几何画板教案.docx
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几何画板教案
第一章：
用工具框作图
通过本章，你应
熟练使用绘图工具作“点”、“线”、“圆”
学会在几何对象上画“点”、“线”、“圆”
学会用绘图工具构造交点、等圆、直角等的构造技巧
）
学会“点”、“线”、“圆”的标签的显示和隐藏
理解用几何画板绘图应首先考虑对象间的几何关系
第一节几何画板的启动和绘图工具的介绍
画特殊的线：
单击【直尺工具】，按住Shift键拖动鼠标。
~
画交点：
单击【选择箭头工具】，然后拖动鼠标将光标移动到交点处（光标由
变成横向
，状态栏显示的是“点击构造交点”）单击一下，就会出现交点。
也可通过画点工具在交点处单击。
给对象加标签（标签即对象的名称）：
使用【文本工具】单击对象，可以显示或隐藏对象的标签
修改对象的标签：
使用【选择箭头工具】或【文本工具】右击对象，从快捷菜单中选择相应的内容（如：
点的标签…，线段的标签…）
移动标签位置：
使用【选择箭头工具】或【文本工具】指向标签，当其形状变为手型时拖动标签
例1：
绘制圆、线段、射线、直线、水平、垂直及450角的线、交点，修改点的标签、圆内接三角形、直角三角形
[
参数设置：
通过执行“编辑/参数选项”命令可设置默认参数，如点的标签的设置：
移动对象：
使用【选择箭头工具】拖动选择对象，然后拖动鼠标
例2：
等腰三角形（画法一）
制作结果拖动三角形的顶点，三角形形状和大小会发生改变，但始终是等腰三角形，这就是几何的不变规律
|
要点思路利用“同圆半径相等”来构造等腰
三、操作步骤
1、打开几何画板，建立新绘图
2、画圆
\
3、画三角形单击【直尺工具】，移动光标到圆周上的点处（即画圆时的终点，此时点会变淡蓝色），单击并按住鼠标向右移动到圆周上松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左上方移动到圆圆心处松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左下方移动到起点处松开鼠标。
4、隐藏圆按“Esc”键（取消画线段状态）单击圆周后，按“Ctrl+H”
5、将该文件保存为“等腰三角形”
例3：
线段的垂直平分线
；
一、制作结果如图所示，无论你怎样拖动线段，竖直的线为水平线段的垂直平分线
二、要点思路学会使用【直尺工具】画线段和直线，学会等圆的构造技巧。
操作步骤
^
1、打开几何画板，建立新绘图，画线段。
2、画等圆单击【圆规工具】，然后拖动鼠标，将光标移动到画板线段的左端点单击一下按住并拖动鼠标到线段的右端点，松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左拖动到起点（即开始构造圆的起点）松开鼠标。
3、画直线选择【直线工具】，移动光标到两圆相交处单击并按住鼠标拖动到另一个两圆相交处单击后松开鼠标。
（光标到两圆相交处，两圆会同时变为淡蓝色）
4、隐藏两圆及交点按“Esc”键，取消画线段状态，单击圆周和交点后，按“Ctrl+H”
5、保存文件将该文件保存为“垂直平分线.gsp”
~
你能否由上述作法联想到等边三角形的作法
拓展：
等边三角形的画法
（一）
要点思路学会等圆的构造方法，使用“同圆半径相等”构造等边
二、操作步骤
。
1、打开几何画板，建立新绘图
2、画等圆单击【圆规工具】，然后拖动鼠标，将光标移动到画板窗口中单击一下按住并拖动鼠标到另一位置，松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左拖动到起点（即开始构造圆的起点）松开鼠标。
