线性代数知识点总结汇总.docx
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线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结
1行列式
〔一〕行列式概念和性质
1、逆序数：
所有的逆序的总数
2、行列式定义：
不同行不同列元素乘积代数和
3、行列式性质：
〔用于化简行列式〕
〔1〕行列互换〔转置〕，行列式的值不变
〔2〕两行〔列〕互换，行列式变号
〔3〕提公因式：
行列式的某一行〔列〕的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式
〔4〕拆列分配：
行列式中假如某一行〔列〕的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
〔5〕一行〔列〕乘k加到另一行〔列〕，行列式的值不变。
〔6〕两行成比例，行列式的值为0。
〔二〕重要行列式
4、上〔下〕三角〔主对角线〕行列式的值等于主对角线元素的乘积
5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘
6、Laplace展开式：
〔A是m阶矩阵，B是n阶矩阵〕，那么
7、n阶〔n≥2〕范德蒙德行列式
数学归纳法证明
★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：
〔三〕按行〔列〕展开
9、按行展开定理：
〔1〕任一行〔列〕的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值
〔2〕行列式中某一行〔列〕各个元素与另一行〔列〕对应元素的代数余子式乘积之和等于0
〔四〕行列式公式
10、行列式七大公式：
〔1〕|kA|=kn|A|
〔2〕|AB|=|A|·|B|
〔3〕|AT|=|A|
〔4〕|A-1|=|A|-1
〔5〕|A*|=|A|n-1
〔6〕假设A的特征值λ1、λ2、……λn，那么
〔7〕假设A与B相似，那么|A|=|B|
〔五〕克莱姆法那么
11、克莱姆法那么：
〔1〕非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
〔2〕假如非齐次线性方程组无解或有两个不同解，那么它的系数行列式必为0
〔3〕假设齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么齐次线性方程组只有0解；假如方程组有非零解，那么必有D=0。
2矩阵
〔一〕矩阵的运算
1、矩阵乘法考前须知：
〔1〕矩阵乘法要求前列后行一致；
〔2〕矩阵乘法不满足交换律；〔因式分解的公式对矩阵不适用，但假设B=E,O,A-1，A*,f（A）时，可以用交换律〕
〔3〕AB=O不能推出A=O或B=O。
2、转置的性质〔5条〕
〔1〕〔A+B〕T=AT+BT
〔2〕〔kA〕T=kAT
〔3〕〔AB〕T=BTAT
〔4〕|A|T=|A|
〔5〕〔AT〕T=A
〔二〕矩阵的逆
3、逆的定义：
AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1
注：
A可逆的充要条件是|A|≠0
4、逆的性质：
〔5条〕
〔1〕〔kA〕-1=1/k·A-1（k≠0）
〔2〕〔AB〕-1=B-1·A-1
〔3〕|A-1|=|A|-1
〔4〕〔AT〕-1=〔A-1〕T
〔5〕〔A-1〕-1=A
5、逆的求法：
〔1〕A为抽象矩阵：
由定义或性质求解
〔2〕A为数字矩阵：
〔A|E〕→初等行变换→〔E|A-1〕
〔三〕矩阵的初等变换
6、初等行〔列〕变换定义：
〔1〕两行〔列〕互换；
〔2〕一行〔列〕乘非零常数c
〔3〕一行〔列〕乘k加到另一行〔列〕
7、初等矩阵：
单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。
8、初等变换与初等矩阵的性质：
〔1〕初等行〔列〕变换相当于左〔右〕乘相应的初等矩阵
〔2〕初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij-1=Eij〔i，j两行互换〕；
Ei-1〔c〕=Ei〔1/c〕〔第i行〔列〕乘c〕
Eij-1〔k〕=Eij〔-k〕〔第i行乘k加到j〕
★〔四〕矩阵的秩
9、秩的定义：
非零子式的最高阶数
注：
〔1〕r〔A〕=0意味着所有元素为0，即A=O
〔2〕r〔An×n〕=n〔满秩〕←→|A|≠0←→A可逆；
r〔A〕＜n←→|A|=0←→A不可逆；
