有限元分析方法.docx

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有限元分析方法

有限元分析方法

1.1有限元分析方法介绍

计算机软硬件技术的迅猛发展，给工程分析、科学研究以至人类社会带来急剧的革命性变化，数值模拟即为这一技术革命在工程分析、设计和科学研究中的具体表现。

数值模拟技术通过汲取当今计算数学、力学、计算机图形学和计算机硬件发展的最新成果，根据不同行业的需求，不断扩充、更新和完善。

1.1.1有限单元法的形成

近三十年来，计算机计算能力的飞速提高和数值计算技术的长足进步，诞生了商业化的有限元数值分析软件，并发展成为一门专门的学科——计算机辅助工程CAE（ComputerAidedEngineering）。

这些商品化的CAE软件具有越来越人性化的操作界面和易用性，使得这一工具的使用者由学校或研究所的专业人员逐步扩展到企业的产品设计人员或分析人员，CAE在各个工业领域的应用也得到不断普及并逐步向纵深发展，CAE工程仿真在工业设计中的作用变得日益重要。

许多行业中已经将CAE分析方法和计算要求设置在产品研发流程中，作为产品上市前必不可少的环节。

CAE仿真在产品开发、研制与设计及科学研究中已显示出明显的优越性：

CAE仿真可有效缩短新产品的开发研究周期。

虚拟样机的引入减少了实物样机的试验次数。

大幅度地降低产品研发成本。

在精确的分析结果指导下制造出高质量的产品。

能够快速对设计变更作出反应。

能充分和CAD模型相结合并对不同类型的问题进行分析。

能够精确预测出产品的性能。

增加产品和工程的可靠性。

采用优化设计，降低材料的消耗或成本。

在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题。

模拟各种试验方案，减少试验时间和经费。

进行机械事故分析，查找事故原因。

当前流行的商业化CAE软件有很多种，国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。

其中最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的Nastran有限元分析系统。

该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。

从那时到现在，世界各地的研究机构和大学也发展了一批专用或通用有限元分析软件，除了Nastran以外，主要还有德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABAQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。

虽然软件种类繁多，但是万变不离其宗，其核心求解方法都是有限单元法，也简称为有限元法（FiniteElementMethod）。

在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。

其中的第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。

例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构，把这类问题称为离散系统。

如图1-1所示的平面桁架结构，是由6个承受轴向力的“杆单元”组成。

这种简单的离散系统可以手工进行求解，而且可以得到其精确的理论解。

而对于类似图1-2所示的这类复杂的离散系统，虽然理论上来说是可解的，但是由于计算工作量非常庞大，就需要借助计算机技术。

图1-1平面桁架系统图1-2某车身有限元模型

第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。

例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。

由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统。

这里以热传导问题为例做一个简单的说明。

下面是热传导问题的控制方程与换热边界条件：

（1-1）

初始温度场也可以是不均匀的，但各点温度值是已知的：

（1-2）

通常的热边界有三种，第三类边界条件如下形式：

（1-3）

尽管已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。

对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答。

为了解决这一困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方法。

在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。

有限元法的形成可以回顾到20世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。

从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。

1956年，M.J.Turner，R.W.Clough，H.C.Martin，L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。

他们把连续几何模型划分成一个个三角形和矩形的“单元”，并为所使用的单元指定近似位移函数，进而求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。

1954—1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。

1960年，Clough在著名的题为“TheFiniteElementinplanestressanalysis”的论文中首次提出了有限元（FiniteElement）这一术语，并在后来被广泛地引用，成为这种数值方法的标准称谓。

与此同时，数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法，这为有限元方法在以后的发展奠定了数学和理论基础。

在1963年前后，经过J.F.Besseling，R.J.Melosh，R.E.Jones，R.H.Gallaher，T.H.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，人们认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，从而发展了使用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。

1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现，对于所有的场问题，只要能将其转换为相应的变分形式，即可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。

1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是迦辽金（Galerkin）法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。

我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：

陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。

1.1.2有限元法的基本思路

有限元法的基本思路可以归结为：

将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法加以组合，从而形成原有系统的一个数值近似系统，也就是形成相应的数值模型。

