不等式组的实际问题专题培优重难点培优七年级数学下册尖子生同步培优题典解析版苏科版.docx
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不等式组的实际问题专题培优重难点培优七年级数学下册尖子生同步培优题典解析版苏科版
2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题11.12不等式（组）的实际问题专题培优（重难点培优）
姓名：
__________________班级：
______________得分：
_________________
注意事项：
本试卷试题解答共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共25小题）
1．（2020春•梁溪区期末）大浮杨梅是我市特色水果，古称“吴越佳果”．某水果店以20元/千克的价格购进一批杨梅，由于销售状况良好，该店再次购进同一种杨梅，第二次进货价格比第一次每千克便宜了0.5元．该水果店两次共购进杨梅110千克，共花去2160元．
（1）该水果店两次分别购买了多少千克的杨梅？
（2）在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的杨梅有10%的损耗，第二次购进的杨梅有15%的损耗，该水果店希望售完这些杨梅获利不低于500元，则该杨梅每千克售价至少为多少元？
【分析】
（1）设该水果店两次分别购买了x元和y元的水果．根据“购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了0.5元，该水果店两次共购进杨梅110千克，”、“两次购进水果共花去了2160元”列出方程组并解答；
（2）设该水果每千克售价为m元，则由“售完这些水果获利不低于500元”列出不等式并解答．
【解析】
（1）设该水果店两次分别购买了x元和y元的水果．根据题意，得
，
解得：
x＝30，y＝80，
答：
水果店两次分别购买了30千克和80千克的杨梅；
（2）设该杨梅每千克售价为m元，根据题意，得：
m[30（1﹣10%）+80（1﹣15%）]﹣2160≥500，
解得：
m≥28，
答：
该杨梅每千克售价至少为28元．
【点评】本题考查了方程组的应用和不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
2．（2020春•海州区期末）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
（1）若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买A，B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，已知A型板材每张30元，B型板材每张90元，求最多可以制作竖式箱子多少个？
（2）①若该工厂仓库里现有A型板材30张、B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少个，恰好将库存的板材用完？
②若该工厂新购得78张规格为（3×3）m的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求横式箱子不少于30个，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共 60或62 个．（不写过程，直接写出答案）
【分析】
（1）表示出竖式箱子所用板材数量进而得出总金额即可得出答案；
（2）①设制作竖式箱子a只，横式箱子b只，利用A型板材30张、B型板材100张，得出方程组求出答案；
②设裁剪出B型板材m张，则可裁A型板材（78×9﹣3m）张，进而得出方程组求出符合题意的答案．
【解析】
（1）设最多可制作竖式箱子x只，则A型板材x张，B型板材4x张，根据题意得
30x+90×4x≤10000
解得x≤25
．
答：
最多可以做25只竖式箱子．
（2）①设制作竖式箱子a只，横式箱子b只，根据题意，
得：
，
解得：
．
答：
能制作竖式、横式两种无盖箱子分别为22只和4只．
②设裁剪出B型板材m张，则可裁A型板材（78×9﹣3m）张，由题意得：
，
整理得，13a+11b＝78×9，
∴a
54
，
∵a、b都为整数，且b≥30，
∴b是13的整数倍，
当b＝39时，a＝54﹣11×3＝21，符合题意，此时，a+b＝60，
当b＝52时，a＝54﹣11×4＝10，符合题意，此时，a+b＝62，
当b＝65时，a＝54﹣11×5＝﹣1＜0，不符合题意．
故答案为：
60或62．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
3．（2020春•常州期末）2020年初，由于新冠病毒的蔓延，口罩市场出现热销，小明的爸爸用18000元购进甲、乙两种型号的口罩，在自家药店销售，销售完后共获利3900元，进价和售价如表所示：
价格
型号
甲种型号口罩
乙种型号口罩
进价（元/袋）
20
30