〔3〕r〔A〕=r〔r=1、2、…、n-1〕←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。
10、秩的性质：
〔7条〕
〔1〕A为m×n阶矩阵，那么r〔A〕≤min〔m,n〕
〔2〕r〔A±B〕≤r〔A〕±〔B〕
〔3〕r〔AB〕≤min{r〔A〕，r〔B〕}
〔4〕r〔kA〕=r〔A〕〔k≠0〕
〔5〕r〔A〕=r〔AC〕〔C是一个可逆矩阵〕
〔6〕r〔A〕=r〔AT〕=r〔ATA〕=r〔AAT〕
〔7〕设A是m×n阶矩阵，B是n×s矩阵，AB=O，那么r〔A〕+r〔B〕≤n
11、秩的求法：
〔1〕A为抽象矩阵：
由定义或性质求解；
〔2〕A为数字矩阵：
A→初等行变换→阶梯型〔每行第一个非零元素下面的元素均为0〕，那么r〔A〕=非零行的行数
〔五〕伴随矩阵
12、伴随矩阵的性质：
〔8条〕
〔1〕AA*=A*A=|A|E→★A*=|A|A-1
〔2〕〔kA〕*=kn-1A*
〔3〕〔AB〕*=B*A*
〔4〕|A*|=|A|n-1
〔5〕〔AT〕*=〔A*〕T
〔6〕〔A-1〕*=〔A*〕-1=A|A|-1
〔7〕〔A*〕*=|A|n-2·A
★〔8〕r〔A*〕=n〔r〔A〕=n〕；
r〔A*〕=1〔r〔A〕=n-1〕；
r〔A*〕=0〔r〔A〕＜n-1〕
〔六〕分块矩阵
13、分块矩阵的乘法：
要求前列后行分法一样。
14、分块矩阵求逆：
3向量
〔一〕向量的概念及运算
1、向量的内积：
〔α，β〕=αTβ=βTα
2、长度定义：
||α||=
3、正交定义：
〔α，β〕=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=0
4、正交矩阵的定义：
A为n阶矩阵，AAT=E←→A-1=AT←→ATA=E→|A|=±1
〔二〕线性组合和线性表示
5、线性表示的充要条件：
非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示
（1）←→非齐次线性方程组〔α1，α2，…，αs〕〔x1，x2，…，xs〕T=β有解。
★
（2）←→r〔α1，α2，…，αs〕=r〔α1，α2，…，αs，β〕〔系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验〕
6、线性表示的充分条件：
〔理解即可〕
假设α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，那么β可由α1，α2，…，αs线性表示。
7、线性表示的求法：
〔大题第二步〕
设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表示。
〔α1，α2，…，αs|β〕→初等行变换→〔行最简形|系数〕
行最简形：
每行第一个非0的数为1，其余元素均为0
〔三〕线性相关和线性无关
8、线性相关考前须知：
〔1〕α线性相关←→α=0
〔2〕α1，α2线性相关←→α1，α2成比例
9、线性相关的充要条件：
向量组α1，α2，…，αs线性相关
〔1〕←→有个向量可由其余向量线性表示；
〔2〕←→齐次方程〔α1，α2，…，αs〕〔x1，x2，…，xs〕T=0有非零解；
★〔3〕←→r〔α1，α2，…，αs〕＜s即秩小于个数
特别地，n个n维列向量α1，α2，…，αn线性相关
〔1〕←→r〔α1，α2，…，αn〕＜n
〔2〕←→|α1，α2，…，αn|=0
〔3〕←→〔α1，α2，…，αn〕不可逆
10、线性相关的充分条件：
〔1〕向量组含有零向量或成比例的向量必相关
〔2〕局部相关，那么整体相关
〔3〕高维相关，那么低维相关
〔4〕以少表多，多必相关
★推论：
n+1个n维向量一定线性相关
11、线性无关的充要条件
向量组α1，α2，…，αs线性无关
〔1〕←→任意向量均不能由其余向量线性表示；
〔2〕←→齐次方程〔α1，α2，…，αs〕〔x1，x2，…，xs〕T=0只有零解
〔3〕←→r〔α1，α2，…，αs〕=s
特别地，n个n维向量α1，α2，…，αn线性无关
←→r〔α1，α2，…，αn〕=n←→|α1，α2，…，αn|≠0←→矩阵可逆
12、线性无关的充分条件：
〔1〕整体无关，局部无关
〔2〕低维无关，高维无关
〔3〕正交的非零向量组线性无关
〔4〕不同特征值的特征向量无关
13、线性相关、线性无关断定
〔1〕定义法
★〔2〕秩：
假设小于阶数，线性相关；假设等于阶数，线性无关
【专业知识补充】
