中考考点二次函数知识点汇总全doc.docx
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中考考点二次函数知识点汇总全doc
内容：
1、一元一次函数；
2、一元二次函数；
3、反比例函数
★二次函数知识点
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：
一般地，形如
yax2
bxc（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数。
这里需要
强调：
和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2.
二次函数y
ax2
bx
c的结构特征：
⑴
等号左边是函数，右边是关于自变量
x的二次式，x的最高次
数是2．⑵
a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，
c是常数项．
二、二次函数的基本形式：
1.
二次函数基本形式：
二次函数
yax2
bxc用配方法可化成：
yax
h2
k的形式，其中
h
b
，k
4ac
b2
2a
4a
.
2.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①yax2；②yax2
k；③yax
h2；④yaxh2
k；⑤yax2
bxc
三、二次函数的性质：
1、yax2
的性质：
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
y轴
时，y随x的增大而增大；时，
y随x的增大
向上
0，0
而减小；时，
y有最小值0．
y轴
时，y随x的增大而减小；时，
y随x的增大
向下
0，0
而增大；时，
y有最大值0．
2
2.yaxc的性质：
上加下减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
0，c
y
轴
时，y随x的增大而增大；时，
y随x的增大
而减小；时，
y有最小值c．
向下
0，c
y
轴
时，y随x的增大而减小；时，
y随x的增大
而增大；时，
y有最大值c．
2
3.yaxh的性质：
左加右减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
时，y随x的增大而增大；时，
y随x的增大
向上
h，0
X=h
而减小；时，
y有最小值0．
时，y随x的增大而减小；时，
y随x的增大
向下
h，0
X=h
而增大；时，
y有最大值0．
4.yaxh
2
k的性质：
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
时，y随x的增大而增大；时，
y随x的增大
向上
h，k
X=h
而减小；时，
y有最小值k．
时，y随x的增大而减小；时，
y随x的增大
向下
h，k
X=h
而增大；时，
y有最大值k．
5.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数
a相同，那么抛物线的开口方向、开口大
小完全相同，只是顶点的位置不同.
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法
2
4ac
b2
b
4ac
b2
b
yax
2
bx
b
（
x
cax
，
）
2a.
（1）公式法：
2a
4a
，∴顶点是
2a
4a
，对称轴是直线
（2）配方法：
运用配方法将抛物线的解析式化为
y
ax
h2
k的形式，得到顶点为（h,k），对称轴是.
（3）运用抛物线的对称性：
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，
所以对称轴的连线的垂直平分线是抛
物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
四、二次函数图象的平移：
2
1.平移步骤：
方法一：
⑴
将抛物线解析式转化成顶点式
y
ax
h
k，确定其顶点坐标
h，k
；
⑵保持抛物线y
ax2
的形状不变，将其顶点平移到
h，k
处，具体平移方法如下：
y=ax2
向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位
y=ax2+k
向右（h>0）【或左（h<0）】
向右（h>0）【或左（h<0）】
向右（h>0）【或左（h<0）】
平移|k|个单位
平移|k|个单位
平移|k|个单位
向上（k>0）【或下（k<0）】
平移|k|个单位
y=a（x-h）2
y=a（x-h）2+k
向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|个单位
h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．
2.平移规律：
在原有函数的基础上“
概括成八个字“左加右减，上加下减”
．
方法二：
⑴y
ax2
bx
c沿轴平移:
向上（下）平移个单位，
y
ax2
bx
c变成
y
ax2
bx
c
m（或yax2
bx
c
m）
⑵y
ax2
bx
c沿轴平移：
向左（右）平移个单位，y
ax2
bx
c变成y
a（xm）2
b（xm）c
（或y
a（x
m）2
b（x
m）c）
2
k与y
ax2
c的比较
五、二次函数
y
a
x
h
bx
2
ax2
bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，
从解析式上看，
y
a
xh
k与y
2
2
2
y
a
b
4ac
b
b，k
4acb
h
x
4a
即
2a
，其中
2a
4a
．
六、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a
二次函数yax2
bxc中，a作为二次项系数，显然．
⑴当时，抛物线开口向上，
a的值越大，开口越小，反之
a的值越小，开口越大；
⑵当时，抛物线开口向下，
a的值越小，开口越小，反之
a的值越大，开口越大．
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，
a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2.一次项系数b：
在二次项系数
a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．
⑴在的前提下，当时，
b
b
0
b
0
y轴左侧；当时，
2a
y轴；当时，
0
2a，即抛物线的对称轴在
，即抛物线的对称轴就是
2a
，
即抛物线对称轴在y轴的右侧．
b
b
0
，即抛物线的对称轴在y
0
⑵在的前提下，结论刚好与上述相反，
即当时，
2a
轴右侧；当时，
2a
，
b
y轴；当时，
0
即抛物线的对称轴就是
2a，即抛物线对称轴在y轴的左侧．
总结起来，在a确定的前提下，
b决定了抛物线对称轴的位置．
x
b
2a在轴左边则ab
0，在轴的右侧则ab0，概括的说就是“左同右
（3）的符号的判定：
对称轴
异”
y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
3.常数项c：
⑴当时，抛物线与
⑵当时，
抛物线与y轴的交点为坐标原点，
即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶
当时，抛物线与y轴的交点在x
轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，
c决定了抛物线与
y轴交点的位置．总之，只要
a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
一般来说，有如下几种情况：
1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．七、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1.
关于x轴对称：
y
ax2
bxc关于x轴对称后，得到的解析式是y
ax2
bx
c；
2
2
k；
y
axh
k关于x轴对称后，得到的解析式是
y
ax
h
2.
关于y轴对称：
y
ax2
bxc关于y轴对称后，得到的解析式是
y
ax2
bx
c；
2
2
k；
y
axh
k关于y轴对称后，得到的解析式是
y
ax
h
3.
