于物块B之上，两物块相对静止，一起向右运动（图中a为加速度，力F沿水平方向向右），则（ ）
图6
A．图甲中，A、B间摩擦力对A做正功
B．图乙中，A、B间摩擦力对B做负功
C．图丙中，A、B间摩擦力对B做正功
D．图丁中，A、B间摩擦力对A做负功
解析：
选BCD 先确定摩擦力方向，再结合物块相对地面的位移方向进行分析判断。
对确定的研究对象，分析其所受静摩擦力方向与运动方向间的关系，根据功的定义判断做不做功、做正功还是做负功。
如图甲中，两物块a＝0，即匀速向右运动，A、B间必无摩擦力（若B对A有摩擦力，则A水平方向所受合力不为零，必做加速运动，而不会a＝0），也就谈不上做功了。
又如图乙中，A、B两物块相对静止，以同一加速度a向右运动，则A必受到B的静摩擦力（水平向右，与a方向一致，以产生a），由牛顿第三定律知，A必对B施加向左的静摩擦力，与运动方向相反，对B做负功，故B正确。
同理可知，C、D正确。
9.A、B两物体的质量之比mA∶mB＝2∶1，它们以相同的初速度v0在水平面上做匀减速直线运动，直到停止，其速度图像如图7所示。
那么，A、B两物体所受摩擦力之比FA∶FB与A、B两物体克服摩擦力做的功之比WA∶WB分别为（ ）
图7
A．2∶1,4∶1B．4∶1,2∶1
C．1∶4,1∶2D．1∶2,1∶4
解析：
选B 由题图可知，物体A的加速度大小aA＝
，物体B的加速度大小aB＝
，根据牛顿第二定律可得，物体A、B受到的摩擦力分别为FA＝mAaA，FB＝mBaB，又mA∶mB＝2∶1，所以FA∶FB＝4∶1；vt图像中图线与横轴所围的面积表示位移，从开始运动到停止，A、B两物体的位移分别为lA＝
，lB＝
＝v0t，又功W＝Flcosα，所以WA∶WB＝FAlA∶FBlB＝2∶1，故选项B正确。
10．一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1m/s。
从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图8甲、乙所示。
设在第1s内、第2s内、第3s内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系式正确的是（ ）
图8
A．W1＝W2＝W3B．W1C．W1解析：
选B 由vt图像可知第1s内、第2s内、第3s内的力和位移均为正方向，l1＝
t＝0.5m，l2＝
t＝0.5m，l3＝v0t＝1m，F1＝1N，F2＝3N，F3＝2N。
W1＝F1l1＝0.5J，W2＝F2l2＝1.5J，W3＝F3l3＝2J，所以W111．如图9所示，在光滑水平面上，物体受两个相互垂直的大小分别为F1＝3N和F2＝4N的恒力，其合力在水平方向上，从静止开始运动10m，求：
图9
（1）F1和F2分别对物体做的功是多少？
代数和为多大？
（2）F1和F2的合力为多大？
合力做功是多少？
解析：
（1）力F1做的功
W1＝F1lcosθ1＝3×10×
J＝18J。
力F2做的功
W2＝F2lcosθ2＝4×10×
J＝32J。
W1与W2的代数和
W＝W1＋W2＝18J＋32J＝50J。
（2）F1与F2的合力F＝
＝
N＝5N，
合力F做的功W′＝Fl＝5×10J＝50J。
答案：
（1）18J 32J 50J
（2）5N 50J
12．一列火车质量为1.0×105kg，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍，其牵引力的大小与火车前进的距离是线性关系，且F＝103x＋f0（f0是火车所受的阻力）。
当此火车前进100m时，牵引力所做的功是多少？
（g取10m/s2）
解析：
方法一：
用平均力来求功。
由于阻力f0＝0.05mg＝0.05×1×105×10N＝5×104N，又由牵引力与前进距离x的关系式F＝103x＋f0可知，当x＝0时，牵引力F1＝f0＝5×104N；当x＝100m时，牵引力F2＝103×100N＋5×104N＝1.5×105N，所以在这一过程中牵引力的平均值为
＝
＝
N＝1.0×105N，因此该火车前进100m的过程中，牵引力做的功为W＝
x＝1.0×105×100J＝1×107J。
方法二：
用图像法求解。
因为阻力f0＝0.05mg＝0.05×105×10N＝5×104N，则牵引力的表达式为F＝103x＋5×104N，其牵引力与位移的图像如图所示，则图像所包含的“面积”（阴影部分）即表示牵引力所做的功，所以W＝
×（0.5＋1.5）×105×100J＝1×107J。
答案：
1×107J
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