〔1〕在矩阵左边乘列满秩矩阵〔秩=列数〕，矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。
〔2〕假设n维列向量α1，α2，α3线性无关，β1，β2，β3可以由其线性表示，即〔β1，β2，β3〕=〔α1，α2，α3〕C，那么r〔β1，β2，β3〕=r〔C〕，从而线性无关。
←→r〔β1，β2，β3〕=3←→r〔C〕=3←→|C|≠0
〔四〕极大线性无关组与向量组的秩
14、极大线性无关组不唯一
15、向量组的秩:
极大无关组中向量的个数成为向量组的秩
比照：
矩阵的秩:
非零子式的最高阶数
★注:
向量组α1，α2，…，αs的秩与矩阵A=〔α1，α2，…，αs〕的秩相等
★16、极大线性无关组的求法
〔1〕α1，α2，…，αs为抽象的：
定义法
〔2〕α1，α2，…，αs为数字的：
〔α1，α2，…，αs〕→初等行变换→阶梯型矩阵
那么每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组
〔五〕向量空间
17、基〔就是极大线性无关组〕变换公式：
假设α1，α2，…，αn与β1，β2，…，βn是n维向量空间V的两组基，那么基变换公式为〔β1，β2，…，βn〕=〔α1，α2，…，αn〕Cn×n
其中，C是从基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的过渡矩阵。
C=〔α1，α2，…，αn〕-1〔β1，β2，…，βn〕
18、坐标变换公式：
向量γ在基α1，α2，…，αn与基β1，β2，…，βn的坐标分别为x=〔x1，x2，…，xn〕T，y=〔y1，y2，…，yn〕T，，即γ=x1α1+x2α2+…+xnαn=y1β1+y2β2+…+ynβn，那么坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。
其中，C是从基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的过渡矩阵。
C=〔α1，α2，…，αn〕-1〔β1，β2，…，βn〕
〔六〕Schmidt正交化
19、Schmidt正交化
设α1，α2，α3线性无关
〔1〕正交化
令β1=α1
〔2〕单位化
4线性方程组
〔一〕方程组的表达形与解向量
1、解的形式：
（1）一般形式
（2）矩阵形式：
Ax=b；
（3）向量形式：
A=〔α1，α2，…，αn〕
2、解的定义：
假设η=〔c1，c2，…，cn〕T满足方程组Ax=b，即Aη=b，称η是Ax=b的一个解〔向量〕
〔二〕解的断定与性质
3、齐次方程组：
〔1〕只有零解←→r〔A〕=n〔n为A的列数或是未知数x的个数〕
〔2〕有非零解←→r〔A〕＜n
4、非齐次方程组：
〔1〕无解←→r〔A〕＜r〔A|b〕←→r〔A〕=r〔A〕-1
〔2〕唯一解←→r〔A〕=r〔A|b〕=n
〔3〕无穷多解←→r〔A〕=r〔A|b〕＜n
5、解的性质：
〔1〕假设ξ1，ξ2是Ax=0的解，那么k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解
〔2〕假设ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，那么ξ+η是Ax=b的解
〔3〕假设η1，η2是Ax=b的解，那么η1-η2是Ax=0的解
【推广】
〔1〕设η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，那么k1η1+k2η2+…+ksηs为
Ax=b的解〔当Σki=1〕
Ax=0的解〔当Σki=0〕
〔2〕设η1，η2，…，ηs是Ax=b的s个线性无关的解，那么η2-η1，η3-η1，…，ηs-η1为Ax=0的s-1个线性无关的解。
变式：
①η1-η2，η3-η2，…，ηs-η2
②η2-η1，η3-η2，…，ηs-ηs-1
〔三〕根底解系
6、根底解系定义：
〔1〕ξ1，ξ2，…，ξs是Ax=0的解
〔2〕ξ1，ξ2，…，ξs线性相关
〔3〕Ax=0的所有解均可由其线性表示
→根底解系即所有解的极大无关组
注：
根底解系不唯一。
任意n-r〔A〕个线性无关的解均可作为根底解系。
★7、重要结论：
〔证明也很重要〕
设A施m×n阶矩阵，B是n×s阶矩阵，AB=O
〔1〕B的列向量均为方程Ax=0的解
〔2〕r〔A〕+r〔B〕≤n〔第2章，秩〕
8、总结：
根底解系的求法
〔1〕A为抽象的：
由定义或性质凑n-r〔A〕个线性无关的解
〔2〕A为数字的：
A→初等行变换→阶梯型
