新人教版数学九年级下册全册教案.docx
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新人教版数学九年级下册全册教案
第二十六章反比例函数
26.1反比例函数
26.1.1反比例函数
1．理解反比例函数的概念；（难点）
2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；（重点）
3．能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．（重点）
一、情境导入
1．京广高铁全程为2298km，某次列车的平均速度v（单位：
km/h）与此次列车的全程运行时间t（单位：
h）有什么样的等量关系？
2．冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃，每分钟平均变化的温度T（单位：
℃）与冷冻时间t（单位：
min）有什么样的等量关系？
问题：
这些关系式有什么共同点？
二、合作探究
探究点一：
反比例函数的定义
【类型一】反比例函数的识别
下列函数中：
①y＝
；②3xy＝1；③y＝
；④y＝
.反比例函数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：
①y＝
是反比例函数，正确；②3xy＝1可化为y＝
，是反比例函数，正确；③y＝
是反比例函数，正确；④y＝
是正比例函数，错误．故选C.
方法总结：
判断一个函数是否是反比例函数，首先要看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的定义去判断，其形式为y＝
（k为常数，k≠0），y＝kx－1（k为常数，k≠0）或xy＝k（k为常数，k≠0）．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型二】根据反比例函数的定义确定字母的值
已知函数y＝（2m2＋m－1）x2m2＋3m－3是反比例函数，求m的值．
解析：
由反比例函数的定义可得2m2＋3m－3＝－1，2m2＋m－1≠0，然后求解即可．
解：
∵y＝（2m2＋m－1）x2m2＋3m－3是反比例函数，∴
解得m＝－2.
方法总结：
反比例函数也可以写成y＝kx－1（k≠0）的形式，注意x的次数为－1，系数不等于0.
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
探究点二：
用待定系数法确定反比例函数解析式
【类型一】确定反比例函数解析式
已知变量y与x成反比例，且当x＝2时，y＝－6.求：
（1）y与x之间的函数解析式；
（2）当y＝2时，x的值．
解析：
（1）由题意中变量y与x成反比例，设出函数的解析式，利用待定系数法进行求解．
（2）代入求得的函数解析式，解得x的值即可．
解：
（1）∵变量y与x成反比例，∴设y＝
（k≠0），∵当x＝2时，y＝－6，∴k＝2×（－6）＝－12，∴y与x之间的函数解析式是y＝－
；
（2）当y＝2时，y＝－
＝2，解得x＝－6.
方法总结：
用待定系数法求反比例函数解析式时要注意：
①设出含有待定系数的反比例函数解析式，形如y＝
（k为常数，k≠0）；②将已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数；④写出解析式．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型二】解决与正比例函数和反比例函数有关的问题
已知y＝y1＋y2，y1与（x－1）成正比例，y2与（x＋1）成反比例，当x＝0时，y＝－3；当x＝1时，y＝－1.求：
（1）y关于x的关系式；
（2）当x＝－
时，y的值．
解析：
根据正比例函数和反比例函数的定义得到y1，y2的关系式，进而得到y的关系式，把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数，也就求得了所要求的关系式．
解：
（1）∵y1与（x－1）成正比例，y2与（x＋1）成反比例，∴设y1＝k1（x－1）（k1≠0），y2＝
（k2≠0），∵y＝y1＋y2，∴y＝k1（x－1）＋
.当x＝0时，y＝－3；当x＝1时，y＝－1，∴
∴k1＝1，k2＝－2，∴y＝x－1－
；
（2）把x＝－
代入
（1）中函数关系式得y＝－
.
方法总结：
能根据题意设出y1，y2的函数关系式并用待定系数法求得等量关系是解答此题的关键．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
探究点三：
建立反比例函数模型及其相关问题
写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是否为反比例函数．
（1）底边为3cm的三角形的面积ycm2随底边上的高xcm的变化而变化；
（2）一艘轮船从相距skm的甲地驶往乙地，轮船的速度vkm/h与航行时间th的关系；
（3）在检修100m长的管道时，每天能完成10m，剩下的未检修的管道长ym随检修天数x的变化而变化．
解析：
根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义判断其是否为反比例函数．
解：
（1）两个变量之间的函数表达式为：
y＝
x，不是反比例函数；
（2）两个变量之间的函数表达式为：
v＝
，是反比例函数；
（3）两个变量之间的函数表达式为：
y＝100－10x，不是反比例函数．
方法总结：
解决本题的关键是根据实际问题中的等量关系，列出函数解析式，然后根据解析式的特点判断是什么函数．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
三、板书设计
1．反比例函数的定义：
形如y＝
（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
2．反比例函数的形式：
（1）y＝
（k为常数，k≠0）；
（2）xy＝k（k为常数，k≠0）；
（3）y＝kx－1（k为常数，k≠0）．
3．确定反比例函数的解析式：
待定系数法．
4．建立反比例函数模型．
让学生从生活实际中发现数学问题，从而引入学习内容，这不仅激发了学生学习数学的兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新知创造了现实背景．因为反比例函数这一部分内容与正比例函数相似，在教学过程中，以学生学习的正比例函数为基础，在学生之间创设相互交流、相互合作、相互帮助的关系，让学生通过充分讨论交流后得出它们的相同点，在此基础上来揭示反比例函数的意义.