售价（元/袋）
25
36
（1）小明爸爸的药店购进甲、乙两种型号的口罩各多少袋？
（2）由于需求量大，口罩很快售完，小明的爸爸决定再一次购进甲、乙两种型号的口罩共800袋．如果要使这800袋口罩全部售完后所得利润不低于4500元，那么至少需购进多少袋乙种型号的口罩？
【分析】
（1）分别根据用18000元购进甲、乙两种口罩，销售完后共获利3900元，得出等式组成方程求出即可；
（2）设需购进a袋乙种型号的口罩，使这800袋口罩全部售完后所得利润不低于4500元，得出不等式求出即可．
【解析】
（1）设小明爸爸的商店购进甲种型号口罩x袋，乙种型号口罩y袋，
则
，
解得：
，
答：
小明爸爸的药店购进甲种型号口罩300袋，乙种型号口罩400袋；
（2）设需购进a袋乙种型号的口罩，
根据题意得，（25﹣20）（800﹣a）+（36﹣30）a≥4500．
解这个不等式，得a≥500．
答：
至少需购进500袋乙种型号的口罩．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
4．（2020春•鼓楼区期末）2020年2月，为了应对武汉发生的新型冠状病毒疫情，国家卫健委及相关单位在武汉建立了方舱医院，某方舱医院的具体信息如下：
（1）方舱医院由四部分组成，分别是废弃物处理单元、病房单元、技术保障单元、医疗功能单元；
（2）整个方舱医院占地面积为80000平方米；
（3）废弃物处理单元面积为总占地面积的5%；
（4）病房单元占地面积是技术保障单元占地面积的4倍；
（5）病房单元与医疗功能单元面积的和不高于总占地面积的85%；
求医疗功能单元的最大面积．
【分析】设技术保障单元面积为x平方米，根据题意得出不等式解答即可．
【解析】设技术保障单元面积为x平方米，则病房单元面积为4x平方米，由题意知废弃物处理单元面积为：
80000×5%＝4000（平方米），
则医疗功能单位面积为：
80000﹣（4x+4000+x）＝76000﹣5x（平方米），
则4x+76000﹣5x≤80000×85%，
解得：
x≥8000，
则76000﹣5x≤36000，
答：
医疗功能单位的最大面积为36000平方米．
【点评】本题考查了不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等量关系．
5．（2020春•江宁区月考）某景点的门票有成人票和儿童票两种，若购成人票2张儿童票1张共需32元，若购成人票3张儿童票2张共需52元，
（1）成人票和儿童票每张分别是多少元？
（2）若计划购买30张该景点的门票，购买费用不超过310元，问儿童票最少购买多少张？
【分析】
（1）根据购买2张成人票和1张儿童票共需32元，购买2张成人票和1张儿童票共需32元，分别得出方程求出答案；
（2）设儿童票购买a张，则成人票（30﹣a）张，由题意得，12（30﹣a）+8a≤310，解不等式可得出答案．
【解析】
（1）设成人票的单价为x元，儿童票的单价为y元，根据题意可得：
，
解得：
，
答：
成人票的单价为12元，儿童票的单价为8元；
（2）设儿童票购买a张，则成人票（30﹣a）张，
由题意得，12（30﹣a）+8a≤310，
解得a
，
∵a为整数，
∴a的最小值为13．
答：
儿童票最少购买13张．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，得出正确等量关系是解题关键．
6．（2020春•工业园区期末）某药店销售每只进价分别为1.2元、1.7元的A、B两种型号的口罩，下表是近两天的销售情况：
销售时段
销售数量
销售额
A种型号
B种型号
第一天
300只
500只
2100元
第二天
400只
1000只
3800元
（1）求A、B两种型号口罩的销售单价；
（2）该药店准备再次采购这两种型号的口罩共15000只．如果全部售出后的利润不少于16000元，那么最多采购A种型号的口罩多少只？
（进价、售价均保持不变，利润＝销售总额﹣进货成本）
【分析】
（1）设A型号口罩的销售单价为x元/只，B型号口罩的销售单价为y元/只，根据表格中的数据，列方程组求解即可；
（2）设采购A种型号的口罩m只，根据销售利润不少于1600元，列出不等式，求解即可．
【解析】
（1）设A型号口罩的销售单价为x元/只，B型号口罩的销售单价为y元/只，
根据题意，得
．
解得
．
答：
A型号口罩的销售单价为2元/只，B型号口罩的销售单价为3元/只；
（2）设采购A种型号的口罩m只，则采购B种型号的口罩（15000﹣m）只，
依题意得：
（2﹣1.2）m+（3﹣1.7）（15000﹣m）≥16000．
解得m≤7000．
所以m最大值是7000．
答：
最多采购A种型号的口罩7000只．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
7．（2020春•盱眙县期末）端午节快到了，小明准备买粽子过节，若在盱眙某超市购买2盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需支付380元，而在某团购群购买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需支付520元．对比发现，甲品牌粽子每盒的团购价相当于超市价的八折，乙品牌粽子每盒的团购价相当于超市价的七五折．
