，故a（大小）增大．
综上所述，a（大小）先减小后增大，v先增大后减小，选D.
二、牛顿第二定律的简单应用
1．应用牛顿第二定律解题的一般步骤
（1）确定研究对象．
（2）进行受力分析和运动状态分析，画出受力分析图，明确运动性质和运动过程．
（3）求出合力或加速度．
（4）根据牛顿第二定律列方程求解．
2．应用牛顿第二定律解题的方法
（1）矢量合成法：
若物体只受两个力作用，应用平行四边形定则求这两个力的合力，加速度的方向即物体所受合力的方向．
（2）正交分解法：
当物体受多个力作用时，常用正交分解法求物体所受的合外力．
①建立坐标系时，通常选取加速度的方向作为某一坐标轴的正方向（也就是不分解加速度），将物体所受的力正交分解后，列出方程Fx＝ma，Fy＝0.
②特殊情况下，若物体的受力都在两个互相垂直的方向上，也可将坐标轴建立在力的方向上，正交分解加速度a.根据牛顿第二定律
列方程求解．
例3 如图1所示，沿水平方向做匀变速直线运动的车厢中，悬挂小球的悬线偏离竖直方向37°角，小球和车厢相对静止，小球的质量为1kg，不计空气阻力．（g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
图1
（1）求车厢运动的加速度并说明车厢的运动情况；
（2）求悬线对小球的拉力大小．
答案
（1）7.5m/s2，方向水平向右 车厢可能水平向右做匀加速直线运动或水平向左做匀减速直线运动
（2）12.5N
解析 解法一（矢量合成法）
（1）小球和车厢相对静止，它们的加速度相同．以小球为研究对象，对小球进行受力分析如图甲所示，小球所受合力为F合＝mgtan37°.
由牛顿第二定律得小球的加速度为
a＝
＝gtan37°＝7.5m/s2，加速度方向水平向右．车厢的加速度与小球的加速度相同，车厢做水平向右的匀加速直线运动或水平向左的匀减速直线运动．
（2）由图甲可知，悬线对小球的拉力大小为FT＝
＝12.5N.
解法二（正交分解法）
（1）对小球受力分析，建立直角坐标系如图乙所示，正交分解各力，根据牛顿第二定律列方程得
x方向：
FTx＝ma
y方向：
FTy－mg＝0
即FTsin37°＝ma
FTcos37°－mg＝0
解得a＝
g＝7.5m/s2
加速度方向水平向右．车厢的加速度与小球的加速度相同，车厢做水平向右的匀加速直线运动或水平向左的匀减速直线运动．
（2）由
（1）中所列方程解得悬线对小球的拉力大小为
FT＝
＝12.5N.
例4 一个质量为20kg的物体，从固定斜面的顶端由静止匀加速滑下，物体与斜面间的动摩擦因数为0.2，斜面与水平面间的夹角为37°（g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）．
（1）求物体沿斜面下滑过程中的加速度．
（2）给物体一个初速度，使之沿斜面上滑，求上滑的加速度．
答案
（1）4.4m/s2，方向沿斜面向下
（2）7.6m/s2，方向沿斜面向下
解析
（1）沿斜面下滑时，物体受力如图甲：
由牛顿第二定律得：
mgsin37°－Ff＝ma1①
FN＝mgcos37°②
又Ff＝μFN③
所以a1＝gsin37°－μgcos37°＝4.4m/s2，方向沿斜面向下．
（2）物体沿斜面上滑时，摩擦力沿斜面向下，物体受力如图
由牛顿第二定律得：
mgsin37°＋Ff′＝ma2④
Ff′＝μFN′⑤
FN′＝mgcos37°⑥
联立④⑤⑥得
a2＝gsin37°＋μgcos37°＝7.6m/s2，方向沿斜面向下．
针对训练 如图2所示，质量为4kg的物体静止于水平面上．现用大小为40N、与水平方向夹角为37°的斜向上的力拉物体，使物体沿水平面做匀加速直线运动（g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）．
图2
（1）若水平面光滑，物体的加速度是多大？
（2）若物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，物体的加速度是多大？
答案
（1）8m/s2
（2）6m/s2
解析
（1）水平面光滑时，物体的受力情况如图甲所示
由牛顿第二定律：
Fcos37°＝ma1
解得a1＝8m/s2
（2）水平面不光滑时，物体的受力情况如图乙所示
Fcos37°－Ff＝ma2
FN′＋Fsin37°＝mg
Ff＝μFN′
联立解得a2＝6m/s2.
