周易的科学基石中国古代数学尚惠民.docx

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周易的科学基石中国古代数学尚惠民

《周易》的科学基石——中国古代数学

尚惠民

　　说到中国古代的传统文化，说到中国的国学，总不能不和群经之首的《周易》联系在一起。

“一阴一阳之谓道”，阴阳哲学是中国古代传统文化的核心，也是国学的核心。

《周易》就是一部讲阴阳变化的著作。

《周易》中所有阴阳哲理都蕴含在被称为阴阳爻的阴阳符号中，蕴含在由阴阳两个符号组成的八卦、六十四卦中。

而这一哲理又是通过阴阳符号中的数学数理体现出来的。

然而，《周易》给人的神秘感和那顶“占筮之书”的帽子，总难免带来一丝不安感。

甚至在一些涉及《周易》的文章中，难免给人一种犹抱琵琶半遮面的羞涩感。

事实上，只要了解了《周易》阴阳爻及八卦、六十四卦符号产生的数学基础，了解了其中蕴含的客观性、实践性和数学数理的科学性，就完全知道它究竟是一本什么样的著作了，大可不必怕人说你迷信。

　　本文就是在我的《易源探赜》一书的基础上，以《周易》阴阳爻符号与中国古代数学的关系，所作的进一步解读。

以期把《周易》从神秘和占筮之说中解放出来，为弘扬中国传统文化，为弘扬国学尽一片心意。

一、    中国古代数学的基本表达形式是方圆

　　中国古代勾股数学的产生，源于立竿测影的天文历法实践，是一种应用数学。

它的基本表达图形有两种，一种是内圆外方的“圆方图”形，一种是内方外圆的“方圆图”形。

这两种图形在《周髀算经》中都有刊载。

而且这两种数理图形在距今6000年前后的新石器文物中都有发现。

（图）：

两种圆方图形

　　内方外圆图形，表达的是合矩为方，旋方（或旋矩）为圆的数学方法。

用这种数学方法，连续旋方为圆，可以得到能表现二至二分日道关系的三环圆图。

在这种三环数学图形中，三环的直径和圆周成等比关系，且外环数是内环数的2倍。

考古发现的辽宁牛梁河红山文化三环石坛（距今5000年），就具有这种数理关系。

　　内圆外方图形，表现的圆径和方边相同时一种数理图形。

它直接和“勾三股四弦五”这一“商高定理”联系在一起。

《周髀算经》中商高在回答周公“天不可阶而升，地不可将尺寸而度”，“数从安出”时，说“数之法出于圆方”。

汉代赵爽解释“数之法出于圆方”说：

“圆径一而周三，方径一而匝四。

伸圆之周而为勾，展方之匝而为股，共结一角，邪适弦五。

政圆方邪径相通之率，故曰数之法出于圆方。

”

