第3章一元方程3.docx
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第3章一元方程3
的两根都是整数，求实数点的值．
解析由于是实数，所以不能利用判别式来求解．先求出方程的两根，，由于、是整数，所以，从上面两式中消去，便得关于、的不定方程，解出、，便能求得．原方程为
，
，
所以，．
，．
消去，得
，
，
，
故
解得（舍去），
从而，，．
所以，所求的，，．
3．5．7★★设是质数，并使得方程有两个整数根，求的值．
解析因为方程的根呈整数，所以其判别式必是完全平方数．
因是质数，必整除，于是整除．
因此，5或29．
当时，则有，不是一个完全平方数．
当时，则有，不是一个完全平方数．
当时，则有．
所以．
（此时，．）
3.5.8★★★已知、是正整数，试问关于的方程是否有两个整数解？
如果
有，请把它们求出来；如果没有，请给予证明．
解析不妨设，设方程的两个整数根为、，则有
所以，
．
因为、都是正整数，所以、均是正整数，于是，，，，，所以
或
⑴当时，由、是正整数，且，可得，，此时，一元二次方
程为，它的两个根为，．
⑵当时，可得，，此时，一元二次方程为，无整数解．
综上所述，当且仅当，时，题设方程有整数解，它的两个整数解为，．
3.5.9★★★已知、都是质数，且使得关于的二次方程
至少有一个正整数根，求所有的质数对．
解析由方程两根的和为可知，若方程有一个根为整数，则另一个根也是整数．由方程两根的积为，知方程的另一个根也是正整数．
设方程的两个正整数根分别为、，由根与系数的关系得
，①
．②
由②得，、有如下几种可能的情况：
所以，，，，，代入①．
当时，，而，故此时无解．
当时，，所以
，
因为、都是质数，只可能
所以．
当时，，所以，不可能．
当时，，所以，于是，
．
综上所述，满足条件的质数对或．
3.5.10★★★已知关于的一元二次方程
的两个根均为整数，求所有满足条件的实数的值．
解析原方程可化为，因为此方程是关于的一元二次方程，所以，．于是
，．
从上画两式中消去，得
，
于是．
因为、均为整数，所以
故，，，，，，0，3．显然，又
，
将，，，，，，3分别代入上式得
式得
，，，，，15，3．
3.5.11★★★设关于的二次方程的两根都是整数．求满足条
件的所有实数是的值．
解析原方程式可变形为：
，
．
因，
则，
．
于是，，．
消去，得
，
从而，．
由于、都是整数，则
即
故，3，．
经检验，，3，满足题意．
3.5.12★★已知关于的一元二次方程无相异两实根，则满
足条件的有序正整数组有多少组？
解析因为
无相异两实根，所以，判别式
，
化简为，所以，因为、为正整数，所以，所以，故．
当时，，故，所以符合条件的有序正整数对共有7组；
当时，，故，所以符合条件的有序正整数对共有4组；
当时，，故，所以符合条件的有序正整数对共有3组；
当时，，故，所以符合条件的有序正整数对共有1组；
当时，，故，所以符合条件的有序正整数对共有1组；
综上所述，符合条件的有序正整数组共有（组）．
3.5.13★★★若正整数、是关于的方程的两个根，求
、的值．
解析由条件得：
，①
，②
由①得，由、为正整数，则
’
所以，③
由②，③得，④
将④写作，⑤
而．
由于、为正整数，则与皆不能取到与，因此对于⑤式，只有如下四种可能的情况，
（i）（ii）
（iii）（iv）
分别解得与
经验证，只有，这一组解能满足①、②式，这时原方程成为．
因此本题的解为，．
3.5.14★★★、为整数，并且是关于的方程的两个根，求、
的值．
解析据
可知，，所以、为正整数．
由②，，即
．③
而，对于正整数、，与皆不能取到与．
故由①，只有四种可能的情形：
（i）（ii）,
（iii）（iv）
由此
代入①，只有，符合条件．
这时原方程化为，它显然有两个根13与7．
因此本题只有一解，．
3.5.15★★、为正整数，，若关于的方程有正整数解，求的最小值．
解析设方程的两根为、，则
①
则因、中有一个为正整数，另一个也必是正整数，不妨设，由①得
，
故．②
由于59为质数，则，中必有一个是59的倍数，在式中，若取，，则
，即．
若取，则，这时，因此的最小值为95．
3.5.16★★是否存在整数，使得关于的方程
①
有整数解？
解析不存在满足条件的整数．
事实上，若是满足条件的整数，并设是①的整数根，则由平方数或，于是，1或，这与矛盾．
评注利用整数理论来处理整系数一元二次方程的整数根问题是不易考虑到的想法，解题中往往能出
奇制胜．
3.5.17★★求所有的正整数，使得以表示为两个连续正整数的乘积．
解析设正整数、满足
，
则上述关于的一元二次方程有正整数解，于是
是一个完全平方数．
设为非负整数，且，得，所以
注意到，与有相同的奇偶性，可知或．进而，求得或1．
综上，满足条件的正整数为4或．
评注在利用判别式处理一元二次方程整数解问题时，经常会涉及求一个二元二次不定方程整数解．
3.5.18★★★是否存在整数、、，使得方程
和
都有两个整数根？
解析不存在这样的整数．
事实上，若存在满足条件的、、，我们不妨设为偶数（否则用代替讨论，当然，此时应将两个方程都乘）．
由于有两个整数根，故和都是整数（这一点由韦达定理可知），所以和都为偶数（这里用到奇数不能被偶数整除）．这表明方程