26.1.2反比例函数的图象和性质
第1课时反比例函数的图象和性质
1．会用描点的方法画反比例函数的图象；（重点）
2．理解反比例函数图象的性质．（重点，难点）
一、情境导入
已知某面粉厂加工出了4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B市．则所需要的时间t（天）和每天运出的面粉总重量m（吨）之间有怎样的函数关系？
你能在平面直角坐标系中画出这个图形吗？
二、合作探究
探究点一：
反比例函数的图象
【类型一】反比例函数图象的画法
作函数y＝
的图象．
解析：
根据函数图象的画法，进行列表、描点、连线即可．
解：
列表：
x
－4
－2
－1
1
2
4
y
－1
－2
－4
4
2
1
描点、连线：
方法总结：
作图的一般步骤为：
①列表；②描点；③连线；④注明函数解析式．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型二】反比例函数与一次函数图象位置的确定
在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝
和y＝kx＋3的图象大致是（ ）
解析：
A.由函数y＝
的图象可知k＞0与y＝kx＋3的图象中k＞0且过点（0，3）一致，故A选项正确；B.由函数y＝
的图象可知k＞0与y＝kx＋3的图象中k＞0且过点（0，3）矛盾，故B选项错误；C.由函数y＝
的图象可知k＜0与y＝kx＋3的图象中k＜0且过点（0，3）矛盾，故C选项错误；D.由函数y＝
的图象可知k＞0与y＝kx＋3的图象中k＜0且过点（0，3）矛盾，故D选项错误．故选A.
方法总结：
解答此类问题时，通常先根据双曲线图象所在的象限确定k的符号，再确定一次函数的系数及经过的点是否也符合图案，如果符合，可能正确；如果不符合，一定错误．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型三】实际问题中函数图象的确定
若按xL/min的速度向容积为20L的水池中注水，注满水池需ymin.则所需时间ymin与注水速度xL/min之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）
解析：
∵水池的容积为20L，∴xy＝20，∴y＝
（x＞0），故选B.
方法总结：
解答此类问题要先根据题意列出反比例函数关系式，然后依据实际情况确定函数自变量的取值范围，从而确定函数图象．
【类型四】反比例函数图象的对称性
若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝
图象的一个交点坐标为（－1，2），则另一个交点坐标为（ ）
A．（2，－1）B．（1，－2）
C．（－2，－1）D．（－2，1）
解析：
∵正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝
的图象均关于原点对称，∴两函数的交点也关于原点对称．∵一个交点的坐标是（－1，2），∴另一个交点的坐标是（1，－2）．故选B.
方法总结：
反比例函数y＝
（k≠0）的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴是一、三（或二、四）象限角平分线所在的直线，对称中心是坐标原点．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
探究点二：
反比例函数的性质
【类型一】根据解析式判定反比例函数的性质
已知反比例函数y＝－
，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点（－1，2）
B．y随x的增大而增大
C．图象分布在第二、四象限
D．若x＞1，则－2＜y＜0
解析：
A.（－1，2）满足函数解析式，则图象必经过点（－1，2），命题正确；B.在第二、四象限内y随x的增大而增大，忽略了x的取值范围，命题错误；C.命题正确；D.根据y＝－
的图象可知，在第四象限内命题正确．故选B.
方法总结：
解答此类问题要熟记反比例函数图象的性质．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题
【类型二】根据反比例函数的性质判定系数的取值范围
在反比例函数y＝
的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的值可以是（ ）
A．－1B．3C．1D．2
解析：
∵反比例函数y＝
的图象在每一条曲线上，y都随x的增大而减小，∴1－k＞0，解得k＜1.故选A.
方法总结：
对于函数y＝
，当k＞0时，其图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，熟记这些性质在解题时能事半功倍．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
三、板书设计
1．反比例函数的图象：
双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形．
2．反比例函数的性质：
（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；
（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大．
通过引导学生自主探索反比例函数的性质，全班学生都能主动地观察与讨论，实现了在学习中让学生自己动手、主动探索、合作交流的目的．同时通过练习让学生理解“在每个象限内”这句话的必要性，体会数学的严谨性.