关于原点对称：
y
ax2
bxc关于原点对称后，得到的解析式是
y
ax2
bx
c；
2
k关于原点对称后，得到的解析式是
2
k；
yax
h
y
ax
h
4.关于顶点对称（即：
抛物线绕顶点旋转180°）：
yax2bxc关于顶点对称后，得到的解析式是
2
2
b
2
2
y
ax
bx
c
k关于顶点对称后，得到的解析式是
yaxhk．
2a；yaxh
2
5.关于点
m，n
对称：
y
axhk关于点
m，n
对称后，得到的解析式是
y
ax
h
2
k
2m2n
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
八、二次函数与一元二次方程：
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
2
bxc0是二次函数y
ax
2
bxc当函数值时的特殊情况.
一元二次方程ax
图象与x轴的交点个数：
①
当
b2
4ac
0时，图象与x轴交于两点A
x1，0，B
x2，0
（x1x2），其
ABx2
b2
4ac
ax2
x1
中的是一元二次方程
bxc
0
a
0的两根．这两点间的距离
a
.
②当时，图象与x轴只有一个交点；
③当时，图象与x轴没有交点.
1'
当时，图象落在
x轴的上方，无论
x为任何实数，都有；
当时，图象落在x轴的下方，无论
x为任何实数，都有．
2.
抛物线yax2
bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为，；
3.
二次函数常用解题方法总结：
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶根据图象的位置判断二次函数
y
ax2
bx
c中a，b，c的符号，或由二次函数中
a，b，c的符号判
断图象的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个
交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式，
二次三项式ax2
bxc（a0）本身就是所含字母
x的二次函数；下
面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系
抛物线与
x轴有
二次三项式的值可正、
一元二次方程有两个不相等实根
两个交点
可零、可负
抛物线与
x轴只
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
有一个交点
抛物线与
x轴无
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
交点
九、函数的应用
刹车距离
何时获得最大利润
最大面积是多少
★二次函数考查重点与常见题型
1、考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以x为自变量的二次函数y
（m2）x2
m2
m
2的图像经过原点，
则的值是（
）。
2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个
函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数
y
kxb的图像在第一、二、三象限内，那么函
数ykx2
bx1的图像大致是（
）
y
y
y
y
1
1
0
x
o-1
x
0
x
0-1
x
A
B
C
D
3、考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性
x
5
3，求这条抛物线的解析式。
的综合题，如：
已知一条抛物线经过
（0,3），（4,6）两点，对称轴为
4、考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：
2
3
已知抛物线yax
bx
c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－
1、3，与y轴交点的纵坐标是－
2
（1）确定抛物线的解析式；
（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标
.
5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号
c
例1
（1）二次函数y
ax2
bx
c的图像如图1，则点M（b,a）在（）
A．第一象限
B．第二象限C．第三象限
D．第四象限
（2）已知二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，?
则下列结论：
①a、b同号；②当x=1和x=3
时，函数值相等；③
4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取
0.其中正确的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
（1）
（2）
【点评】弄清抛物线的位置与系数
a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．
例2.已知二次函数
y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2，O）、（x1，0），且1在点（O，2）的下方．下列结论：
①
aO；③4a+cO，其中正确结论的个数为
（）
A1个B.2个
C.3个
D．4个
答案：
D
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知：
关于
x的一元二次方程
ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线
x=2，则抛物线的顶点坐标为
（）
A（2，-3）
B.（2，1）
C（2，3）
D．（3，2）
答案：
C
例4.已知：
二次函数y=ax2-（b+1）x-3a的图象经过点P（4，10），交x轴于A（x1,0），B（x2,0）两点（x1
x2），
交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数的图象上是否存在点
M，使锐角∠MCO>∠ACO若存在，请你求出
M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．
（1）解：
如图∵抛物线交x轴于点A（x1，0），B（x2，O），
则x1·x2=3<0，又∵x1∴x2>O，x1∴x1·x2=-3x12=-3．∴x12=1.
x1<0，∴x1=-1．∴．x2=3．
∴点A（-1，O），P（4，10）代入解析式得解得
a=2b=3
∴．二次函数的解析式为y-2x2-4x-6．
（2）存在点M使∠MC0<∠ACO．
（2）解：
点A关于y轴的对称点A’（1，O），
∴直线A，C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为（0，-6），（5，24）．
∴符合题意的x的范围为-1当点M的横坐标满足-1∠ACO．
例5、某产品每件成本10
元，试销阶段每件产品的销售价
x（元）?
与产品的日销售量y（件）之间的关
系如下表：
x（元）
1
2
3
5
0
0
y（件）
2
2
1
5
0
0
若日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?
此时每日销售利润是多少元
15kb25,
【解析】
（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则2kb20解得k=-1，b=40，?
即一次函数表达式
为y=-x+40．
（2）设每件产品的销售价应定为
x元，所获销售利润为
w元：
w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）
2+225．
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为
225元．
★二次函数知识点汇总★
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★
9.抛物线y
ax2
bx
c中，a,b,c的作用
（1）a决定开口方向及开口大小，这与
y
ax2
中的a完全一样.
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置
.由于抛物线y
2
bx
c的对称轴是直线
x
b
2a,故：
ax
①时，对称轴为轴；②
（即a、b同号）时,对称轴在轴左侧；
③（即a、b异号）时,对称轴在轴右侧.
（3）c的大小决定抛物线
y
ax2
bx
c与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线y
ax2
bxc与轴有且只有一个交点
（0，c）：
①，抛物线经过原点;
②,与轴交于正半轴；③
与轴交于负半轴.
b
0
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立
.如抛物线的对称轴在轴右侧，则
a
.
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
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