（1）甲、乙两种品牌粽子每盒的超市价分别是多少元？
（2）小明要打算在团购群购买这两种品牌的粽子，其中乙品牌粽子比甲品牌粽子多2盒，总花费不超过1000元，问小明最多能买多少盒甲品牌粽子？
【分析】
（1）设甲品牌粽子的超市价为每盒x元，乙品牌粽子的超市价为每盒y元，根据“在超市购买2盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需支付380元，在某团购群购买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需支付520元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设买甲品牌粽子a盒，则买乙品牌粽子（a+2）盒，根据总价＝单价×数量结合总花费不超过1000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值整数值即可得出结论．
【解析】
（1）设甲品牌粽子的超市价为每盒x元，乙品牌粽子的超市价为每盒y元，
依题意，得：
，
解得：
．
答：
甲品牌粽子的超市价为每盒70元，乙品牌粽子的超市价为每盒80元．
（2）设买甲品牌粽子a盒，则买乙品牌粽子（a+2）盒，
依题意，得：
70×0.8a+80×0.75（a+2）≤1000，
解得：
a≤7
，
∴a的最大整数解为a＝7．
答：
最多可以买7盒甲品牌粽子．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；
（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
8．（2020春•锡山区期末）新冠肺炎疫情期间，某口罩厂为生产更多的口罩满足疫情防控需求，决定拨款560万元购进A，B两种型号的口罩机共30台．两种型号口罩机的单价和工作效率分别如表：
单价/万元
工作效率/（只/h）
A种型号
16
2500
B种型号
20
3000
（1）求购进A，B两种型号的口罩机各多少台；
（2）现有200万只口罩的生产任务，计划安排新购进的口罩机共15台进行生产．若工厂的工人每天工作10h，则至少购进B种型号的口罩机多少台才能在5天内完成任务？
【分析】
（1）设购进A种型号的口罩生产线x台，B种型号的口罩生产线y台，根据财政拨款560万元购进A，B两种型号的口罩机共30台，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据工作总量＝工作效率×时间结合在5天内完成200万只口罩的生产任务，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解析】
（1）设购进A型号口罩机x台，B型号口罩机y台，
．
解之得
．
答：
购进A型号口罩机10台，B型号口罩机20台；
（2）设购进B型口罩机m台，则5×10×[2500（15﹣m）+3000m]≥2000000．
解之得m≥5．
答：
至少购进B型号口罩机5台．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；
（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
9．（2020春•泰州期末）学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．
（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；
（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，问A型节能灯最多可以买多少只？
【分析】
（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价y元，根据1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元列出方程组，求出方程组的解即可；
（2）设A型节能灯买了m只，则B型节能灯买了（50﹣m）只，根据A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍列出不等式，求出不等式的解集即可．
【解析】
（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价y元，
则
，解得：
，
答：
一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价7元；
（2）设A型节能灯买了m只，则B型节能灯买了（50﹣m）只，
依题意，得m≤3（50﹣m），
解得：
m≤37
，
∵m为整数，
∴m的最大值为37．
答：
