福州市人教版八年级上册数学第十四章整式的乘除与因式分解培优练习.docx
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福州市人教版八年级上册数学第十四章整式的乘除与因式分解培优练习
整式的乘除与因式分解培优练习
一、逆用幂的运算性质
4．已知：
，求
、
的值。
5．已知：
，
，则
=________。
二、式子变形求值
3．已知
，求
的值。
4．已知：
，则
=.
5．
的结果为.
7．已知：
，
，
，
求
的值。
8．若
则
9．已知：
，则
_________，
_________。
10．已知
，则代数式
的值是_______________。
三、式子变形判断三角形的形状
1．已知：
、
、
是三角形的三边，且满足
，则该三角形的形状是_________________________.
2．若三角形的三边长分别为
、
、
，满足
，则这个三角形是___________________。
3．已知
、
、
是△ABC的三边，且满足关系式
，试判断△ABC的形状。
四、简答题
6．为促进节约用水和保障城市供水行业健康发展，某市将实施阶梯式计量水价．该市在五个区内选取了近10万户居民，进行阶梯式计量水价的“模拟操作”，对自来水用户按如下标准收费：
第一等级是每月每户用水不超过a吨，水价是每吨m元；
第二等级是月用水量超过a吨，但不超过30吨的部分，水价每吨2m元；
第三等级是月用水量超过30吨，超过30吨的部分水价为每吨3m元．
现有一居民本月用水x吨，则应交水费多少元?
7．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
a2+b2+c2-ab-bc-ac=
[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]．该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你检验这个等式的正确性；
（2）若a=2006，b=2008，c=2010，你能很快求出a2+b2+c2-ab-bc-ac的值吗?
8.（4分）
（1）阅读下列解答过程
（1）问：
求y2+4y+8的最小值.
（2）模仿
（1）的解答过程，求m2+m+4的最小值
（3）求
的最大值
9、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。
如4=22-0，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数。
（1）28和2012这两个数是神秘数吗？
为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？
为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？
为什么？
（3）由
（2）知，神秘数可表示成4（2k+1），因为2k+1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数。
另一方面，设两个连续奇数为2n+1，2n-1，则
即两个连续奇数的平方差是8的倍数，
因此两个连续奇数的平方差不是神秘数。
因式分解的方法
一、用提公因式法把多项式进行因式分解
1.在多项式恒等变形中的应用
例：
不解方程组，求代数式的值。
2.在代数证明题中的应用
例：
证明：
对于任意自然数n，一定是5的倍数。
题型展示：
例1.计算：
精析与解答：
设，则
说明：
此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。
其中2000、2001重复出现，又有的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。
例3.设x为整数，试判断是质数还是合数，请说明理由。
解：
都是大于1的自然数
是合数
说明：
在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。
只能被1和本身整除的数叫质数。
【实战模拟】
1.证明：
能被45整除。
2.化简：
，且当时，求原式的值。
二、运用公式法进行因式分解
1.在几何题中的应用。
例：
已知是的三条边，且满足，试判断的形状。
2.在代数证明题中应用
例：
两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
题型展示：
例1.已知：
，
求的值。
例2.已知，
求证：
例3.若，求的值。
解：
且
又
两式相减得
所以
说明：
按常规需求出的值，此路行不通。
用因式分解变形已知条件，简化计算过程。
【实战模拟】
3.若是三角形的三条边，求证：
4.已知：
，求的值。
5.已知是不全相等的实数，且，试求
（1）的值；
（2）的值。
三、用分组分解法进行因式分解
例1.分解因式
分析：
这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把，分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
例2.在几何学中的应用
已知三条线段长分别为a、b、c，且满足
例3.在方程中的应用
求方程的整数解
题型展示：
例1.已知：
，求ab+cd的值。
解：
ab+cd=
说明：
首先要充分利用已知条件中的1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。
例2.分解因式：
分析：
此题无法用常规思路分解，需拆添项。
观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着的一个因式，因此变形的目的是凑这个因式。
解一（拆项）：
解二（添项）：
说明：
拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？
【实战模拟】
1.已知：
，试求A的表达式。
2.证明：
四、用十字相乘法把二次三项式分解因式
例.证明：
若是7的倍数，其中x，y都是整数，则是49的倍数。
中考点拨
例1.把
分解因式的结果是________________。
题型展示
例1.若能分解为两个一次因式的积，则m的值为（）
A.1B.-1C.D.2
解：
-6可分解成或，因此，存在两种情况：
由
（1）可得：
，由
（1）可得：
故选择C。
说明：
对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。
例2.已知：
a、b、c为互不相等的数，且满足。
求证：
证明：
说明：
抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。
例3.若有一因式。
求a，并将原式因式分解。
解：
有一因式
∴当，即时，
说明：
由条件知，时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是，分解时尽量出现，从而分解彻底。
【实战模拟】
1.分解因式：
（1）
（2）
（3）
2.在多项式，哪些是多项式的因式？
3.已知多项式有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。
4.分解因式：
5.已知：
，求的值。
《分式》提高测试
一判断下列各分式中x取什么值时，分式的值为0？
x取什么值时，分式无意义（本题15分，每小题5分）：
１．
；2．
；3．
．
二化简（本题40分，每小题8分）：
1．
；
2．
；
3．
；
；
4．
；
5．
.
三解下列分式方程（本题20分，每小题10分）：
1．
；
2．
.
四（本题10分）
1.车间有甲、乙两个小组，甲组的工作率比乙组的高25%，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1800个零件所用的时间还少30分钟，问两组每小时各加工多少零件？
2.甲、乙两人各走14千米，甲比乙早半小时走完全程．已知甲与乙速度的比为8∶7，求两人的速度各是多少？
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