高考数学二轮复习 专题突破练19 632 随机变量及其分布 专题突破练19 理.docx
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高考数学二轮复习专题突破练19632随机变量及其分布专题突破练19理
专题突破练19 随机变量及其分布
1.（2018东北三省三校联考一,理18）某商场按月订购一种家用电暖气,每销售一台获利润200元,未销售的产品返回厂家,每台亏损50元,根据往年的经验,每天的需求量与当天的最低气温有关,如果最低气温位于区间[-20,-10],需求量为100台;最低气温位于区间[-25,-20）,需求量为200台;最低气温位于区间[-35,-25）,需求量为300台.公司销售部为了确定11月份的订购计划,统计了前三年11月份各天的最低气温数据,得到下面的频数分布表:
最低气
温（℃）
[-35,
-30）
[-30,
-25）
[-25,
-20）
[-20,
-15）
[-15,
-10]
天数
11
25
36
16
2
以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率.
（1）求11月份这种电暖气每日需求量X（单位:
台）的分布列;
（2）若公司销售部以每日销售利润Y（单位:
元）的数学期望为决策依据,计划11月份每日订购200台或250台,两者之中选其一,应选哪个?
2.某班将要举行篮球投篮比赛,比赛规则是:
每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次,在A区每进一球得2分,不进球得0分;在B区每进一球得3分,不进球得0分,得分高的选手胜出.已知某参赛选手在A区和B区每次投篮进球的概率分别是.
（1）如果该选手以在A,B区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准,问该选手应该选择哪个区投篮?
请说明理由;
（2）求该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率.
3.（2018江西南昌三模,理19）质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测.甲、乙两个车间的零件质量（单位:
克）分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格.
（1）质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测,若至少2件合格,检测即可通过,若至少3件合格,检测即为良好,求甲车间在这次检测通过的条件下,获得检测良好的概率;
（2）若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件,用X表示乙车间的零件个数,求X的分布列与数学期望.
4.医学上某种还没有完全攻克的疾病,治疗时需要通过药物控制其中的两项指标H和V.现有三种不同配方的药剂,根据分析,A,B,C三种药剂能控制H指标的概率分别为0.5,0.6,0.75,能控制V指标的概率分别是0.6,0.5,0.4,能否控制H指标与能否控制V指标之间相互没有影响.
（1）求A,B,C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率;
（2）某种药剂能使两项指标H和V都得到控制就说该药剂有治疗效果.求三种药剂中有治疗效果的药剂种数X的分布列.
5.（2018河北唐山一模,理18）某水产品经销商销售某种鲜鱼,售价为每千克20元,成本为每千克15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去,未售出的全部降价处理完,平均每千克损失3元.根据以往的销售情况,按[50,150）,[150,250）,[250,350）,[350,450）,[450,550]进行分组,得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求未来连续三天内,该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350千克,而另一天日销售量低于350千克的概率;
（2）在频率分布直方图的需求量分组中,以各组区间的中点值代表该组的各个值.
①求日需求量X的分布列;
②该经销商计划每日进货300千克或400千克,以每日利润Y的数学期望值为决策依据,他应该选择每日进货300千克还是400千克?
6.2019年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年,有关部门为宣传垃圾分类知识,面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查,每位市民仅有一次参与机会,通过抽样,得到参与问卷调查中的1000人的得分数据,其频率分布直方图如图所示:
（1）由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ,210）,μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表）,利用该正态分布求P（50.5（2）在
（1）的条件下,有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:
①得分不低于μ可获赠2次随机话费,得分低于μ则只有1次;
②每次赠送的随机话费和对应概率如下:
赠送话费（单位:
元）
10
20
概 率
现有一位市民要参加此次问卷调查,记X（单位:
元）为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X的分布列.
附:
≈14.5,若Z~N（μ,σ2）,则P（μ-σ
7.（2018湖南邵阳三模,理18）某运输公司根据以往从甲地到乙地的每日运输情况（运输量∈[20,120））,将运输量分为[20,40）,[40,60）,[60,80）,[80,100）,[100,120）五组,并绘制了从甲地到乙地的日运输量x（单位:
吨）的频率分布直方图,如图所示,将日运输量x落入各组的频率视为概率,并假设每天的运输量相互独立.