3、画三角形在画线段时，光标移到两圆相交处，两圆同时变淡蓝色才可单击鼠标
4、隐藏两圆按“Esc”键，取消画线段状态，单击圆周后，按“Ctrl+H”
将该文件保存为“等边三角形”
—
例4：
直角三角形（画法一）
一、制作结果拖动左边和上边的点可改变三角形的大小和形状，但始终是直角三角形。
拖动右边的点和三边可改变直角三角形的位置
:
二、要点思路学会使用【画射线工具】；使用【选择工具】画交点；在圆上画线段；搞清楚画直角的原理是：
直径所对的圆周角是直角
三、操作步骤
1、打开几何画板，建立新绘图
2、画射线：
移动光标到【直尺工具】上，按住鼠标不放，待【直尺工具】展开后，不要松开鼠标，继续移动光标到射线工具上，松开鼠标，直尺工具变为
。
然后在画板绘图区单击鼠标并按住鼠标拖动，到适当位置松开，就画出一条射线，如下图
3、画圆及射线的交点：
移动光标到射线和圆的交点处，单击。
注意：
光标到射线和圆的交点处，射线和圆都会变为淡蓝色，状态提示栏的提示是：
“单击构造交点”
4、画直角边单击【直尺工具】，移动光标到射线的端点处（端点会变淡蓝色）单击并按住鼠标向右上移动到圆周上松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向右下方移动到圆与射线的交点处松开鼠标。
！
5、隐藏射线和圆及圆心连续单击圆、圆心、射线后按快捷键“Ctrl+H”
6、画斜边单击【直尺工具】，移动光标到左边点处单击并按住鼠标向右移动到右边点处松开鼠标。
可能你会说，怎么这么繁，为什么不直接用【直尺工具】画一个直角三角形，但这样画出的直角三角形，由于没有定义几何关系，拖动任一顶点和边，不能保证它始终是直角三角形。
;
7、将该文件保存为“直角三角形.gsp”
从以上几个实例不知你是否意识到：
1）用几何画板绘制几何图形，首先得考虑对象间的几何关系，不是基本元素（点、线、圆）的简单堆积。
2）点不仅可作在画板的空白处，也可以作在几何对象（除“内部”外）上。
线段和圆的起点和终点也如此，即不仅可作在画板的空白处，也可以作在几何对象上，即构造“点”与“线”的几何关系
3）【选择箭头工具】不仅用于选择，还可用来构造交点
：
4）在画点（或画圆、、直线、线段、射线）时，光标移到几何对象（点和线）处，几何对象会变为淡蓝色，此时单击鼠标才能保证“点”、“点”重合，“点”在“线”上
5）对于绘制图形的辅助线，一般情况下不能删除，要不然相关对象都被删除了。
只能选定按快捷键“Ctrl+H”隐藏
第三节：
对象的选取、删除、拖动
前面的叙述已涉及到对象的选取、拖动。
几何画板虽然是windows软件，但它的有些选择对象的选择方式，又与一般的windows绘图软件又不同，希望你在学习过程中能意识和注意到这一点。
也希望通过本节的讲解，你对此有比较系统全面的了解
一、选择
~
在进行所有选择（或不选择）之前，需要先单击画板工具箱中的【选择箭头工具】，使鼠标处于选择箭头状态。
二、删除
删除就是把对象（点、线或圆）从屏幕中清除出去。
方法是：
先选中要删除的对象，然后再选择“编辑”菜单中的“清除”项，或按键盘上的“Delete”键。
请注意，这时与该对象有关的所有对象均会被删除，和一般的windows软件又不同，和数学思想倒很相近，“皮之不存，毛将附焉”。
第二章：
用构造菜单作图
第一节：
点的作法
*
几何画板的点作法分为三类：
对象上的点、中点、交点。
操作方法均是先选择要操作的一个或多个对象（注意不能选择无关的对象，如刚制作好的点是处于选中状态），然后执行“构造”菜单中的相对命令。