1．（对牛顿第二定律的理解）（2019·陵川一中高一上学期期末）2018年11月10日，在国际泳联游泳世界杯东京站的决赛中，我国选手李朱濠在7名日本选手的“围剿”下，一路领先，以1分50秒92的成绩夺得200米蝶泳决赛冠军．该成绩也打破了由他自己保持的全国纪录．当李朱濠加速冲刺时，关于池水对他的作用力F的方向，下图中大致正确的是（ ）
答案 C
2.（牛顿第二定律的应用）（2019·南昌二中高一上学期期末）如图3所示，水平轻弹簧的左端固定在墙上，右端固定在放于粗糙水平面的物块M上，当物块处在O处时弹簧处于自然状态，现将物块拉至P点后释放，则在物块从P点返回O处的过程中（ ）
图3
A．物块的速度不断增大，而加速度不断减小
B．物块的速度先增后减，而加速度先减后增
C．物块的速度不断减小，而加速度不断增大
D．物块的速度先增后减，而加速度不断减小
答案 B
3．（牛顿第二定律的应用）如图4所示，在与水平方向成θ角、大小为F的力作用下，质量为m的物块沿竖直墙壁加速下滑，已知物块与墙壁间的动摩擦因数为μ.则下滑过程中物块的加速度大小为（重力加速度为g）（ ）
图4
A．a＝g－μgB．a＝g－
C．a＝g－
D．a＝g－
答案 D
解析 将F分解可得，物块在垂直于墙壁方向上受到的压力为FN＝Fcosθ，则墙壁对物块的支持力为FN′＝FN＝Fcosθ；物块受到的滑动摩擦力为Ff＝μFN′＝μFcosθ；由牛顿第二定律，得mg－Fsinθ－Ff＝ma，得a＝g－
.
4．（牛顿第二定律的应用）如图5所示，一个物体从固定斜面的顶端由静止开始下滑，斜面倾角θ＝30°，斜面始终静止不动，重力加速度g＝10m/s2.
图5
（1）若斜面光滑，则物体下滑过程的加速度是多大？
（2）若斜面不光滑，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝
，物体下滑过程的加速度又是多大？
答案
（1）5m/s2
（2）2.5m/s2
解析
（1）根据牛顿第二定律得：
mgsinθ＝ma1
所以a1＝gsinθ＝10×
m/s2＝5m/s2
（2）物体受重力、支持力和摩擦力，根据牛顿第二定律得
mgsinθ－Ff＝ma2
FN＝mgcosθ
Ff＝μFN
联立解得：
a2＝gsinθ－μgcosθ＝2.5m/s2.
一、选择题
考点一 对牛顿第二定律的理解
1．（多选）下列对牛顿第二定律的表达式F＝ma及其变形公式的理解，正确的是（ ）
A．由F＝ma可知，物体所受的合力与物体的质量成正比，与物体的加速度成反比
B．由m＝
可知，物体的质量与其所受合力成正比，与其运动的加速度成反比
C．由a＝
可知，物体的加速度与其所受合力成正比，与其质量成反比
D．由m＝
可知，物体的质量可以通过测量它的加速度和它所受到的合力求出
答案 CD
解析 a＝
是加速度的决定式，a与F成正比，与m成反比，C正确；F＝ma说明力是产生加速度的原因，但不能说F与m成正比，与a成反比，A错误；m＝
中m与F、a皆无关，但可以通过测量物体的加速度和它所受到的合力求出，B错误，D正确．
2．由牛顿第二定律a＝
可知，无论怎样小的力都能使物体产生加速度，可是当用很小的力去推很重的桌子时，却推不动，这是因为（ ）
A．牛顿第二定律不适用于静止的物体
B．桌子的加速度很小，速度增量也很小，眼睛观察不到
C．推力小于桌子所受到的静摩擦力，加速度为负值
D．桌子所受的合力为零，加速度为零
答案 D
解析 牛顿第二定律的表达式a＝
中的力F是指合力，用很小的力推很重的桌子时，桌子不动，是因为推力与桌子所受到的静摩擦力的合力为零，牛顿第二定律同样适用于静止的物体，D正确，A、B、C错误．
3．（2019·苏州市高一上学期期末）一根弯折的硬杆一端固定小球，图A小车在水平面上向右匀速运动；图B小车在水平面上向右匀加速运动；图C小车在水平面上向右匀减速运动；图D小车在光滑固定斜面上匀加速下滑．下列图中杆对小球作用力F的示意图可能正确的是（ ）
答案 B