（1）求该公司每天从甲地到乙地的日平均运输量（每组数据以区间的中点值为代表）;
（2）求未来3天,连续2天运输量不低于60吨,另一天日运输量低于60吨的概率;
（3）该运输公司计划购置相同型号的货车n辆专门运输从甲地到乙地的货物,若一辆货车每天只能运输一趟,每辆车每次最多只能装载20吨货物,满载发车,否则不发车,若发车,则每辆车每趟可获利2000元,若未发车,则每辆车每天平均亏损600元,为使该公司每天的营业利润y最大,该公司应购置几辆该种货车?
8.（2018山东潍坊一模,理19）某公司新上一条生产线,为保证新的生产线正常工作,需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取100件产品,测量产品数据,用统计方法得到样本的平均数μ=14,标准差σ=2,绘制如图所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值.
（1）从该生产线加工的产品中任意抽取一件,记其数据为X,依据以下不等式评判（P表示对应事件的概率）:
①P（μ-σ评判规则为:
若至少满足以上两个不等式,则生产状况为优,无需检修;否则需检修生产线,试判断该生产线是否需要检修;
（2）将数据不在（μ-2σ,μ+2σ）内的产品视为次品,从该生产线加工的产品中任意抽取2件,次品数记为Y,求Y的分布列与数学期望E（Y）.
参考答案
专题突破练19 随机变量及其分布
1.解
（1）由已知X的可能取值为100,200,300,
X的分布列为
X
100
200
300
P
0.2
0.4
0.4
（2）①当订购200台时,E（Y）=[200×100-50×（200-100）]×0.2+200×200×0.8=35000（元）.
②当订购250台时,E（Y）=[200×100-50×（250-100）]×0.2+[200×200-50×（250-200）]×0.4+（200×250）×0.4=37500（元）.
综上所述,当订购250台时,Y的数学期望最大,11月每日应订购250台.
2.解
（1）设该选手在A区投篮的进球数为X,则X~B,故E（X）=2,则该选手在A区投篮得分的期望为2设该选手在B区投篮的进球数为Y,则Y~B,
故E（Y）=3=1,则该选手在B区投篮得分的期望为3×1=3.所以该选手应该选择在A区投篮.
（2）设“该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分”为事件C,“该选手在A区投篮得4分,且在B区投篮得3分或0分”为事件D,“该选手在A区投篮得2分,且在B区投篮得0分”为事件E,则事件C=D∪E,且事件D与事件E互斥.
P（D）=
=,P（E）=
=,
P（C）=P（D∪E）=,
故该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为
3.解
（1）设事件A表示“2件合格,2件不合格”;事件B表示“3件合格,1件不合格”;事件C表示“4件全合格”;事件D表示“检测通过”;事件E表示“检测良好”.
∵P（D）=P（A）+P（B）+P（C）=,
∴P（E|D）=
故所求概率为
（2）X可能取值为0,1,2,
P（X=0）=,
P（X=1）=,
P（X=2）=,
分布列为
X
0
1
2
P
E（X）=0+1+2
4.解
（1）A,B,C三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率为P=0.5×（1-0.6）×（1-0.75）+（1-0.5）×0.6×（1-0.75）+（1-0.5）×（1-0.6）×0.75=0.275.
（2）∵A有治疗效果的概率为PA=0.5×0.6=0.3,
B有治疗效果的概率为PB=0.6×0.5=0.3,
C有治疗效果的概率为PC=0.75×0.4=0.3,
∴A,B,C三种药剂有治疗效果的概率均为0.3,可看成是独立重复试验,即X~B（3,0.3）.∵X的所有可能取值为0,1,2,3,
∴P（X=k）=0.3k×（1-0.3）3-k,即P（X=0）=0.30×（1-0.3）3=0.343,P（X=1）=0.3×（1-0.3）2=0.441,P（X=2）=0.32×（1-0.3）=0.189,
P（X=3）=0.33=0.027.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.343
0.441
0.189
0.027
5.解
（1）由频率分布直方图可知,
日销售量不低于350公斤的概率为（0.0025+0.0015）×100=0.4,
则未来连续三天内,有连续两天的日销售量不低于350公斤,而另一天日销售量低于350公斤的概率P=0.4×0.4×（1-0.4）+（1-0.4）×0.4×0.4=0.192.