这里的对象是可以是“线（线段、射线、直线、圆、弧）”、“内部”、“函数图像”等，但不能是“点”，点上当然不能再构造点。
这是一个动态的菜单，选取的对象是“线段”，这时菜单显示的是“线段上的点”，选取的对象是“轨迹”，这时菜单显示的是“轨迹上的点”……。
击两线相交处，即得交点。
你不妨练习一下：
￥
例1：
画三角形的重心（1、画出一个三角形；2、画出三角形的中线；3、用鼠标直接点击中线相交处，得重心，即右图所示，这样作是不是更快捷）
第二节：
直线型的构造
一、线段、直线、射线的构造
'
直接使用相关工具或使用构造菜单。
操作方法：
选择直线上的两点，然后使用构造菜单中的相关命令。
例2：
快速画中点四边形
作法：
（1）画四边形：
先画四个点，使用选择工具按顺序选择这四个点，执行“构造”菜单中的“线段”命令
（2）构造四边形的四个中点：
选择四边形的四条边，然后执行“构造”菜单中的“中点”命令
`
（3）构造中点四边形：
使用选择工具按顺序选择四个中点，执行“构造”菜单中的“线段”命令
二、平行线或垂线的构造
选定点和线（可以选定多个点和多条线段）单击“构造”菜单中的“平行线”“垂线”命令
例3：
画平行四边形
作法：
/
（1）用画线工具画出平行四边形的邻边，并用标签工具标上字母。
（2）仅选取点A和线段BC，单击菜单命令：
构造→平行线（E），画出过A点且与线段BC平行的直线；同样画出另一条过点C且与线段AB平行的直线；在两条直线的相交处单击一下（注意：
在选择状态下）得交点。
（3）隐藏直线：
选取两条直线，单击菜单命令：
显示→隐藏平行线（注意：
可以使用快捷键：
Ctrl＋H）
（4）连接AD和CD（可以用画线工具或菜单命令）
例4：
三角形的高
作法：
1、画三角形ABC
2、作垂线：
仅选定点A和线段BC，单击菜单命令：
【构造】→【垂线（D）】就画出了过A点且垂直BC的直线；单击垂线和线段BC的交点处，得垂足点D
3、隐藏垂线：
选定垂线后，按快捷键Ctrl+H
4、连接AD
!
例5：
直角三角形的画法
（1）画线段AB并在选择状态下，拖出一个框，选中点A和线段AB
（2）单击菜单命令：
【构造】→【垂线（D）】，
（3）作斜边：
在画线段的状态下，对准B点单击，松开左键，移动光标到垂线单击。
（4）隐藏垂线：
选中垂线，按快捷键“Ctrl+H”
[
（5）连接AC
三、角平分线的构造
（1）用画线工具画一角
（2）依次选择边、角点、边
（3）执行“构造/角平分线”命令
*
例6：
作出三角形的内心
第三节：
圆型线的构造（圆、圆弧）
一、圆的绘制
1，选定两点（有顺序），单击菜单命令“构造”→“以圆心和圆周上的点绘圆”就可以构造一个圆，圆心为第一个选定的点，半径为选定两点的距离。
和“画圆工具”等效。
@
2，选定点和线段后，单击菜单命令“构造”→“以圆心和半径绘圆”就可以构造一个圆，圆心为选定点，半径为选定的线段的长度。
3，等圆的画法：
选定多点和一条线段（没有顺序）：
选定多点和线段后，单击菜单命令“构造”→“以圆心和半径绘圆”就可以构造多个等圆，圆心分别为选定点，半径为选定的线段的长度。
4，同心圆的画法：
选定一点和多条线段（没有顺序）：
选定一点和多条线段后，单击菜单命令“构造”→“以圆心和半径绘圆”就可以构造多个同心圆，圆心为选定点，半径分别为选定的线段的长度。
注意：
上述选定作为半径的线段可以用“带有长度单位的数值”代替，即半径可以是线段，也可以是带有长度单位的数值。
*
二、弧的绘制：
1，选定一个圆和圆上的两点（点有顺序）：