第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用
1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质；（重点）
2．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法；（重点）
3．探索反比例函数和一次函数、几何图形以及图形面积的综合应用．（难点）
一、情境导入
如图所示，对于反比例函数y＝
（k>0），在其图象上任取一点P，过P点作PQ⊥x轴于Q点，并连接OP.
试着猜想△OPQ的面积与反比例函数的关系，并探讨反比例函数y＝
（k≠0）中k值的几何意义．
二、合作探究
探究点一：
反比例函数解析式中k的几何意义
如图所示，点A在反比例函数y＝
的图象上，AC垂直x轴于点C，且△AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．
解析：
先设点A的坐标，然后用点A的坐标表示△AOC的面积，进而求出k的值．
解：
∵点A在反比例函数y＝
的图象上，∴xA·yA＝k，∴S△AOC＝
·k＝2，∴k＝4，∴反比例函数的表达式为y＝
.
方法总结：
过双曲线上任意一点与原点所连的线段与坐标轴和向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于|k|的一半．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
探究点二：
反比例函数的图象和性质的综合运用
【类型一】利用反比例函数的性质比较大小
若M（－4，y1）、N（－2，y2）、P（2，y3）三点都在函数y＝
（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y2＞y3＞y1B．y2＞y1＞y3
C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y1
解析：
∵k＜0，故反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大．∵M（－4，y1）、N（－2，y2）是双曲线y＝
（k＜0）上的两点，∴y2>y1>0.∵2＞0，P（2，y3）在第四象限，∴y3＜0.故y1，y2，y3的大小关系为y2＞y1＞y3.故选B.
方法总结：
反比例函数的解析式是y＝
（k≠0），当k＜0时，图象在第二、四象限，且在每个现象内y随x的增大而增大；当k＞0，图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型二】利用反比例函数计算图形的面积
如图，直线l和双曲线y＝
（k＞0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积是S1，△BOD的面积是S2，△POE的面积是S3，则（ ）
A．S1＜S2＜S3
B．S1＞S2＞S3
C．S1＝S2＞S3
D．S1＝S2＜S3
解析：
如图，∵点A与点B在双曲线y＝
上，∴S1＝
k，S2＝
k，S1＝S2.∵点P在双曲线的上方，∴S3＞
k，∴S1＝S2＜S3.故选D.
方法总结：
在反比例函数的图象上任选一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是
，且保持不变．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型三】反比例函数与一次函数的交点问题
函数y＝
的图象与直线y＝－x没有交点，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞1B．k＜1
C．k＞－1D．k＜－1
解析：
直线y＝－x经过第二、四象限，要使两个函数没有交点，那么函数y＝
的图象必须位于第一、三象限，则1－k＞0，即k＜1.故选B.
方法总结：
判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝
在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝
有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝
没有交点．
【类型四】反比例函数与一次函数的综合问题
如图，已知A（－4，
），B（－1，2）是一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝
（m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D.
（1）根据图象直接回答：
在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB的面积相等，求点P的坐标．
解析：
（1）观察函数图象得到当－4＜x＜－1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；
（2）先利用待定系数法求出一次函数解析式，然后把A点或B点坐标代入y＝
可计算出m的值；（3）设出P点坐标，利用△PCA与△PDB的面积相等列方程求解，从而可确定P点坐标．
解：
（1）当－4＜x＜－1时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（2）把A（－4，
），B（－1，2）代入y＝kx＋b中得
解得
所以一次函数解析式为y＝
x＋
，把B（－1，2）代入y＝
中得m＝－1×2＝－2；
（3）设P点坐标为（t，
t＋
），∵△PCA和△PDB的面积相等，∴
×
×（t＋4）＝
×1×（2－
t－
），即得t＝－
，∴P点坐标为（－
，
）．
方法总结：
解决问题的关键是明确反比例函数与一次函数图象的交点坐标所包含的信息．本题也考查了用待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
1．反比例函数中系数k的几何意义；
2．反比例函数图象上点的坐标特征；
3．反比例函数与一次函数的交点问题．
本节课主要是要注重提高学生分析问题与解决问题的能力．数形结合思想是数学学习的一个重要思想，也是我们学习数学的一个突破口．在教学中要加强这方面的指导，使学生牢固掌握基本知识，提升基本技能，提高数学解题能力.
