八年级上轴对称及最短路线问题.docx

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八年级上轴对称及最短路线问题

第十三章轴对称

知识结构

知识归纳

轴对称图形

如果一个图形沿某一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的．

例题：

画出下列图形的对称轴。

毛

轴对称

有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质

如果两个图形成轴对称，那么是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的．

轴对称是指“两个图形”

例题：

如图，最大圆直径为4cm，则图中阴影部分的面积之和为（）。

（A）8πcm（B）4πcm

（C）2πcm（D）πcm

轴对称与轴对称图形的区别

轴对称是指图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．

线段的垂直平分线

（1）经过线段的并且于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．

（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个的距离相等；

反过来，与一条线段两个端点的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．

练一练：

1.用直尺和圆规作已知线段AB的中垂线。

2.如图，在直线

上求作一点

，点

使点

到点

和点

的距离相等.

轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．

成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．

轴对称变换的性质

（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的、完全一样

（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的．

（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴．

作一个图形关于某条直线的轴对称图形

（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．

（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．

例题．开放与探究：

（1）观察图中①－④中阴影部分所构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个特征；

（2）借助图中⑤的网格，请你设计一个新图案，使该图案同时具有你解答

（1）中所写的两个共同的特征．

用坐标表示轴对称

关于坐标轴对称

点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是

点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是

关于原点对称

点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是

例题．1.如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系.

画出四边形OABC关于y轴对称的四边形OA1B1C1，并写出点B1的坐标是.

2.如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段AB的两个端点都在格点上，直线MN经过坐标原点。

（1）写出点A的坐标,B的坐标.

（2）利用尺规作出线段AB关于直线MN的对称图形（保留作图痕迹，不写作法）。

等腰三角形

有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．

三角形按边分类

三角形

等腰三角形的性质

性质1：

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

性质2：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

特别的：

（1）等腰三角形是轴对称图形.

（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.

等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

特别的：

（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．

（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．

（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．

（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．

等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．

等边三角形的性质

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°

等边三角形的判定方法

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

直角三角形的性质

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

三角形中的边角不等关系

（1）在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大.（简称为：

大边对大角）

（2）在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大.（简称为：

大角对大边）

课堂练习：

1．如图：

在

中，AB＝AC，D为AC边上一点，

且BD=BC=AD，则

A等于________________

2．等腰三角形两边长为5cm和9cm，周长为______________；等腰三角形两边长为4cm和9cm时，周长为_______________；若等腰三角形周长为40cm，一边长为14cm，其他两边长为_______________。

3.等腰三角形中一个角为40°，则另外两个角为_________,如果一个角为100°，那另外两个角为________.

4．

（1）等腰三角形两内角之比为2：

1，求三个角的大小。

（2）等腰三角形一个外角为80

，求三个内角的度数。

5.如图所示：

在△ABC中，BD=DE=EC=AD=AE，求

BAC的度数。

最短路线问题

在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

1．已知：

如图，四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC=2，对角线BD平分∠ABC，E是BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，则PE+PC的最小值为（　　）

A

B

C2D

2.如图，已知A、B两村分别距公路l的距离AA’=10km，BB’=40km，且A’B’=50km．在公路l上建一中转站P使AP+BP的最小，则AP+BP的最小值为（　　）

A100kmB80kmC60kmD50

km

3.如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1，P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=6，则△PMN周长为（　　）

A4B5C6D7

4.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（　　）

A10B15C20D30

5.如图，E是正方形ABCD边BC上一点，CE=2，BE=6，P是对角线BD上的一动点，则AP+PE的最小值是（　　）

A

B.8C.10D以上答案都不对

6．如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别为500m和700m，且C、D两地的距离为500m，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（　　）

A100

B.1200C.1300D1700

7．.已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点P，OM上有一点A，ON上有一B，当△PAB的周长取最小值时，

∠APB的度数是（　　）

A．40°B．100°C140°D50°

8．

（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A，B，C，；

（2）在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短（保留作图痕迹）