选定一个圆和圆上的两点后，单击菜单“构造”→“圆上的弧”，就可以绘出按逆时针方向从选定的第一点和第二点之间的弧。
2，选定特殊的三点（第一点为另两点为端点的线段的中垂线上的点）：
选定三点后，单击菜单“构造”→“圆上的弧”，就可以绘出按逆时针方向从选定的第二点和第三点之间的弧，第一个点为弧所在圆的圆心。
3，选定不在同一直线上的三点：
选定三点后，单击菜单“构造”→“过三点的弧”，就可以绘出按逆时针方向从选定的第一点过第二点到第三点之间的弧。
第四节：
图形内部的构造
、
1，多边形内部的构造：
选定三点或三点以上后，就可构造多边形内部了，如三角形内部的构造：
选定三点后，单击菜单“构造”→“三角形的内部”，就可以绘出由这三点决定的三角形的内部。
2，选定一个圆（或几个圆）：
选定一个圆（或几个圆）后，单击菜单“构造”→“圆内部”，就可以绘出这个圆的内部。
3，扇形（弓形）内部的构造：
选定一段弧（或几段弧）：
选定一段弧（或几段弧）后，单击菜单“构造”→“弧内部”→“扇形内部”或单击菜单“构造”→“弧内部”→“弓形内部”，就可以绘出这段弧所对扇形或弓形的内部。
说明：
这是一个动态的菜单，如选定的是四点，则此菜单显示的是“四边形的内部”；如选定的是五点，则此菜单显示的是“五边形的内部”；如果选定的是圆，则此菜单显示的是“圆内部”；如果选定的是弧，则此菜单显示的是“弧内部”。
;
注意：
“内部”的快捷键是“Ctrl+P”，但“弓形内部”没有快捷键。
第五节点的轨迹的构造
例1：
P为圆上任意一点，O为圆外的点，当P在圆上运动时，线段OP中点M的轨迹是什么
操作步骤：
1，作基本图形。
作一圆，在圆上取一点P，在圆外作一点O，连接OP，构造其中点M
2，制作P点的动画。
选择点P，执行“编辑/操作类按钮/动画”命令制作点P的动画按钮
@
3，追踪点M的轨迹。
选择点M，执行“显示/追踪中点”命令
4，单击按钮，查看结果，按“Esc”就能清除轨迹
5，构造点M的轨迹：
选定点P和点M（没有先后），单击菜单命令：
【构造】→【轨迹（U）】
构造轨迹的前提条件是：
选定两点，一点是在一条路径上的自由点和能够跟随此点运动的点即被动点。
路径可以是任何线（线段、直线、射线）轨迹、函数图像。
例2：
椭圆的画法
（一）
）
操作步骤：
1，画圆，圆心为A，在圆周上画一点D，在圆内画一点C，连结AD，CD
2，作线段CD的垂直平分线，作垂直平分线和直线AD的交点E。
3，构造轨迹：
选定E点和D点，单击菜单命令：
【构造】→【轨迹（U）】
4，隐藏不必要对象选定圆、两直线、点E、D、B
。
例3 画出一条直线绕一点旋转的轨迹
操作步骤：
１，画一圆，圆心为A，在圆上画一点C，作线段AC，作过C点垂直于AC的垂线
２，选择垂线，执行“显示/追踪直线”命令；
3，隐藏圆、线段AC、点B，执行“显示/显示运动控制台”
4，选择C点，单击运动控制台上的播放按钮，修改速度
]
5，按Esc键取消追踪结果，选择点C及垂线，执行【构造】→【轨迹（U）】
例4 作过两点的圆系，即过两点的所有圆
操作步骤：
１，作两点Ａ、Ｂ，过此两点的线段，线段的中点，中垂线
２，在垂线上取一点，作以该点为圆心，Ａ为圆上点的圆
３，选择圆，执行“显示/追踪圆”命令；
"
４，选择圆心，建立动画
例5 探索线段ＣＤ的端点在圆上运动时其中点及中垂线的轨迹
操作步骤：
１，作一圆，作一线段ＣＤ，Ｃ为圆上的一点，Ｄ为圆外的点
２，作ＣＤ的中点及中垂线
３，选择中点，执行“显示/追踪点”命令；选择中垂线，执行“显示/追踪垂线”命令；
）
４，建立点Ｃ的动画：
选择点Ｃ，通过“编辑/操作类按钮/动画”命令建立动画。