4.（多选）（2019·重庆市七校高一第一学期期末联考）如图1所示，在光滑固定斜面上，有一轻质弹簧的一端固定在斜面上，有一物体A沿着斜面下滑，从物体A刚接触弹簧的一瞬间到将弹簧压缩到最低点的过程中，下列说法中正确的是（ ）
图1
A．物体的加速度将先增大后减小
B．物体的加速度将先减小后增大
C．物体的速度将先增大后减小
D．物体的速度将先减小后增大
答案 BC
5.在光滑水平面上，有一个物体同时受到两个水平力F1与F2的作用，在第1s内物体保持静止状态．若力F1与F2随时间的变化关系如图2所示，则物体（ ）
图2
A．在第2s内做加速运动，加速度大小逐渐减小，速度逐渐增大
B．在第3s内做加速运动，加速度大小逐渐增大，速度逐渐增大
C．在第4s内做加速运动，加速度大小逐渐增大，速度逐渐增大
D．在第5s末速度为零
答案 B
解析 第1s内物体保持静止状态，可知F1、F2的初始值相等．第2s内物体的合力不断变大，根据牛顿第二定律知加速度不断变大，物体做加速运动，速度逐渐增大，故A错误；在第3s内合力逐渐变大，故加速度不断变大，合力与速度同向，物体做加速运动，速度逐渐增大，故B正确；在第4s内，合力逐渐减小，故加速度不断减小，合力与速度同方向，物体做加速运动，速度逐渐增大，故C错误；在第5s末，合力为零，故加速度为零，速度最大，此时运动方向与F1方向相同，故D错误．
考点二 牛顿第二定律的简单应用
6．（多选）力F1单独作用在物体A上时产生的加速度a1大小为5m/s2，力F2单独作用在物体A上时产生的加速度a2大小为2m/s2，那么，力F1和F2同时作用在物体A上时产生的加速度a的大小可能是（ ）
A．5m/s2B．2m/s2
C．8m/s2D．6m/s2
答案 AD
解析 设物体A的质量为m，则F1＝ma1，F2＝ma2，当F1和F2同时作用在物体A上时，合力的大小范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，即|ma1－ma2|≤ma≤ma1＋ma2，加速度的大小范围为3m/s2≤a≤7m/s2，故选A、D.
7．如图3所示，有一辆汽车满载西瓜在水平路面上匀速前进．突然发现意外情况，紧急刹车做匀减速直线运动，加速度大小为a，则中间一质量为m的西瓜A受到其他西瓜对它的作用力的大小是（ ）
图3
A．m
B．ma
C．m
D．m（g＋a）
答案 C
解析 西瓜与汽车具有相同的加速度a，对西瓜A受力分析如图，F表示周围西瓜对A的作用力，则由牛顿第二定律得：
＝ma，解得：
F＝m
，故C对，A、B、D错．
8．在静止的车厢内，用细绳a和b系住一个小球，绳a斜向上拉，绳b水平拉，如图4所示，现让车从静止开始向右做匀加速运动，小球相对于车厢的位置不变，与小车静止时相比，绳a、b的拉力Fa、Fb的变化情况是（ ）
图4
A．Fa变大，Fb不变B．Fa变大，Fb变小
C．Fa不变，Fb变小D．Fa不变，Fb变大
答案 C
解析 以小球为研究对象，分析受力情况，如图所示，
根据牛顿第二定律得，
水平方向：
Fasinα－Fb＝ma①
竖直方向：
Facosα－mg＝0②
由题知α不变，由②分析知Fa不变，由①知Fb＝Fasinα－ma9．三个完全相同的物块1、2、3放在水平桌面上，它们与桌面间的动摩擦因数均相同．现用大小相同的外力F沿图5所示方向分别作用在1和2上，用
F的外力沿水平方向作用在3上，使三者都做加速运动，分别用a1、a2、a3表示物块1、2、3的加速度，则（ ）
图5
A．a1＝a2＝a3B．a1＝a2，a2>a3
C．a1>a2，a2a2，a2>a3
答案 C
解析 对物块1，由牛顿第二定律得
Fcos60°－Ff＝ma1,
－μ（mg－Fsin60°）＝ma1
对物块2，由牛顿第二定律得
Fcos60°－Ff′＝ma2,
－μ（mg＋Fsin60°）＝ma2
对物块3，由牛顿第二定律得
F－Ff″＝ma3,
－μmg＝ma3
比较得a1>a3>a2，所以C正确．