A型节能灯最多可以买37只．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，能根据题意列出方程组或不等式是解此题的关键．
10．（2020•宿迁一模）某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件400元，乙种奖品每件300元．
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了6500元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件；
（2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过6800元，求该公司有哪几种不同的购买方案．
【分析】
（1）设甲种奖品购买了a件，乙种奖品购买了（20﹣a）件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了6500元列方程400a+300（20﹣a）＝6500，然后解方程求出a，再计算20﹣a即可；
（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（20﹣x）件，利用购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元列不等式组
，然后解不等式组后确定x的整数值即可得到该公司的购买方案．
【解析】
（1）设甲种奖品购买了a件，乙种奖品购买了（20﹣a）件，
根据题意得400a+300（20﹣a）＝6500，
解得a＝5，
则20﹣a＝15，
答：
甲种奖品购买了5件，乙种奖品购买了15件；
（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（20﹣x）件，
根据题意得
，
解得
x≤8，
∵x为整数，
∴x＝7或x＝8，
当x＝7时，20﹣x＝13；当x＝8时，20﹣x＝12；
答：
该公司有2种不同的购买方案：
甲种奖品购买了：
7件，乙种奖品购买了13件或甲种奖品购买了8件，乙种奖品购买了12件．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．
11．（2020•雨花区校级二模）A市准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的提示牌和垃圾箱，若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是提示牌单价的3倍．
（1）求提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案．
【分析】
（1）设提示牌单价是x元，垃圾箱单价y元，根据关键语句“购买2个提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是提示牌单价的3倍”列出方程组，再解即可；
（2）设购买提示牌m个，则购买垃圾箱（100﹣m）个，然后根据“至少需要安放48个垃圾箱”和“费用不超过10000元”列出不等式组，再解即可．
【解析】
（1）设提示牌单价是x元，垃圾箱单价y元，由题意得：
，
解得：
，
答：
提示牌单价是50元，垃圾箱单价150元；
（2）设购买提示牌m个，则购买垃圾箱（100﹣m）个，由题意得：
，
解得：
50≤m≤52，
∵m为非负整数，
∴m＝50或51或52，
答：
购买方案有3种，
①购买提示牌50个，则购买垃圾箱50个；
②购买提示牌51个，则购买垃圾箱49个；
③购买提示牌52个，则购买垃圾箱48个．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程组和不等式．
12．（2019秋•苏州期末）阳光集团新进了20台电视机和30台电饭煲，计划将这50台电器调配给下属的甲、乙两个商店销售，其中40台给甲商店，10台给乙商店．两个商店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：
电视机
电饭煲
甲商店/元
100
60
乙商店/元
80
50
（1）设集团调配给甲商店x台电视机，则调配给甲商店电饭煲 （40﹣x） 台，调配给乙商店电视机
（20﹣x） 台、电饭煲 （x﹣10） 台；
（2）求出x的取值范围；
（3）如果阳光集团卖出这50台电器想要获得的总利润为3650元，请求出x的值．
【分析】
（1）直接利用集团调配给甲商店x台电视机，结合现有电视机和电饭煲数量分别得出答案；
（2）利用
（1）中所有式子大于等于0进而得出答案；
（3）直接利用这50台电器想要获得的总利润为3650元得出等式求出答案．
【解析】
（1）∵设集团调配给甲商店x台电视机，则调配给甲商店电饭煲（40﹣x）台，
调配给乙商店电视机：
（20﹣x）台，电饭煲（x﹣10）台；
故答案为：
（40﹣x），（20﹣x），（x﹣10）；
（2）根据题意可得：
∵
，
∴
，
∴10≤x≤20；
（3）根据题意可得：