下面用在自重作用下的等截面直杆来说明有限元法的思路。

等截面直杆在自重作用下的材料力学解答：

受自重作用的等截面直杆如图1-3所示，杆的长度为L，截面积为A，弹性模量为E，单位长度的重量为q，杆的内力为N。

试求：

杆的位移分布、杆的应变和应力。

（1-4）

图1-3受自重作用的等截面直杆图1-4离散后的直杆

等截面直杆在自重作用下的有限元法解答：

（1）连续系统离散化

如图1-4所示，将直杆划分成n个有限段，有限段之间通过公共点相连接。

在有限元法中将两段之间的公共连接点称为节点，将每个有限段称为单元。

节点和单元组成的离散模型就称为对应于连续系统的“有限元模型”。

有限元模型中的第i个单元，其长度为Li，包含第i，i+1个节点。

（2）用单元节点位移表示单元内部位移

第i个单元中的位移用所包含的节点位移来表示：

（1-5）

其中

为第i节点的位移，

为第i节点的坐标。

第i个单元的应变为

，应力为

，内力为

：

（1-6）

（1-7）

（1-8）

（3）把外载荷归集到节点上

把第i单元和第i+1单元重量的一半

，归集到第i+1节点上，如图1-5所示。

图1-5集中单元重量

（4）建立节点的力平衡方程

对于第i+1节点，由力的平衡方程可得：

（1-9）

令

，并将（1-8）代入得：

（1-10）

根据约束条件，

。

对于第n+1个节点，

（1-11）

建立所有节点的力平衡方程，可以得到由n+1个方程构成的方程组，可解出n+1个未知的节点位移。

1.1.3有限元法的计算步骤

有限元法的计算步骤归纳为以下3个基本步骤：

网格划分、单元分析、整体分析。

（1）网格划分

有限元法的基本做法是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。

因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。

单元之间通过节点相连接。

由单元、节点、节点连线构成的集合称为网格。

通常把三维实体划分成四面体或六面体单元的实体网格，平面问题划分成三角形或四边形单元的面网格，如图1-6～图1-14所示。

图1-6四面体四节点单元图1-7六面体八节点单元

图1-8三维实体的四面体单元划分图1-9三维实体的六面体单元划分

图1-10三角形三节点单元图1-11四边形四节点单元

图1-12平面问题的三角形单元划分图1-13平面问题的四边形单元划分

图1-14二维及三维混合网格划分

（2）单元分析

对于弹性力学问题，单元分析就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。

由于将单元的节点位移作为基本变量，进行单元分析首先要为单元内部的位移确定一个近似表达式，然后计算单元的应变、应力，再建立单元中节点力与节点位移的关系式。

以平面问题的三角形三节点单元为例。

如图1-15所示，单元有三个节点I、J、M，每个节点有两个位移u、v和两个节点力U、V。

单元的所有节点位移、节点力，可以表示为节点位移向量（Vector）：

节点位移

节点力

图1-15三角形三节点单元

单元的节点位移和节点力之间的关系用张量（Tensor）来表示，

（1-12）

（3）整体分析

对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与节点位移的关系，以解出节点位移，这个过程称为整体分析。

同样以弹性力学的平面问题为例，如图1-16所示，在边界节点i上受到集中力

作用。

节点i是三个单元的结合点，因此要把这三个单元在同一节点上的节点力汇集在一起建立平衡方程。

图1-16整体分析

i节点的节点力：

i节点的平衡方程：

（1-13）

1.1.4有限元法的进展与应用

有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从20世纪60年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。

当今国际上FEA方法和软件发展趋势呈现出以下一些特征：

从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题。

有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。

而且从理论上也已经证明，只要用于离散求解对象的单元足够小，所得的解就可足够逼近于精确值。

所以近年来有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算，最近又发展到求解几个交叉学科的问题。

例如比较常见的是将温度场和结构场之间进行耦合计算，确定由于温度场分布不均匀引起的结构应力和变形等。

由求解线性工程问题进展到分析非线性问题随着科学技术的发展，线性理论已经远远不能满足设计的要求。

例如建筑行业中的高层建筑和大跨度悬索桥的出现，就要求考虑结构的大位移和大应变等几何非线性问题；航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力，也要考虑材料的非线性问题；诸如塑料、橡胶和复合材料等各种新材料的出现，仅靠线性计算理论就不足以解决遇到的问题，只有采用非线性有限元算法才能解决。

众所周知，非线性的数值计算是很复杂的，它涉及到很多专门的数学问题和运算技巧，很难为一般工程技术人员所掌握。

为此近年来国外一些公司花费了大量的人力和投资开发求解非线性问题的分析功能，并广泛应用于工程实践。

增强可视化的前后处理功能。

早期有限元分析软件的研究重点在于推导新的高效率求解方法和高精度的单元。

随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速度的飞速发展，整个计算系统用于求解运算的时间越来越少，而准备数值模型和处理计算结果的时间占整个分析工程的比例越来越高。

据统计，整个分析流程中，前处理占用的工作时间大致在80%，而加上后处理部分，占用的时间就要超过95%。

因此目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强的前后处理模块与之相配合。

在强调“可视化”的今天，很多程序都建立了对用户非常友好的GUI（GraphicsUserInterface），使用户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动划分，生成有限元分析所需数据，并按要求将大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图，便于极值搜索和所需数据的列表输出。