　　按照赵爽的解释，只要知道内圆外方图形中圆的直径数，以古圆周率三数，直径连加三次就是圆周数，连加四次就是方周数。

圆周数为勾，方周数为股，勾股数就产生了。

那么弦数如何产生呢？

沈士龙在《周髀题辞》中说“参两以生勾股”，说的是弦数与勾股数的关系。

参，即三；两，即二。

在“勾三股四弦五”的弦数五中，包含着“参两”的比例关系。

三就是勾数、圆周数；二就是股四的二分之一，是方周的半数即矩的两边数。

所以说“参两以生勾股”。

因为在所有用内圆外方图形产生的勾股弦算式中，所有的弦数中都存在“参两”的数理，弦数五是最小公约数。

所以，勾股圆方数学中弦数的计算方法，就是圆周数加方周数之半即矩数的和数。

这就是说，这种特殊的勾股弦数学方法，不是以乘方开方为计算方法，而是用加减方法就可以了。

　　相反，在内方外圆的数理图形中，圆径的求得不但要经过乘方开方，而且还涉及这一复杂的计算问题。

对新石器时期的先民来说，这也许是困难的。

因此，那些出现在新石器时期的旋方为圆的三环遗迹，可能只有实际的操作意义，很难是经过计算形成的。

先民应用的应该是简便的加减方法，即内圆外方的勾股数学方法。

　　随着乘方开方数学方法的产生，人们更注重的是这种数学方法在勾股数学中的应用。

对那种原始的简便的加减方法在勾股计算的应用，却渐渐忽视了。

然而，《周易》的卦爻符号中用的正是那种简便的加减勾股弦计算方法。

当一些学者用“内方外圆”图形和相对复杂的乘方开方数学方法去对待《周易》中的数学问题时，问题就变得复杂了。

因此，与真正了解、认识《周易》符号中蕴含的数学数理问题，也只有失之交臂了。

二，中国古代勾股圆方数学方法的图形表达

　　上古无文字表达工具，先民首先学会的是用形象的图形表达自己的认识，对于勾股数学数理也不例外。

如对于太阳的运动，古人就用“金乌负日”表现。

对于北斗七星环绕北天极的运动，就用猪（豕）来形象表达，因为古人在驯养野猪时看到野猪在小小的圆坑中打转转。

对于圆周数，古人就用数点三角图形表现。

这就是古人的以物象，“象其物宜”的方法。

按照“圆径一而周三，方径一而匝四。

伸圆之周而为勾，展方之匝而为股，共结一角，邪适弦五”的解释，我们可以仿照古人的图像表达方式，对“勾三股四弦五”的商高定理。

作如下图形：

　　从这一图形中我们可以看出，当伸展圆周为勾、伸展方周为股，组成直角三角形的勾股弦图形时，斜线一边为弦。

作为弦的斜线中，一部分与勾，即圆周伸展后的直线等长；另一部分正好是股的一半，即方周的两个边（矩）相同。

也就是说，弦中包含的是“参两”数理。

　　假如我们以内圆外方图形中的圆形（○）为勾数符号，以方形（□）作为股数符号，以矩形（□）作为方形的半数符号，以圆形加矩形（○＋）为弦数符号，用圆方矩图形结合现代勾股弦公式表达，则公式就成为：

（○）2＋（□）2＝（○＋）2

　　这是从圆、方、矩图形中包含的勾股弦数理列出的图形公式。

　　但直接用圆、方、矩还不足于体现它们与勾股弦图形的关系。

只有伸展圆方之周，“共结一角”，才能体现勾股弦的图形。

因此，伸展圆方周是必要的。

圆形（○）首尾相接，伸展后为一条直线：

“—-”；

方形（□）由四边组成，展开成四条短线：

“----”；

矩形（□）有两个边，展开为两条短线：

“--”，为方周（□）的半数。

如果用圆、方、矩伸展后的线形图形，作为勾股弦的“代数”符号，则勾股弦公式为：

（—）2＋（----）2＝[（—）＋（--）]2

　　这是由圆方矩图形伸展后的线形图形组成的勾股弦公式。

　　为什么说把圆、方、矩图形伸展开是必要的？

这是因为在古代立竿测影过程中，首先要确定东西南北四方方位，作东西和南北两条线垂直相交，在两线相交的地方，垂直竖起八尺高的髀表，日中午时观测表影长短；然后以髀表为股，以表影为勾，用勾股法“度日之高远”，计算出该天日道直径和圆周。

原始时期的数学都是实用数学，没有纯数学。

中国古代的勾股数学起源于立竿测影的天文历法实践，同时也反映着古人天圆地方的宇宙观念。

而勾股圆方数学数理中，因为其内圆外方图形的圆径和方边长之间的等长同率关系，可以表现天地之间的统一性；而且，圆、方周数形成的勾股数又可以在弦数中包含的圆周数和方周之半的矩数中得到统一。

