天津市部分区学年高二上学期期末考试数学试题.docx
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天津市部分区学年高二上学期期末考试数学试题
【区级联考】天津市部分区2020・2021学年高二上学期期末
考试数学试题
学校:
姓名：
班级：
考号：
一、单选题
X2
1.双曲线L-y=i的焦点坐标为（）
2
A.（-3,0）,（3,0）B.（0，-3）,（0,3）
C.（-VJ，0），（VT，0）D.（0,-右），（0,/）
2.命题'勺4£（0,+8）,使得e%V。
”的否定是（）
A.3xo£（0,+8）,使得已">,％
B.3Xo^（0,+8）,使得已“之.%
C.VxG（0,+8）,均有e*>x
D.VxG（0,+8）,均有
3,若复数z=H（i为虚数单位），则z的共挽复数三=（）
A.1+iB.-1+iC.1—iD.-1—i
4.设xeR,则是、2>r，的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.设公比为-2的等比数列QJ的前a项和为2,若£=?
，则由等于（）
2
A.8B.4C.-4D.-8
6.已知函数f（x）=lnx--X2,则f（x）（）
2
A.有极小值，无极大值
B.无极小值有极大值
C.既有极小值，又有极大值
D.既无极小值，又无极大值
7.在数列QJ中，2=3,*=2a-1（nGN*）,则数列QJ的通项公式为（）
8.在空间四边形相⑦中，向量通=（0,2,-1）,AC=（-h2,0）,X5=（0
-2,0）,则直线也?
与平而嫉所成角的正弦值为（）
C.
二、填空题
11.曲线y=2x+—在点（1,3）处的切线方程为
9
12.已知向量@=（2,-1,3）与。
=（3,X,-）平行，则实数X的值为.
2
13.已知a,b均为正数，4是2a和8的等比中项，则升6的最小值为.
1
14.设£是等差数列｛a｝的前〃项和，已知a：
=2,S=6a,则数列一｝的前10
项的和为.
15.已知离心率为火的椭圆二十:
=1（a>b>0）的两个焦点分别为£,点尸
3a2b2
在椭圆上，若pfwPR=o,且△出凡的面积为4,则椭圆的方程为三、解答题
16.已知复数Z=（〃J+2〃2）+（〃?
2-2〃?
-3）i,meR（i为虚数单位）.
（1）当加=1时，求复数二的值：
1+i
（2）若复数Z在复平而内对应的点位于第二象限，求〃？
的取值范闱.
17.已知数列｛&｝的前A项和为£,且£=叫=2（nEN*）t正项等比数列｛圆满足
2
庆=&，65=恁・
（I）求数歹ULU与｛列的通项公式;
（II）设匕=a・凡求数列｛［J的前〃项和兀.
18.如图，已知多面体/15C-46G中，班，B艮,均垂直于平面37,ABLAC,AA.
=4,。
4=1,AB=AC=BB,=2.
（I）求证：
4UL平面血；
（II）求二面角6-46：
-G的余弦值.
X2
19.已知椭圆G—+/=1.
2
（I）求C的离心率：
一一?
（H）若直线2：
片=肝4（0为常数）与。
交于不同的两点3和6,且=
其中。
为坐标原点，求线段相的长.
2凌2
20.已知函数f（x）=-/-a£R.
32
（【）当a=l时，求f（x）在［-1,1］上的最大值和最小值：
（II）若f（x）在区间［L,2］上单调递增，求”的取值范围；2
（III）当-0时，试判断函数g（x）=/（'）-（"+2）''匚"其中F（X）是f
xlnxx-1
（X）的导函数）是否存在零点，并说明理由.
参考答案
1.c
【解析】
【分析】
利用双曲线的标准方程直接计算。
【详解】
2
由双曲线工-炉=1可得：
（r=2*2=1,则c=J^万=6
2
2
所以双曲线9-炉=1的焦点坐标为：
（-6,0）,（6,0）2
故选：
C
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单性质，属于基础题。
2.D
【分析】
由特称命题的否定直接写出结果即可判断.
【详解】
命题TXoG（0,+8）,使得小〈玉,”的否定是：
“Vx£（0,+OO）,使得，之X”
故选D
【点睛】
本题主要考查了特称命题的否定，属于基础题.