与CAD软件的无缝集成。

当今有限元分析系统的另一个特点是与通用CAD软件的集成使用，即在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后，自动生成有限元网格并进行计算，如果分析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算，直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。

现在，工程师可以在集成的CAD和FEA软件环境中快捷地解决一个在以前无法应付的复杂工程分析问题。

所以目前所有的商业化有限元系统商都开发了著名的CAD软件（例如Unigraphics、Pro/ENGINEER、SolidEdge、SolidWorks等）接口。

1.2NXNastran的由来

1.2.1Nastran程序的起源

Nastran，即NASA结构分析系统，是1966年美国国家航空航天局（NASA）为了满足当时航空航天工业对结构分析的迫切需求，主持开发大型应用有限元程序的招标，有多家软件开发商中标并参与了结构分析求解器的开发过程。

1969年NASA推出了其第一个Nastran版本，称为COSMICNastran。

COSMICNastran是放在PublicDomain上的公开发售版本，Nastran和COSMIC是NASA的注册商标。

1972年，MSC.Software公司获得了一个版本的COSMICNastran，并推出了自己的商业化产品MSCNastran。

这个版本的Nastran也是在市场上最为著名的Nastran版本。

到了20世纪80年代，又有另外两家公司UAI、CSAR基于NASA的COSMICNastran源代码推出了各自的商业版本，从而市场上形成了由主要三家Nastran供应商（MSC、UAI和CSAR）相互竞争的局面。

Nastran是工程分析界应用最为广泛的有限元软件，绝大多数的商业化前后处理器都对Nastran有良好的支持，其文本格式已成为标准格式，其计算结果也成为CAE分析的规范。

1.2.2NXNastran的由来

1999年，MSC收购了UAI和CSAR，成为市场上惟一提供Nastran商业代码的供应商。

而以后的几年，MSCNastran的价格上涨，但是其相关功能和服务却没有得到提升，从而引发大量客户的抱怨，并向美国联邦贸易委员会（FTC）申诉。

经过调查，FTC认定MSCNastran垄断。

为了重建Nastran市场的竞争，FTC做出了如下的几项裁决（关于FTC官方裁决，可参看FTC网站相应内容）。

MSC.Software公司必须共享MSCNastran最新商业版（当时为2002年11月v2001r9，以重新建立Nastran市场竞争，该版本即NXNastranV1.0）。

共享内容包括用于Nastran开发、销售用的所有MSCNastran的源代码、目标代码、测试案例、开发环境和所有文档的永久使用权许可。

告知在过去3年多时间（仅限美国）已购买了MSC.Software公司的永久使用许可的用户。

这些用户有权转而使用UGS的NXNastran，并由MSC.Software退还差额赔偿。

MSC和UGS必须保证在未来3年内数据的兼容性，NXNastran将继续使用通用的Nastran格式，以确保那些转到NXNastran的用户能使用过去的Nastran输入/输出文件。

获得许可的机构（EDS）应获得MSC.Software、UAI和CSAR公司雇员的名单，并有权雇佣他们。

FTC的裁决使得一个强有力的公司——UGS加入到Nastran的市场中来，Nastran由单一供应商MSC转为两家互相竞争的供应商，MSCNastran在各行业得到的认证同样适用于NXNastran产品，不需要进行再次认证。

2003年9月，NXNastran产品正式发布。

UGS承诺将全力开发支持NXNastran和NXNastran前后处理器（NXMaterFEM，Femap，NXScenario），并在近两年中每年推出两个NXNastran新版本。

由于FTC的裁决使得MSC公司的雇员名单也已共享，因此已经有许多资深的Nastran专家加入到UGSPLMSolutions的开发队伍中来。

包括：

Dr.LouisKomzsik，前MSC的首席算法专家，有超过30年的结构分析经验和20年在MSC的工作经历。

Dr.TomKowalski，前MSC数值计算专家，10年专注于高性能科学计算研究。

Mr.KenBurrell，前MSC和UAI程序开发人员，20年开发经验。

Mr.RichardBush，前MSC市场负责人，17年MSC市场运作管理经验。

Dr.MarkDonley…等。

UGS有超过两千人的研发队伍，其中仅CAE开发人员就已经超过100人。

这些人员有平均15年以上的开发经验，而且在2004年和2005年将继续扩大队伍。

UGS中国上海研发中心已经成立，将专注于CAE研发和本地化。

由于UGS投入了大量的CAE研发力量，许多国际用户对NXNastran的未来发展充满信心，并有大量用户已经从MSCNastran转到了NXNastran。

在NXNastran推向市场的三个月内，有超过5000个license的国际用户转而应用NXNastran，其中包括DaimlerChrysler，CaterpillarTractor，Lockheed-Martin，GEPowerSystems，NissanR&D-USA，FORDEurope，EADS，MatraAutomotive，LiebherrSpac，GulfAircraftMaintenance，YokohamaRubber，HyundaiHeavyInd，TataSteel，HoneywellAerospace等。