26.2实际问题与反比例函数
第1课时实际问题中的反比例函数
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题；（重点）
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．（难点）
一、情境导入
小明和小华相约早晨一起骑自行车从A镇出发前往相距20km的B镇游玩，在返回时，小明依旧以原来的速度骑自行车，小华则乘坐公交车返回A镇．
假设两人经过的路程一样，自行车和公交车的速度保持不变，且自行车速度小于公交车速度．你能找出两人返回时间与所乘交通工具速度间的关系吗？
二、合作探究
探究点：
实际问题与反比例函数
【类型一】反比例函数在路程问题中的应用
王强家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v米/分，所需时间为t分钟．
（1）速度v与时间t之间有怎样的函数关系？
（2）若王强到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
（3）如果王强骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？
解析：
（1）根据速度、时间和路程的关系即可写出函数的关系式；
（2）把t＝15代入函数的解析式，即可求得速度；（3）把v＝300代入函数解析式，即可求得时间．
解：
（1）速度v与时间t之间是反比例函数关系，由题意可得v＝
；
（2）把t＝15代入函数解析式，得v＝
＝240.故他骑车的平均速度是240米/分；
（3）把v＝300代入函数解析式得
＝300，解得t＝12.故他至少需要12分钟到达单位．
方法总结：
解决问题的关键要掌握路程、速度和时间的关系．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型二】反比例函数在工程问题中的应用
在某河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成的工程量x（m/天）的函数关系图象如图所示．
（1）请根据题意，求y与x之间的函数表达式；
（2）若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15米，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？
（3）如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内（按30天计算）完成任务，那么每天至少要完成多少米？
解析：
（1）将点（24，50）代入反比例函数解析式，即可求得反比例函数的解析式；
（2）用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间；（3）工作量除以工作时间即可得到工作效率．
解：
（1）设y＝
.∵点（24，50）在其图象上，∴k＝24×50＝1200，所求函数表达式为y＝
；
（2）由图象可知共需开挖水渠24×50＝1200（m），2台挖掘机需要工作1200÷（2×15）＝40（天）；
（3）1200÷30＝40（m），故每天至少要完成40m.
方法总结：
解决问题的关键是掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型三】利用反比例函数解决利润问题
某商场出售一批进价为2元的贺卡，在销售中发现此商品的日售价x（元）与销售量y（张）之间有如下关系：
x（元）
3
4
5
6
y（张）
20
15
12
10
（1）猜测并确定y与x的函数关系式；
（2）当日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是多少张？
（3）设此卡的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销售单价不能超过10元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大并求出最大利润．
解析：
（1）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；
（2）代入x＝10求得y的值即可；（3）首先要知道纯利润＝（日销售单价x－2）×日销售数量y，这样就可以确定W与x的函数关系式，然后根据销售单价最高不超过10元，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x.
解：
（1）从表中数据可知y与x成反比例函数关系，设y＝
（k为常数，k≠0），把点（3，20）代入得k＝60，∴y＝
；
（2）当x＝10时，y＝
＝6，∴日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是6张；
（3）∵W＝（x－2）y＝60－
，又∵x≤10，∴当x＝10时，W取最大值，W最大＝60－
＝48（元）．
方法总结：
本题考查了根据实际问题列反比例函数的关系式及求最大值，解答此类题目的关键是准确理解题意．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
【类型四】反比例函数的综合应用
如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系．已知第12分钟时，材料温度是14℃.
（1）分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；
（2）根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？
解析：
（1）首先根据题意，材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例函数关系．将题中数据代入可求得两个函数的关系式；
（2）把y＝12代入y＝4x＋4得x＝2，代入y＝
得x＝14，则对该材料进行特殊处理所用的时间为14－2＝12（分钟）．
解：
（1）设加热停止后反比例函数表达式为y＝
，∵y＝
过（12，14），得k1＝12×14＝168，则y＝
；当y＝28时，28＝
，解得x＝6.设加热过程中一次函数表达式为y＝k2x＋b，由图象知y＝k2x＋b过点（0，4）与（6，28），∴
解得
∴y＝
（2）当y＝12时，y＝4x＋4，解得x＝2.由y＝
，解得x＝14，所以对该材料进行特殊处理所用的时间为14－2＝12（分钟）．
方法总结：
现实生活中存在大量成反比例函数关系的两个变量，解答此类问题的关键是首先确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
三、板书设计
1．反比例函数在路程问题中的应用；
2．反比例函数在工程问题中的应用；
3．利用反比例函数解决利润问题；
4．反比例函数与一次函数的综合应用．
本节课是用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题．将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释“这是什么”，使学生逐步形成考察实际问题的能力．
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