10．（多选）两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量．两球在空气中由静止下落相同的距离，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关，则（ ）
A．甲球用的时间比乙球长
B．甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小
C．甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小
D．甲球加速度的大小大于乙球加速度的大小
答案 BD
解析 由于两球由同种材料制成，甲球的质量大于乙球的质量，因此甲球的体积大于乙球的体积，甲球的半径大于乙球的半径，设球的半径为r，根据牛顿第二定律，下落过程中mg－kr＝ma，a＝g－
＝g－
，可知，球下落过程做匀变速直线运动，且下落过程中半径大的球下落的加速度大，因此甲球下落的加速度大，由h＝
at2可知，下落相同的距离，甲球所用的时间短，D项正确，A、C项错误；由v2＝2ah可知，甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小，B项正确．
二、非选择题
11．质量为40kg的物体放在水平面上，某人用绳子沿着与水平方向成37°角斜向上的方向拉着物体向右前进，绳子的拉力为200N，已知物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.
（1）求此时物体的加速度；
（2）若在拉的过程中突然松手，求此时物体的加速度．
答案
（1）0.5m/s2，方向向右
（2）5m/s2，方向向左
解析
（1）物体受力如图所示，将拉力F沿水平方向和竖直方向分解．在两方向分别列方程：
Fcos37°－Ff＝ma，Fsin37°＋FN＝mg，又Ff＝μFN.
联立解得a＝0.5m/s2，方向向右．
（2）当突然松手时，拉力F变为零，此后摩擦力变为
Ff′＝μmg＝200N，
由牛顿第二定律得Ff′＝ma′
解得a′＝5m/s2，方向向左．
12．跳伞运动员在下落过程中，假定伞所受空气阻力的大小跟下落速度的平方成正比，即F＝kv2，比例系数k＝20N·s2/m2，跳伞运动员与伞的总质量为72kg，起跳高度足够高，则：
（g取10m/s2）
（1）跳伞运动员在空中做什么运动？
收尾速度是多大？
（2）当速度达到4m/s时，下落加速度是多大？
答案 见解析
解析
（1）运动员与伞在空中受力分析如图，
由牛顿第二定律mg－kv2＝ma，可得a＝g－
v2，随v增大，a减小，故跳伞运动员做加速度减小的加速运动．
当
v2＝g时，a＝0，跳伞运动员做匀速运动，
此时v＝
＝
m/s＝6m/s.
（2）当v＝4m/s时，a＝g－
v2＝（10－
×42）m/s2＝
m/s2≈5.56m/s2.
13．如图6所示，质量为m的木块以一定的初速度沿倾角为θ的斜面向上滑动，斜面静止不动且足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g.
图6
（1）求向上滑动时木块的加速度的大小和方向；
（2）若此木块滑到最大高度后，能沿斜面下滑，求下滑时木块的加速度的大小和方向．
答案
（1）g（sinθ＋μcosθ） 方向沿斜面向下
（2）g（sinθ－μcosθ） 方向沿斜面向下
解析
（1）以木块为研究对象，木块上滑时对其受力分析，如图甲所示
根据牛顿第二定律有
mgsinθ＋Ff＝ma，FN－mgcosθ＝0
又Ff＝μFN
联立解得a＝g（sinθ＋μcosθ），方向沿斜面向下．
（2）木块下滑时对其受力分析如图乙所示．
根据牛顿第二定律有
mgsinθ－Ff′＝ma′，FN′－mgcosθ＝0
又Ff′＝μFN′
联立解得a′＝g（sinθ－μcosθ），方向沿斜面向下．
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