勾股弦算式的产生，表明古人是运用了数学这一“神而明之”方法，才认识天地日月运行规律的。

而只有把圆、方、矩图形伸展开，组成直角的勾股弦图形，方能重现立竿测影活动的隆重和神圣，才能体现古人对勾股数学方法的崇拜和尊重。

　　站在古人象数思维的角度，在勾股圆方数学中，圆、方、矩图形伸展，建立象征立竿测影的三角形勾股弦图形，是必不可少的一步。

因此，完全可以用圆、方、矩图形伸展后的线形图形，作为勾股弦的代数符号。

用这种代数符号结合相对勾股弦数学，组成的公式：

（—）2＋（----）2＝[（—）＋（--）]2

　　对于我们了解中国古代数学，认识《周易》中蕴含的数学数理，是具有极其重要意义的。

 三、《周易》阴阳爻符号与勾股圆方数学的关系

　　《系辞传》说：

“一阴一阳之谓道”。

这“一阴一阳”在《周易》中分别称为阳爻和阴爻。

它们的图形就是：

　　阳爻的“—”形状，阴爻的：

“--”形状。

这两个阴阳爻符号，是组成《周易》八卦、六十四卦系统的基本因子。

要了解和认识《周易》中的数学数理必须从这一基本的符号入手。

　　《系辞传》说“昔者圣人之作易也，幽赞于神，明而生蓍，参天两地而倚数。

观变于阴阳而立卦，发挥于刚柔而生爻”。

这就是说，在《周易》的卦爻中蕴含着“参天两地”数理。

“参天两地”，就是“参两”。

三为奇数为阳，阳为天；二为偶数为阴数，阴为地。

所以“参两”又称“参天两地”。

　　现在我们把前面勾股圆方数学线形“代数”符号组成的公式，即：

（—）2＋（----）2＝[（—）＋（--）]2

　　拿过来与阴阳爻符号进行比较。

公式中弦中的“—”、“--”与作为阴阳爻符号的图形“—”、“--”，无论是在图形上，还是在其中蕴含的“参两”数理上，都是完全相同的。

　　这种作为勾股弦公式中弦数的“—”、“--”与作为《周易》阴阳爻符号图形“—”、“--”之间存在的相同性，究竟是偶然的，还是必然的？

如果是必然的，就能说明《周易》中的阴阳爻符号来源于勾股圆方数学中弦数的图形表现形式，说明阳爻（—）就是圆周（○）伸展的图形，阴爻（--）就是方周之半矩形（）伸展后图形。

当然，这还要作进一步的证明。

　　证明的方法，就是把《周易》阴阳爻自身包含的数理代入到圆、方、矩伸展后的线形勾股弦公式中，看能不能形成勾股数，并同时能还原成圆径、方边相同的内圆外方数理图形。

　　在《周易》的阴阳爻中包含着两组数字。

一是阴阳爻名称中的阳爻九、阴爻六数；一是阴阳爻策数的阳爻策数三十六、阴爻策数二十四数。

如下图：

卦爻数理图

　　图中的初、二、三、四、五、上为爻位数。

阳爻九、阴爻六是阴阳爻的数理名称。

阳爻后面的36、阴爻后面的24，就是阴阳爻的策数。

把这9、6，36、24两组数字分别代入公式：

[（—）＋（--）]2＝（—）2＋（----）2

其中（----）＝2（--）

1、阴阳爻名称中的九、六数，符合“参两”数理，代入公式后，即得算式：

① （9＋6）2＝92＋122 即：

152＝92＋122

225＝81＋144，等式成立，

即：

勾九股十二弦十五。

　　其还原后的内圆外方图形为：

圆径和边长同为3数，圆周为9、方周为12的圆方数理图形。

2、阴阳爻中，阳爻策数数三十六、阴爻策数二十四，亦符合“参两”数理。

代入公式后得算式：

②（36＋24）2＝362＋482  即：

602＝362＋482

    3600＝1296＋2304，等式成立，

    即：

勾三十六股四十八弦六十。

　　还原后的内圆外方图形为：

圆径、方边同为12数，圆周为36、方周为48的内圆外方数理图形。

　　①、②两个勾股弦算式不但成立，而且都可以还原出相应的内圆外方数理图形。

这就证明了《周易》中阴阳爻符号的“—”、“--”图形，不仅包含着“参两”的数理，并且也是勾股圆方数学图形中圆周（○）、方周之半矩形（）伸展后图形。

同时，也证明它们在《周易》符号系统中具有“代数”符号的作用。

这种距今3000年前的“代数”符号，应该是世界上最早的“代数”符号了。

　　也可能是太过久远了，具有现代数学知识的人们，很难把它们与现在的数学代数符号联系起来思考，所以在《周易》阴阳爻的由来问题上，出现种种脱离卦爻数理的猜测，也就难怪了。