综合实例：
一、正方形的画法
（一）
二、菱形的画法
（一）
【
例6 画双曲线
操作步骤：
1，作一圆，圆心为A
2，在圆周的水平方向上（右边）作一点C，选择点A，C，执行“构造/射线”
3，在AＣ的延长线上作一点D，过D作一线段DＥ，其中E为圆的下半部分上的一点
【
4，作DE的中点F，过F作DE的垂线
4，选择点E、A，作一直线交ＥＦ的中垂线于G
6，依次选择E、G，执行“构造/轨迹”命令
第三章用变换菜单作图
在几何画板中，研究的是图形的演变。
我们能对图形进行平移、旋转、缩放、反射、迭代等变换。
一、旋转对象
一个或一个以上图形以某一点为标记中心作旋转变换。
点B以点A为标记中心旋转α度，即固定线段AB的端点A，然后线段AB逆时针旋转α度得到线段AB’，则B’为B点以A为标记中心旋转α度后得到的点，图形的旋转是先旋转图上的各点，然后再连结得到旋转后的图形。
例1：
画一个正方形
作图思路：
将一线段以其左端点为中心旋转90度
操作步骤：
》
1、画线段AB。
2、用选择工具双击点A，点A被标记为中心。
3、用选择工具选取点B和线段AB，由菜单“变换”---“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中以固定角度旋转90度
4、双击点B，标记新的中心。
5、用选择工具选取点A和线段AB，由菜单“变换”---“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中以固定角度旋转-90度
《
6、连结上方两个顶点得第四边。
练习：
用旋转交换的方法画一个正三角形，并与前面用工具画正三角形的方法比较，你觉得哪种方法简便些
例2 六角形
1，通过旋转的方法作一角度为60度的菱形：
作一线段AB，双击A点，选择B点，执行“变换/旋转”命令，旋转60度得到点C，以其Ｃ点为中心将B点旋转60得到点D
2，以A为标记中心，将菱形旋转60度，重复旋转5次。
）
例3 .四瓣花
将半圆以圆上中点为标记中心旋转90度
1，作半圆：
作一水平线段DE，及线段上的中点F，以中点F为中心点将右边点E旋转90度得到点E'，选择Ｅ、Ｅ'、Ｄ通过构造菜单作一过三点的弧
2，以Ｅ'为中心点，将弧及直径旋转90度
3，反复旋转３次
。
例4 立体图
1，作一菱形ABA'B'，
2，以菱形左上角的顶点B'为中心将菱形旋转120度，旋转2次
3，选择菱形的顶点，构造四边形内部，然后通过显示菜单中的颜色命令设置四边形内部的颜色
4，对另两个四边形重复３的操作。
:
二、平移对象
平移是指：
对于两个几何图形，如果在它们的所有点与点之间可以建立起一一对应关系，并且以一个图形上任一点为起点，另一个图形上的对应点为终点作向量，所得的一切向量都彼此相等，那么其中一个图形到另一个图形的变换叫做平移。
平移是一个保距变换，又是一个保角变换。
几何画板中，平移可以按三大类：
1，极坐标下的平移
：
选择平移对象后，通过“变换/平移”命令打开平移对话框，设置平移的角度和距离
2，直角坐标下的平移
在平移对话框中设置的是水平与垂直方向上的改变量
3，标记平移
先标记好向量，然后按向量的方向和距离平移
:
例1画一个半径为
cm的圆
操作思路：
将一个点在水平与垂直方向上都平移1cm生成一个长为
cm的线段，然后以圆心和半径绘圆
例2全等三角形
将一个三角形按水平方向平移
例3 平行四边形的画法
<
将其中一条边标记为向量，对另一顶点按标记平移
例4 矩形
三、缩放对象
缩放是指对象关于“标记的中心”按固定的比例或“标记的比例”进行位似变换。
1，按固定比例缩放
.