3.B
【解析】因为z==《=-1一i,所以5=-l+i,应选答案B。
4.A
【详解】
试题分析：
由X>1可得成立，反之不成立，所以是的充分不必要条
件考点：
充分条件与必要条件
5.C
【解析】
【分析】
由求出/,再由等比数列通项公式求出小即可。
【详解】
由得：
-Lil,又广—2
2l—q2
解得：
”1=L，所以。
4=%4,=-42
故选：
C
【点睛】
本题主要考查了等比数列的前n项和公式及等比数列通项公式,考查计算能力，属于基础题。
6.B
【解析】
【分析】
求出了'（X）,对了'（工）的正负分析，即可判断函数的极值情况。
【详解】
11—V2z
由题可得：
fl（x）=--x=^——（x>o）,
.XA
当x>l时，/,（x）<0
当Ovxvl时，/'（x）>0
所以f（*）在X=1处取得极大值，无极小值。
故选：
B
【点睛】
本题主要考查了利用导数判断极值的方法，属于基础题。
7.C
【分析】
构造新的等比数列｛4-1｝，求出4-1，从而求出册
【详解】
由an-t=2an-1得：
〃”+1-1=-1）,
所以数列｛〃“一1｝是以％-1=2为首项，公比为2的等比数列.
所以《一1=2・2M=2",所以4=2"+1
故选：
C
【点睛】
本题主要考查了转化思想，等比数列的通项公式，考查了构造法，属于基础题.
8.A
【分析】
求出平面ABC的一个法向量G，再求出而与G夹角的余弦即可.
【详解】
设〃=（x,y,z）是平而ABC的一个法向量，则;;.施=0且G.*=0,即：
0xx+2y+（-l）xz=0
\,，不妨令），=1，解得：
x=2,z=2
-lxx+2y+0xz=0
所以，;=（2,1,2）
AD•n0x2+（—2）x1+0x21
而与〃夹角的余弦为：
|A4M「府+（_2）2+0?
方+1+22-3所以直线也?
与平而月5。
所成角的正弦值为1.
故选A
【点睛】
本题主要考查了平而向量法向量的求法及利用向量求直线与平面所成角，考查了转化思想及计算能力，属于基础题.
9.B
【分析】
由双曲线的离心率为2求得其渐近线方程，再由抛物线的准线与渐近线方程求得交点M,N坐标，利用△儿蛆.为正三角形列方程即可求得。
，从而求得双曲线的方程.
【详解】
由双曲线的离心率为2可得：
e=£=2,所以2=11=囱
aa7a2、
丫？
v~bl
所以双曲线r—r=1（a>0,6>0）的渐近线方程为：
y=±-X=±J?
X,crb-a
又抛物线,=8x的准线方程为：
犬=—2,
由1=±瓜得邛=28或卜=-2色所以闻_2,2例N（-2,-2⑹
x=-2x=-2x=-2
片为双曲线的右顶点，且△儿心.为正三角形，则：
2+“=JJx2/，解得：
。
=4
所以Z?
=45/3♦22
所以双曲线的方程为二-二=1.1648
故选B
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单性质及抛物线的简单性质，考查了转化思想及计算能力，属于中档题.
10.D
【解析】
【分析】
由£（x）+f（x）<0确定函数g（x）=/・f（x）为单调递减函数，转化不等式g（l+Q
VgJE）为：
1+产,〃”对于任意的实数匕恒成立，变形成：
产一〃"+1>0对于任意的实
数亡恒成立，利用/<0即可求得实数s的取值范围。
【详解】
由g（x）=/・f（x）得：
g'（x）=ex-f（A）+•f\x）=ex（/（x）+f'（x））,
又F（x）+f（x）<0,所以g'（x）<0,
故g（x）=/・f（y）在R上单调递减，
所以不等式g（1+尸）对于任意的实数£恒成立可转化成：
1+产〉〃”对于任意的实数”回成立,
即：
产—〃”+1>0对于任意的实数£恒成立,
所以△="?
2-4vO，解得：
—2故选：
D
【点睛】
本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及利用单调性解决抽象不等式问题，考查了转化思想及一元二次不等式恒成立问题，属于中档题。
11.x-y+2=0
【分析】
求出从而求得切线斜率k=/'
（1），由直线方程的点斜式即可求得切线方程.
【详解】
由题可得：
/（刈=2-/，所以切线斜率⑴=1,
所求切线方程为：
y-3=x-l,整理得：
x—y+2=0
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义及直线方程的点斜式，考查计算能力，属于基础题.
12.」
2
【分析】
9
利用向量1=（2,-1,3）与5=（3,入，-）平行列方程即可求解.