四、阴阳爻数理中包含的历数

　　在《周易》中，阴阳爻相合，以勾股圆方数学中的弦数形式存在。

这着实令人惊奇，也不能不为先民的智慧所折服。

那么它们的数理究竟在《周易》中起什么作用？

要表达的是什么内容？

这是我们首先要弄清楚的问题。

首先，在阴阳爻的数理符号中已经包含“参天两地”数，三、二相合为五。

阴阳爻名称中有九、六数，阴阳相合，九、六合为十五数。

阳爻策数三十六、阴爻策数二十四，阴阳相合，三十六、二十四相合为六十。

　　在中国古代的历法中，五日一候，一岁七十二候；三候一气，一气十五日；三气一节，一节四十五日，一年八节二十四气。

原来，阴阳爻中包含的五数、十五数表达是古代历法中一候、一气的基本周期数理。

　　殷商甲骨文中已经有众多的六十甲子表出土。

六十甲子周期中国古代历法中重要的纪日周期数，后来又用于纪年、纪月、纪时。

一岁三百六十历度，为六个甲子周期。

因此，阴阳爻策数之和的六十数，表达是六十甲子周期数理。

　　如果把阴阳爻名称中九六数表达的十五气数周期，代入到《周易》八卦、六十四卦符合之中，我们就会发现八卦中的乾坤等阴阳爻相反的每一对卦中，都出现四十五数。

这个四十五数，就是一节的周期数。

代入到六爻的重卦中，每一对阴阳爻完全相反的一对卦中，都会产生九十数，此为一年四时中一时的历数，即两节六个气数周期。

　　同样，把阴阳爻策数相合的六十数，代入八卦阴阳爻相反的每一对卦中，产生的就是一百八十数（阳策108、阴策72），此为半年的历度三个甲子周期。

代入到六爻的重卦中，每一对阴阳爻相反的一对卦中，都产生三百六十数（阳策216、阴策144），为一岁的历度六个甲子周期。

六十四卦分为阴阳爻完全相反的三十二对对卦，其策数一万一千五百二十（阳爻192策数6912，阴爻192策数4608），为三十二年的历度。

　　历者，数也。

历法以数作为依据，离开了数，就无法谈历法。

历数既是对日月运行形成的节气变化周期的客观反映，也是对日月地相对运动的年、月、日周期的客观反映。

因此，《周易》阴阳爻和其中包含的不同数理，其真正的作用在于客观的表现中国古代历法中的各种大小周期的历数。

　　中国古代的历法分阴阳合历。

《周易》中乾坤六阳六阴爻相合成360数，就是太阳历天、太阴历约天的平均数。

象征阴阳平衡。

五、绝妙的设计丰富的含义

　　圆周（○）伸展成一条直线（—），方周之半的矩形（）伸展成两条短线（--）。

两个再简单不过的图形，却成为《周易》这部神奇著作的基本符号，这着实令人惊奇不已。

其中不仅蕴含了“一阴一阳之谓道”，这种深刻的哲理，而且把中华先民数千年认识自然规律的实践活动统统涵盖在其中。

这是何等的智慧！

何等的化繁为简能力！

　　不得不让人为此感到震撼。

　　阴阳爻以其包含的数理，在表达历数的同时，又以勾股数学中的弦数形式出现在《周易》八卦、六十四卦符号体系之中。

一端是历法中的历数，另一端却是勾股圆方的数理。

圆者为天，方者为地。

勾股数学是古人认识天地日月四时阴阳变化的工具，联系的是历数产生的天文历法实践活动。

一个历数，一个勾股弦等式，一个既生成勾股数又象征天圆地方的圆方图形，却被两个极其简单的阴阳爻符号全部涵盖在其中。

古人通过精妙设计不但产生了内涵丰富《周易》符号体系，而且极其明白的表达了认识自然规律的实践活动和取得的成就。

　　阴阳爻中所用的数理，不仅要符合历数，又必须符合勾股数理，还要能还原为圆径、边长相同并与勾股数相应的内圆外方图形，这些条件缺一不可。

因为历数是天文历法实践的产物，天文历法实践又离不开勾股圆方数学。

这说明，阴阳爻中包含的数理都是经过严格选择、精心设计的，决不带有任何的随意性。

　　五日一候，一年七十二候。

候，即物候。

中国古代有物候历。

通过物候变化了解节气和气候变化，是古代先民很早就开始了的。

《尚书》就已有物候的记载。

《夏小正》更多的物候记录。

　　八节二十四气是立竿测影的产物。

早在距今8000年前后，中华先民就开始了立竿测影的实践活动，后来又用勾股圆方数学方法计算出了与二十四节气表影相应的太阳日道变化数理。

在《周髀算经》一书中，不但有二十四节气表影长短的记录，而且还有表达二十四节气中十二个中气的“七衡图”。

因此，阴阳爻中的气数周期蕴含着中华古人从立竿测影到用数学方法观测太阳运动规律的实践活动。

　　六十甲子表，是以十天干、十二地支为基础产生的六十周期表。

六十是十数与十二数的最小公倍数。

六十甲子表不仅体现了古代先民的数学智慧，而且天干、地支同样蕴含着古代先民的天文历法实践。

十天干是的在对太阳四时运动变化观察中形成的，其中包含的五行观念，更是先民对天地阴阳变化规律的认识。

十二地支不仅包含着古代先民所建立的北斗授时和斗杓建月的重大历法实践成就，而且还包含着日月在二十八宿座标体系中的十二辰会等，这些在数千年间进行的天文历法实践和成就。