先设定标记中心（双击该点），然后选择缩放的对象，再执行“变换/缩放”命令
2，按标记比缩放
（1）依次选择作为分子与分母的线段，执行菜单“变换/标记线段比例”
（2）选择缩放的对象，再执行“变换/缩放”命令
例1相似三角形
（
四、反射对象
反射是指将选中的对象按标记的镜面（即对称轴，可以是直线、射线或线段）构造轴对称关系。
但并不是所有的对象都可以反射，例如轨迹就不能反射。
反射命令不会弹出对话框，反射前必须标记镜面，否则即使能够进行反射，得到的结果一般不会是你想要的。
例1轴对称
三角形关于对称轴的反射对象
五、迭代与深度迭代
问题：
我们用旋转变换不难画出正多边形，但边数太多，如要画正十七边型，如图所示，你不嫌繁的话，得用旋转变换16次，那么有没有简单的方法呢，有，那就是“迭代”
例1、正十七边形的画法
操作步骤：
1、画两个点，让B点围绕点A旋转
得
，连接
。
2、选定B点，单击菜单“变换”→“迭代”，出现下面对话框
3、单击
，对话框变为上图，注意到“迭代规则数：
3”，图形在原有的基础上，增加了3条线段。
（想一想，应让计算机重复画几条线段）
4、重复按小键盘上的“＋”键，直到迭代规则数变为16（也就是要让计算机重复画16条），注意工作区中图形的变化
5、单击“迭代”按钮，正十七边形构造完毕，如上图：
迭代变换使用的前提条件：
1）选定一个（或几个）自由的点，即平面上任一点，或线（直线、线段、射线、圆、轨迹）上的任一点，如上例的B点。
2）由选定的点产生的目标点（不要选定，出现迭代对话框后，再选），如线段的中点，或由选定点经过变换产生的点
当然迭代的对象还有参数，请看进阶篇：
再说迭代
迭代的深度（即重复的次数），可用参数控制，即深度迭代，请看例2
例2、正n边形的画法
运行结果：
如图，选定参数n，按小键盘上的“＋”或“－”键，可改变n的值，从而改变多边形的边数，即得到正n边形（这在黑板上是画不出的）。
基本思路：
1、画两个点，标记其中一个点作为正n边形的中心。
另一个点为最基本的第一顶点；
2、“新建参数”n，用3600除以n，得正n边形的圆心角；
3、选取圆心角后“标记角度”，让第一顶点绕中心按“标记的角度”旋转,得第二顶点；
4、选取参数n、进行第一顶点到第二顶点的“深度迭代”；
5、选取参数n，按小键盘上的“+、－”键可以改变参数，得到动态的正n边形。
操作步骤：
一、准备工作（确定旋转角的度数和迭代的深度）
按“alt＋＝”键，调出计算器，输入“360°÷”（“°”由单位按钮输入）
单击计算器的“数值”按钮
单击“新建参数”按钮
将新建参数的对话框改为下图
单击新建参数的对话框的“确定按钮”后，单击计算器上的“确定按钮”，再调出计算器，计算n－1。
画出点A和点B，如下图所示
6、让B点，绕点A旋转“
”，得
，连接
。
如下图所示：
二、深度迭代
1、同时选取点B、“n－1＝5”；
2、按住Shift键不放，单击菜单“变换”→“深度迭代”弹出如图5的迭代对话框；
图5
说明：
此步如不按住Shift键，菜单中的命令项是“迭代”，几何画板中部分菜单项会根据按键、工具按钮的选取状态而改变。
本例中为了能动态地构造正n边形，必须用深度迭代。
3、单击工作区中的点
，使图5中“初象”下面框中的问号变成
，单对话框中的“迭代”按钮。
4、本例至此基本完成，选取工作区中的参数n，用小键盘上的“+、－”键可以改变n的大小。
说明：
参数可以减少到2以下甚至负数，这时已不能构成多边形，在进阶实例中，大家会学习到控制参数大于或等于3的技巧。
图6为当n=6时的图形。
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