100x+60（40﹣x）+80（20﹣x）+50（x﹣10）＝3650
解得：
x＝15．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出调配数量是解题关键．
13．（2020春•张家港市期末）共享经济来临，某企业决定在无锡投入共享单车（自行车）和共享电单车（电动车）共2000辆，已知每辆共享单车成本380元，每台共享电单车成本1500元．2辆共享单车和1辆共享电单车每周盈利31元，4辆共享单车和3辆共享电单车每周盈利81元．
（1）求共享单车和共享电单车每周每辆分别可以盈利多少元？
（2）为考虑投资回报率，该企业计划投入成本不超过174万元，每周的毛利不低于23050元，现要求投入的单车数量为10的倍数，请你列举出所有投入资金方案．
【分析】
（1）设共享单车每周每辆可以盈利x元，共享电单车每周每辆可以盈利y元，根据“2辆共享单车和1辆共享电单车每周毛利31元，4辆共享单车和3辆共享电单车每周毛利81元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设投入共享单车m辆，则投入共享电单车（2000﹣m）辆，根据总价＝单价×数量结合总利润＝每辆车的周利润×数量，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为10的倍数即可得出各投入方案．
【解析】
（1）设共享单车每周每辆可以盈利x元，共享电单车每周每辆可以盈利y元，
依题意，得：
，
解得：
．
答：
共享单车每周每辆可以盈利6元，共享电单车每周每辆可以盈利19元．
（2）设投入共享单车m辆，则投入共享电单车（2000﹣m）辆，
依题意，得：
，
解得：
1125≤m≤1150．
∵为10的倍数，
∴m＝1130，1140，1150．
∴共有三种投入方案，方案一：
投入1130辆共享单车、870辆共享电单车，共需380m+1500（2000﹣m）＝1734400元；方案二：
投入1140辆共享单车、860辆共享电单车，共需380m+1500（2000﹣m）＝1723200元；方案三：
投入1150辆共享单车、850辆共享电单车，共需380m+1500（2000﹣m）＝1712000元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；
（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
14．（2019春•崇川区校级期中）为迎接食品安全检查，南通市计划对崇川区A，B两类饭店全部进行改造．根据预算，共需资金1500万元，改造两个A类饭店和三个B类饭店共需资金325万元；改造一个A类饭店和四个B类饭店共需资金350
万元．
（1）改造一个A类饭店和一个B类饭店所需资金分别是多少万元？
（2）若需改造的A类饭店不超过6个，则B类饭店至少有多少个？
（3）今年计划对A，B两类饭店共7个进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过420万元；区财政投入的改造资金不少于68万元，其中区财政投入到A，B两类饭店的改造资金分别为每个8万元和12万元，请你通过计算求出有几种改造方案．
【分析】
（1）设改造一个A类饭店需资金x万元，改造一个B类饭店需资金y万元，根据“改造两个A类饭店和三个B类饭店共需资金325万元；改造一个A类饭店和四个B类饭店共需资金350万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设需改造的B类饭店有m个，则需改造的A类饭店有（30
m）个，结合需改造的A类饭店不超过6个，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
（3）设改造A类饭店a个，则改造B类饭店（7﹣a）个，根据“今年市财政拨付的改造资金不超过420万元，区财政投入的改造资金不少于68万元”，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为正整数即可得出结论．
【解析】
（1）设改造一个A类饭店需资金x万元，改造一个B类饭店需资金y万元，
依题意，得：
，
解得：
．
答：
改造一个A类饭店需资金50万元，改造一个B类饭店需资金75万元．
（2）设需改造的B类饭店有m个，则需改造的A类饭店有
（30
m）个，
依题意，得：
30
m≤6，
解得：
m≥16．
答：
需改造的B类饭店至少有16个．
（3）设改造A类饭店a个，则改造B类饭店（7﹣a）个，
依题意，得：
，
解得：
1≤a≤4，
又∵a为正整数，
∴a可以为1，2，3，4，
∴共有4种改造方案．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；
（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
15．（
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