1.3NXNastran软件功能介绍

1.3.1产品描述

Nastran是国际上应用最广泛的CAE工具，大量的制造厂商依靠其分析结果来设计和生产更加安全可靠的产品，得到更优化的设计，缩短产品的研发周期。

三十多年来，Nastran已经成为了几乎所有国际大企业的工程分析工具，应用领域包括航空航天、汽车、军工、船舶、重型机械设备、医药和消费品等，这也使得其分析结果成为了工业化的标准。

对于大型企业来说，NXNastran是一个独立的解决方案。

它通常运行于局域网上，支持多用户，多平台系统，并可以和多种有限元前后处理器协同工作。

这些处理器包括EDS和其他许多CAE供应商提供的高效易用的专业产品。

NXNastran适用于需要完成大量流程化分析计算的用户。

它的特点是灵活、可靠并能同大量的其他分析软件协同运作，形成统一高效的分析流程，并在整个流程中承担核心求解功能。

它的数据格式可以在绝大多数的CAE软件中识别和使用，使得同其他CAE使用者交换数据的方式灵活方便，大大减少了数据转换和共享的工作量。

1.3.2产品模块配置

目前的NXNastran产品包括：

NXNastran－Basic：

NXNastran的基本模块，包括线性静力、模态、屈曲和热传递功能。

NXNastran－Nonlinear：

支持材料非线性、几何非线性和接触分析。

NXNastran－DynamicResponse：

在时域和频域中计算结构在外在激励下的动力学响应。

NXNastran－Superelements：

将超大模型分解为小的子结构求解。

NXNastran－DirectMatrixAbstractionProgram（DMAP）：

允许用户进行二次开发，将自己的算法和应用扩充到NXNastran中。

NXNastran－Aeroelasticity：

对气流作用下的模型进行分析。

NXNastran－Optimization：

自动迭代完成优化设计。

NastranforFemap：

基于Windows环境，将Femap的前后处理功能和NXNastran分析能力结合在一起。

NXNastran－AdvancedAeroelasticity：

预测结构在气流作用下的响应，并可以进行超音速分析。

1.3.3产品功能及特性

1．各产品模块功能

NXNastran－Basic主要计算功能包括：

线性静力、正则模态、屈曲分析、静态和瞬态热传递、无限模型大小、载荷工况组合。

NXNastran－Nonlinear主要计算功能包括：

材料非线性、几何非线性、接触分析、小应变非线性弹性、大应变超弹性、塑性、粘弹性（蠕变）、非线性屈曲、后屈曲、非线性模态。

NXNastran－DynamicResponse主要计算功能是计算产品的受迫振动响应。

激励形式可以是随时间或频率的位移或载荷。

该模块是NXNastran–Basic的附加模块。

NXNastran－Superelements：

NXNastran使用稀疏矩阵算法求解大模型，而NXNastran－Superelements提供了更加高效的方法——超单元。

对于非常庞大和复杂的模型，该方法将其分解为小的等效模型块，称之为超单元，这些单元可以利用NXNastran的所有分析功能。

该模块是NXNastran－Basic的附加模块。

NXNastran－Optimization：

设计满足特定要求的产品是几乎每个制造商的要求。

使用优化技术，工程师可以改进现有的设计，用最小的成本得到最优的设计方案。

优化过程涉及到多次计算迭代过程，而NXNastran－Optimization的自动迭代将用户从繁复的迭代工作中解放出来。

NXNastran－Aeroelasticity：

气弹分析用来计算结构在气流作用下的响应。

使用NXNastran－Aeroelasticity，可以在通用的有限元模型上进行应力、载荷、气弹和控制系统设计计算。

该模块是NXNastran–Basic的附加模块。

NXNastran－AdvancedAeroelasticity，是在NXNastran－Basic和Aero-elasticity上的附加模块。

在该模块中针对超音速流动开发了与亚音速涡格法相似的方法。

这种气弹方法是由ZONATechnology，Inc.开发，并集成在NXNastran中，主要进行结构在超音速状态下的计算分析。

NXNastran－DirectMatrixAbstractionProgram（DMAP）进行用户二次开发编程。

可以将中间数据（主要是矩阵）从Nastran中导出或导入Nastran；将最新的软件功能添加进来；得到非标准的结果输出等。

该模块是NXNastran–Basic的附加模块。

NXNastranforFemap：

高效的Windows集成环境，将Femap高效的前后处理功能和Nastran可靠的分析能力结合在一起。

2．各分析功能技术特点

（1）静力分析