自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到根底解系
〔四〕解的构造〔通解〕
9、齐次线性方程组的通解〔所有解〕
设r〔A〕=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的根底解系，
那么Ax=0的通解为k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r〔其中k1，k2，…，kn-r为任意常数〕
10、非齐次线性方程组的通解
设r〔A〕=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的根底解系，η为Ax=b的特解，
那么Ax=b的通解为η+k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r〔其中k1，k2，…，kn-r为任意常数〕
〔五〕公共解与同解
11、公共解定义：
假如α既是方程组Ax=0的解，又是方程组Bx=0的解，那么称α为其公共解
12、非零公共解的充要条件：
方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解
←→
有非零解←→
13、重要结论〔需要掌握证明〕
〔1〕设A是m×n阶矩阵，那么齐次方程ATAx=0与Ax=0同解，r〔ATA〕=r〔A〕
〔2〕设A是m×n阶矩阵，r〔A〕=n，B是n×s阶矩阵，那么齐次方程ABx=0与Bx=0同解，r〔AB〕=r〔B〕
5特征值与特征向量
〔一〕矩阵的特征值与特征向量
1、特征值、特征向量的定义：
设A为n阶矩阵，假如存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。
2、特征多项式、特征方程的定义：
|λE-A|称为矩阵A的特征多项式〔λ的n次多项式〕。
|λE-A|=0称为矩阵A的特征方程〔λ的n次方程〕。
注:
特征方程可以写为|A-λE|=0
3、重要结论：
〔1〕假设α为齐次方程Ax=0的非零解，那么Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量
〔2〕A的各行元素和为k，那么（1，1，…，1）T为特征值为k的特征向量。
〔3〕上〔下〕三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。
△4、总结：
特征值与特征向量的求法
〔1〕A为抽象的：
由定义或性质凑
〔2〕A为数字的：
由特征方程法求解
5、特征方程法：
〔1〕解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn
注：
n次方程必须有n个根（可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略）
〔2〕解齐次方程〔λiE-A〕=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其根底解系〔共n-r〔λiE-A〕个解〕
6、性质：
〔1〕不同特征值的特征向量线性无关
〔2〕k重特征值最多k个线性无关的特征向量
1≤n-r〔λiE-A〕≤ki
〔3〕设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，那么|A|=Πλi，Σλi=Σaii
〔4〕当r〔A〕=1，即A=αβT，其中α，β均为n维非零列向量，那么A的特征值为λ1=Σaii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0
〔5〕设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，那么
A
f〔A〕
AT
A-1
A*
P-1AP〔相似〕
λ
f〔λ〕
λ
λ-1
|A|λ-1
λ
α
α
/
α
α
P-1α
〔二〕相似矩阵
7、相似矩阵的定义：
设A、B均为n阶矩阵，假如存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B
8、相似矩阵的性质
〔1〕假设A与B相似，那么f〔A〕与f〔B〕相似
〔2〕假设A与B相似，B与C相似，那么A与C相似
〔3〕相似矩阵有一样的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹〔即主对角线元素之和〕
【推广】