2
【详解】
9
因为向量M=（2,-1,3）与〃=（3,入，—）平行，
2
2-13o
所以：
了一力一百，解得:
/1=--
22
【点睛】
本题主要考查了空间向量平行的坐标表示及方程思想，属于基础题
13.4^2
【解析】
【分析】
由4是2a和8的等比中项列方程，再利用基本不等式即可求解。
【详解】
因为4是2a和6的等比中项，所以2。
〃=16,Xarrb>2y/ob=4x/2»
当且仅当“=〃=2应时，等号成立。
所以arb的最小值为4JT。
【点睛】
本题主要考查了等比中项概念及基本不等式应用，属于基础题。
14.A
12
【解析】
【分析】
1111
利用鼻=2,$=6为求得〃，从而求得〃“，对裂项得：
=----
%,4%//〃+1〃+2
1
从而求得数列｛——｝的前10项的和o一♦%
【详解】
由S=6a得：
9q+36f/=6（q+7d）,又2=2
所以：
（1=1,所以q,=q+（〃-l）d=〃+l
1111
所以=7K7―M=—r7，
«/J+1-a,t（〃+2）（〃+1）〃+177+2
1111
所以数列｛工一｝的前io项的和为：
++♦•,+二
j_=2_
12-12
【点睛】
本题主要考查了等差数列前n项和公式及通项公式，考查了裂项求和方法及计算能力，属于中档题。
【分析】由椭圆离心率为中得：
cr=3b2,由户鸟=0得AP"鸟为直角三角形，再由椭圆
定义及三角形面积公式、勾股定理列方程组即可求得4〃，从而得解.
【详解】
由椭圆二+二=1（a>6>0）离心率为立可得：
£=如，b-3a3
又/=〃+c2,代入上式整理得：
42=3/,
由「耳。
户£=0得AP耳后为直角三角形，又△出£的面积为4,
—mn=4
2
a2=3b2
a2=b2+c
所以椭圆的方程为：
—=1.
124
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义及简单性质，向量垂直的数量积关系，考查计算能力，属于中档题.
【分析】
（I）将〃7=1代入，利用复数运算公式计算即可.
（II）由复数z在复平而内对应的点位于第二象限列不等式组求解即可.
【详解】
（I）当机=1时，2=3-4/,
.z_3_4/_17.
1+7-1+/~~2~21,
（ID•••复数z在复平面内对应的点位于第二象限,
..〃，+2〃?
<0-2m-3>0
解得一2<〃?
<—1,
所以〃？
的取值范围是（一2,-1）.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算及复数对应的点知识，考查计算能力，属于基础题.
17.（I）an=3n-2,bn=2''~l（ID7；=5+（3〃-5）・2”
【分析】
（I）利用S”法直接求知，再由A=求出g,从而求得”.
（H）利用乘公比错位相减法求解即可.
【详解】
（I）当〃22时
4=Sn-Si,
2-2
=3/7—2»
当〃=1时，卬=S]=1也适合上式，
a„=3〃-2.
4=1,么=16.
设数列色｝的公比为夕，则/=16.
•F>0,，g=2,
・•.bn=2"T
（II）由⑴可知，%=（3〃-2）・2"-1,
M=G+G+・.・+c〃
=1+4x2+7x22+...+（3〃-5）.2"-2+（3〃-2）.2i①，
27；=1x2+4x2?
+…+（3〃-5）・2"t+（3〃—2）-X②
由①一②得，
-7；,=l+3x（2+22+...+2w-,）-（3n-2）-2n
2—x2
=l+3x-⑶l2）・2〃
1-217
・・.（=5+（3〃-5）2”.
【点睛】
5.（n=l）
（1）本题主要考查了赋值法及S”法求通项公式，即勺=＜。
],‘小，还考查了等比
数列的通项公式.
（2）利用错位相减法求和，注意相减时项的符号，求和时项数的确定，最后不要忘记除1-q，在写出“5“”与“夕S””的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出
“S“-qSj的表达式.
18.（I）见证明：
（H）
17
【分析】
（I）建立空间直角坐标系，求出A,C,通的坐标，利用数量积来确定
AB±A,C,从而得证.
（H）求得平面ABB1的一个法向量衣坐标，再利用数量积求得平而44G的一个法向量
后坐标，利用向量夹角公式即可求得二面角B-A瓜-G的余弦值.
【详解】
以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则4（000）,3（2,0,0）,C（0,2,0）,4（0,0,4）,男（2,0,2）,q（0,2,1）.
（I）证明：
BC,=（-2,2,1）,后=（O,2,-4）,AB=（2,0,0）
VBC\\C=0+4-4=0,
ABA^C=0+0+0=0,
所以8G«LAC,AB1A.C.