　　由此，可见阴阳爻的数理中包含的气数周期、六十甲子周期中，还蕴含着中华先民长期的天文历法实践和成就。

六、揭示阴阳爻中数学数理的重大意义

　　阴阳爻是组成《周易》八卦、六十四卦符号体系的基本因子。

揭示并认识阴阳爻中包含的数学数理，就可以从根本上破除三千多年来笼罩在《周易》身上的神秘性和迷信之说，还其一个古代科学的真实面貌。

（一）卦爻中的历数反映出《周易》的客观性

　　历数是日月运行和季节变化的客观反映。

《周易》卦爻中包含的历数，说明它的客观性。

　　历数是日月运行形成和产生的节气、气候变化周期的客观存在，是古人在长期的天文历法实践中产生和形成的对客观规律认识的产物。

因此，卦爻中包含的历数反映出《周易》内容的客观性。

（二）卦爻中的天文历法内容体现了《周易》的实践性

　　易卦中阴阳爻相合，在表现历数的同时，又以弦数的形式连接着等式另一方勾股数，而勾股数又与圆方图形联系的一起。

中国古代的勾股圆方数学与中国古代的天文历法实践密不可分。

它是古代先民在上古时期用于度天地高厚，认识日月运行规律，而得其度数的数学工具。

易卦中的历数内容和勾股数学数理，不仅体现了中华先民数千年天文历法实践活动，也体现了《周易》一书的实践性。

　　在古人心目中，天是至高无上的，是极其神圣的。

有了天文背景作基础，古代先民也就认为自己的思想认识和宇宙观念就有了坚实的基础。

因此才在距今三千年前，产生了用数学数理构建起来的《周易》宇宙符号体系。

从易卦中包含的丰富的天文历法内容中，就足以说明《周易》是中华数千年文明的结晶，是中华先民数千年实践认识的产物。

（三）阴阳爻中的数学数理体现《周易》的科学性

　　《周易》卦爻中的数学基础，决定了它的科学性。

阴阳爻是《周易》八卦、六十四卦中的基本因子。

其符号形状和数理，都表明它们与中国古代的勾股圆方数学密切的联系在一起。

表明阴阳爻的产生和其中包含的数理，都具有勾股圆方数学的数理意义，同时也表明它们在《周易》数学中完全具有“代数”符号的作用。

因此，我们说中国古代的勾股圆方数学不但是构建《周易》符号体系的数学基础，也体现了《周易》一书本身的科学性。

（四）《周易》决不是“占筮之书”

　　从卦爻符号中蕴含的客观性、实践性和数理科学性等内容来看，《周易》绝对不是一部“占筮之书”！

它是一部总结和反映从上古到中古中华先民数千年天文历法实践的科学著作，是中华先民思想文化集大成的千古巨著，是中华古代文明的结晶。

　　《周易》形成和产生的前后，存在着用易卦中反映的自然规律和思维方法进行占筮，这是无法否认的事实。

在交通和通讯极不发达的古代，人们希望在未知中求索对自己行为结果吉凶的了解，这是完全可以理解的。

《周易》中的原理和方法被古人用于占筮，只能说这些能反映自然规律和象数思维的形式，为占筮提供了工具和方法。

所以，不能说明《周易》）就是“占筮之书”，更不能说明它们就是占筮的产物。

　　在《周易》中，易卦中的阴阳爻，其数理在阴阳相合时，必须符合气数周期（十五）和甲子周期（六十），同时又要符合勾股圆方数学数理。

这说明阴阳爻中的数理，是古人经过精心选择的。

筮法过程中产生的七、八数和三十二、二十八数虽然其和也是十五、六十数，但由于它们不符合勾股圆方数学数理，因此不能作为易卦阴阳爻固定的数理。

它们只是在占筮中起到起卦的作用，应该把它们与易卦阴阳爻相对稳定的九、六，三十六、二十四数理，严格区别开。

只有这样才能了解易卦阴阳爻及其数理的真正意义。

　　《周易》阴阳爻的数理包含的两个条件和作用，决不可能是由占筮产生的，相反它必然是先民为了表现天文历法实践和历数而特别精心设计安排的。

这也是《周易》一书中存在客观性、实践性和数理科学性的根本原因。

不能因为历史上存在着用易卦方法进行占筮的事实，更不能因为古代有“占筮之书”的说法，就把《周易》永远说成是“占筮之书”。

“占筮之书”之说，不符合《周易》中数学数理表现出来的历数等科学含义，应予以推翻。

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　尚惠民

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2008年12月5日于洛阳

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　电话：

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　　（本文是在《易源探赜》一书的基础上，对《周易》阴阳爻符号产生和其包含数学数理进行的进一步解读。

关于《易源探赜》一书，2008年10月已由解放军外语音像出版社出版。

有关事宜已经委托洛阳天之缘信息咨询服务有限公司处理。

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