〔4〕假设A与B相似，那么AB与BA相似，AT与BT相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似
〔三〕矩阵的相似对角化
9、相似对角化定义：
假如A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=
，
称A可相似对角化。
注：
Aαi=λiαi〔αi≠0，由于P可逆〕，故P的每一列均为矩阵A的特征值λi的特征向量
10、相似对角化的充要条件
〔1〕A有n个线性无关的特征向量
〔2〕A的k重特征值有k个线性无关的特征向量
11、相似对角化的充分条件：
〔1〕A有n个不同的特征值〔不同特征值的特征向量线性无关〕
〔2〕A为实对称矩阵
12、重要结论：
〔1〕假设A可相似对角化，那么r〔A〕为非零特征值的个数，n-r〔A〕为零特征值的个数
〔2〕假设A不可相似对角化，r〔A〕不一定为非零特征值的个数
〔四〕实对称矩阵
13、性质
〔1〕特征值全为实数
〔2〕不同特征值的特征向量正交
〔3〕A可相似对角化，即存在可逆矩阵P使得P-1AP=Λ
〔4〕A可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ
6二次型
〔一〕二次型及其标准形
1、二次型：
〔1〕一般形式
〔2〕矩阵形式〔常用〕
2、标准形：
假如二次型只含平方项，即f〔x1，x2，…，xn〕=d1x12+d2x22+…+dnxn2
这样的二次型称为标准形〔对角线〕
3、二次型化为标准形的方法：
〔1〕配方法：
通过可逆线性变换x=Cy〔C可逆〕，将二次型化为标准形。
其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
★〔2〕正交变换法：
通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2
其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵
注:
正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。
〔二〕惯性定理及标准形
4、定义：
正惯性指数：
标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；
负惯性指数：
标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；
标准形：
f=z12+…zp2-zp+12-…-zp+q2称为二次型的标准形。
5、惯性定理：
二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。
注：
〔1〕由于正负惯性指数不变，所以标准形唯一。
〔2〕p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r〔A〕
〔三〕合同矩阵
6、定义：
A、B均为n阶实对称矩阵，假设存在可逆矩阵C，使得B=CTAC，称A与B合同
△7、总结：
n阶实对称矩阵A、B的关系
〔1〕A、B相似〔B=P-1AP〕←→一样的特征值
〔2〕A、B合同〔B=CTAC〕←→一样的正负惯性指数←→一样的正负特征值的个数
〔3〕A、B等价〔B=PAQ〕←→r〔A〕=r〔B〕
注：
实对称矩阵相似必合同，合同必等价
〔四〕正定二次型与正定矩阵
8、正定的定义
二次型xTAx，假如任意x≠0，恒有xTAx＞0，那么称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。
9、n元二次型xTAx正定充要条件：
〔1〕A的正惯性指数为n
〔2〕A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=CTC或CTAC=E
〔3〕A的特征值均大于0
〔4〕A的顺序主子式均大于0〔k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式〕
10、n元二次型xTAx正定必要条件：
〔1〕aii＞0
〔2〕|A|＞0
11、总结：
二次型xTAx正定断定〔大题〕
〔1〕A为数字：
顺序主子式均大于0
〔2〕A为抽象：
①证A为实对称矩阵：
AT=A；②再由定义或特征值断定
12、重要结论：
〔1〕假设A是正定矩阵，那么kA〔k＞0〕，Ak，AT，A-1，A*正定
〔2〕假设A、B均为正定矩阵，那么A+B正定
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