YABcBC1=B,
・•.4。
_L平而ABC].
（II）由题意可知，平面ABC,4Cu平面ABC,
M±AC
又•••ABLAC，ABr>AAl=Af
:
.AC_L平而
工平面A8q的一个法向量为衣=（0,2,0）.
・・・A4=（2,0,-2）,AG=（°，2，-3）,
设平面A8£的一个法向量为万=（xy,z）,
显然二而角B—A£-G为锐二面角,
・•.二面角8—4万—G的余弦值为今，
【点睛】
（1）本题主要考查了线面垂直的判定及向量数量积的应用，向量的坐标运算及向量数量积的坐标运算.
（2）本小题主要考查了转化思想及向量夹角公式，还考查了平而法向量的求法，考查计算能力，属于基础题.
19.（I）e=—（II）-
23
【分析】
（I）由题可得：
"力,求出C即可求得离心率.
一一2
（II）联立直线与椭圆方程，整理，利用。
4608=彳可求得♦〃，再利用弦长公式求得线段月£的长.
【详解】
（I）由题意可知：
，『=2,〃=1,
:
*c2=cr-b2=1>
■■匕———^―^―•■
a2
（II）设4（外方）B（x2,y2）,
V=x+in
由Y2」
+）—1
2'
消去）得3W+4mx+2m2-2=0
△=16m2-12（2w2-2）=24-8/n2>0.
：
・一6<巾<5①
=（玉+〃?
）（兑+=玉士+ni（x}+占）+nr="'、~.
又•血砺=2.
3
因为：
凹为+玉/=〃/一1,所以〃/一1='.
•*•m=±-^2满足①式,
•*•|A川=V2^（x）+x2）2-4x^2
_r^J16〃/~8/7/2-8
―y\~93
=4
3
4
二线段A3的长为一.
3
【点睛】
（1）本小题主要考查了椭圆的简单性质，属于基础题.
（2）考查了直线与椭圆相交知识及方程思想，考查了韦达定理及数量积的坐标表示，弦长公式，还考查了计算能力，属于中档题.
ios
20.（I）/（A-）min=--,/（x）max=—（II）6/<2a/2-2（III）见解析o24
【分析】
（I）求出了'（M，对/'（X）的正负判断，从而确定函数的单调性，即可求得函数的最值.
（H）转化成,尸（工）之。
在区间［J,2］恒成立，再参变分离，转化成函数最值问题，利用基本不等式求最值即可.
（III）将所求问题化简转化成方程〃"nx-亚二1=0在（。
1）=（1,一）内是否有解，利用
X
导数说明函数h（x）=mhu-也二U的单调性，再由h（l）=0即可判断原函数不存在零点.
【详解】
23
（I）当。
=1时,f（x）=-x3--x2+x,
//（x）=2.v-3x+l,
令ra）=o得或x=i.
当x变化时，r（x）,一幻的变化情况如下表:
X
-1
2）
1
2
加
1
小）
+
0
f（x）
19
~~6
单调递增/
极大值；24
单调递减、
£6
（II）/（工）=2寸一（〃+2）1+1
・•・/（X）在21上是单调递增函数,
，/'（x）=2r2—（。
+2）1+1之。
在xe1,2上恒成立.
即：
a+2<[2x+-
VX/min
・•・当且仅当工=立时，2x+、N2应成立.2x
戊-2
（III）由题意可知，g（X）=---^-=X————,JG（O,l）kJ（l,-^C）
Inxx-1\inxx-1/
要判断g（x）是否存在零点，只需判断方程2-〃土=。
在（。
/）=（1,”）内是否有解,Irtvx—1
即要判断方程〃出LT-生二12=0在（0,1）=（1,36）内是否有解.X
_/、2（x-l）
设〃（X）=ndnx-,
小）=三一卷=号^x＜o,i）5i”），
可见,当团＜o时，/?
’（X）＜0在（0,1）51，”）上恒成立.
.♦./?
（工）在（0,1）上单调递减，在（1,+0。
）上单调递减.
V/2（l）=0,
，力（工）在（0,1）和（1,*。
）内均无零点.
....,、f'（x\+（a+2\x-\mx2..
故函数§（x）=———■无零点
xlnxx-1
【点睛】
（1）主要考查了利用导数求函数的最值，还考查了转化思想.
（2）考查了导数与函数单调性关系及转化思想，还考查了基本不等式的应用.
（3）考查了导数计算及转化思想，考查了函数零点判断及利用导数判断函数的单调性知识、计算能力，属于中档题.
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