（2）①X可取100,200,300,400,500,
P（X=100）=0.0010×100=0.1;
P（X=200）=0.0020×100=0.2;
P（X=300）=0.0030×100=0.3;
P（X=400）=0.0025×100=0.25;
P（X=500）=0.0015×100=0.15;
所以X的分布列为:
X
100
200
300
400
500
P
0.1
0.2
0.3
0.25
0.15
②当每日进货300公斤时,利润Y1可取-100,700,1500,
此时Y1的分布列为:
Y1
-100
700
1500
P
0.1
0.2
0.7
此时利润的期望值E（Y1）=-100×0.1+700×0.2+1500×0.7=1180;
当每日进货400公斤时,利润Y2可取-400,400,1200,2000,
此时Y2的分布列为:
Y2
-400
400
1200
2000
P
0.1
0.2
0.3
0.4
此时利润的期望值E（Y2）=-400×0.1+400×0.2+1200×0.3+2000×0.4=1200;
因为E（Y1）6.解
（1）E（Z）=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65,
∴μ=65,σ=14.5,
∴P（50.5P（36∴P（79.5∴P（50.5（2）P（Z<μ）=P（Z≥μ）=,
X的所有可能取值为10,20,30,40,
P（X=10）=,
P（X=20）=,
P（X=30）=,
P（X=40）=
故X的分布列为
X
10
20
30
40
P
7.解
（1）在区间[80,100）的频率为1-（0.005+0.01+0.015+0.0075）×20=0.25.
所以从甲地到乙地的日平均运输量为:
30×0.1+50×0.2+70×0.3+90×0.25+110×0.15=73（吨）.
（2）由频率分布直方图可知,日运输量不低于60吨的概率为0.3+0.25+0.15=0.7,记未来3天,第i天日运输量不低于60吨为事件Ai（i=1,2,3）,则P（Ai）=0.7;
未来3天,连续2天日运输量不低于60吨,另一天日运输量低于60吨,包含两个互斥事件A1A2A2A3;
所以P（（A1A2）∪（A2A3））=P（A1A2）+P（A2A3）=0.7×0.7×0.3+0.3×0.7×0.7=0.294.
（3）从甲地到乙地的日平均运输量x在[20,40）,[40,60）,[60,80）,[80,100）,[100,120）的频率分别为:
0.1,0.2,0.3,0.25,0.15,设公司每天的营业利润为y,当购置1辆货车时,则y的值为2000,
当购置2辆货车时,则y的可能取值为4000,1400,其分布列为:
x
4000
1400
p
0.9
0.1
所以E（y）=4000×0.9+1400×0.1=3740;
当购置3辆货车时,则y的可能取值为6000,3400,800,其分布列为:
x
6000
3400
800
p
0.7
0.2
0.1
所以E（y）=6000×0.7+3400×0.2+800×0.1=4960;
当购置4辆货车时,则y的可能取值为8000,5400,2800,200,其分布列为:
x
8000
5400
2800
200
p
0.4
0.3
0.2
0.1
所以E（Y）=8000×0.4+5400×0.3+2800×0.2+200×0.1=5400;
当购置5辆货车时,则Y的可能取值为10000,7400,4800,2200,-400,其分布列为:
Y
10000
7400
4800
2200
-400
P
0.15
0.25
0.3
0.2
0.1
所以E（Y）=10000×0.15+7400×0.25+4800×0.3+2200×0.2-400×0.1=5190;
当购置6辆货车及以上时,因为闲置的车辆会增多,故利润的期望值会减小.
所以当购置4辆货车时,该公司的营业利润最大.
8.解
（1）由题意知,μ=14,σ=2,由频率分布直方图得
P（μ-σ0.6826,
P（μ-2σP（μ-3σ0.9974,
∵不满足至少两个不等式成立,
∴该生产线需检修.
（2）由
（1）知P（μ-2σ则P（Y=0）=
2=;
P（Y=1）=;
P（Y=2）=
2=;
∴Y的分布列为
Y
0
1
2
P
∴E（Y）=0+1+2
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