的系数都为奇数，设其两个整数根为、．则为奇数，于是、都为奇数，从而为偶数，这要求为偶数．与，，都为奇数矛盾．
评注这里从的奇偶性出发讨论是关键，在运用韦达定理后，整个问题变为一道奇偶分析问题．
3.5.19★★★已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根．
解析观察易知，方程有一个整数根，将方程的左边分解因式，得
．
因为是正整数，所以关于的方程
①
的判别式，它一定有两个不同的实数根．
而原方程的根都是整数，所以方程①的根都是整数，因此它的判别式应该是一
个完全平方数．
设（其中为非负整数），则
，即
．
显然与的奇偶性相同，且，而，所以
或或
解得或或
而是正整数，所以只可能
或
当时，方程⑴，它的两根分别为和．此时原方程的三个根为1、
和．
当时，方程⑴即，它的两根分别为和．此时原方程的三个根为1、
和．
3.5.20★★★★求所有的正整数组，使得如下三个关于的二次方程
，
，
的根都是正整数．
解析设方程的两个根为、，且；的两个根为、，且；的两个根为、，且．于是由韦达定理知
，，
，，
，．
所以
，
故，
．①
由于、都是正整数，由知，、中至少有一个为偶数，从而
，
同理，
．
结合①式便得
，
从而，，进而便得
．
当对，三个方程都为，正整数根为1和2．
所以，所求的正整数组．
3.5.21★★★证明：
存在无穷多对正整数（，），满足方程
．
解析1原方程可以写为
，
于是
是完全平方数．
设，其中是任意一个正整数，则．
于是
，或．
所以，存在无穷多对正整数（其中是正整数）满足题设方程．
解析2原方程可写为
，
所以可设
（是正整数），①
于是．②
①②得
．
令（是任意正整数），则．
于是
．
所以，存在无穷多对正整数（其中是任意正垫数）满足题设方程．
3.6列方程解应用题
3.6.1★★甲、乙二人用相同的速度，沿着同一条道路从地到地，甲先出发，当甲所行的路程是乙
的2倍时，甲又行了5千米到达地，然后立即返回，行了全程的时，与乙还相距3千米．那么、两地相距多少千米？
解析该题运动过程看似比较复杂，但抓住甲、乙速度相同这一条件，则二者在相同的时间内，行驶的路程相同，可将问题理清简化．
设、两地相距千米，则当甲所行的路程是乙的2倍时，甲行的路程为千米，下面计算乙
行驶的路程．
由于甲、乙速度相同，故当甲行了千米时，乙也行驶了相同的距离，故有，所以
，
依题意得方程
，
解得．所以、两地相距22千米．
3.6.2★轮船从城到城需行5昼夜，而从城到城需行7昼夜，现由城放一木筏于水中漂流至城（木筏无任何动力），途中需多少昼夜？
解析设、间距离为，船顺水时的速度为，船逆水时的速度为，则水速为，故有途中所需时间为昼夜．
3.6.3★一艘轮船从港到港顺水航行需6小时，从港到港逆水航行需8小时，若在静水条件
下，从港到港需多少小时？
解析设船在静水条件下，从港到港需小时，两港之间的距离为千米，由
“船的顺流速度船的静水速度船的静水速度船的逆水速度”，
得，
．
所以，从港到港需小时．
3.6.4★辆汽车在上坡路上行驶的速度是每小时40千米，在下坡路上行驶的速度是每小时50千米，在平路上行驶的速度是每小时45千米，某日这辆汽车从甲地开往乙地，先是用了的时间走上坡路，然后用了的时间走下坡路，最后用了的时间走平路．已知汽车从乙地按原路返回甲地时，比从甲
地开往乙地所用时间多15务钟，那么甲、乙两地的距离是多少？
解析设这辆汽车从甲地开往乙地共需小时，依题意得
，
解得（小时），所以甲、乙两地距离为
（千米）．
3.6.5★★汽车将甲镇的日用品运到乙村，要经过上坡路20公里，下坡路14公里，平路5公里，然后再将乙村的粮食运往甲镇，汽车往返所用的时间相差10分钟，已知汽车在上坡时、下坡时、走平路时的平均速度之比为3:
6:
5，求
⑴汽车在上坡时、下坡时、走平路时的各个平均速度；
⑵自甲镇到乙村及乙村到甲镇汽车各需要的时间．
解析按题意，可设汽车在上坡时、下坡时、走平路时的平均速度顺次是公里／时、公里／时、公里／时（其中），于是有
汽车从甲镇到乙村所用的时间
．
汽车从乙村到甲镇所用的时间
．
按题意易知，所以，解得．
⑴汽车在上坡时、下坡时、走平路时的平均速度顺次是18公里／时、36公里／时、30公里／时．
⑵汽车从甲镇到乙村所需时间（小时），汽车从乙村到甲镇所需时间（小时）．
3.6.6★★甲乙两人在一圆形跑道上跑步，甲用40秒钟就能跑完一圈，乙反向跑每15秒钟和甲相遇一
次，求乙跑完一圈所需时间．
解析欲求乙跑完一圈所需的时间，就必须知道他的速度米／秒，因此选择作辅助未知数．设乙跑完一圈需秒，乙跑步的速度为米／秒，由题意，一圈的总路程为米，甲的速度为米／秒，于是得
，
因为，所以
，
解得．
故乙跑完一圈需要24秒．
评注这里是设而不求的辅助未知数．
3.6.7★★旅行者从下午3时步行到晚上8时，他先走平路，然后上山，到达山顶后就按原路下山，再走平路返回出发地，若他走平路每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米，问旅行者一共行多少千米？
解析设旅行者所走的全程为千米，山路长为千米，则他上山需小时，下山需小时，走平路来回需小时，依题意，有方程
，
所以
．
故．
所以，旅行者一共行了20千米．
评注这里的是设而不求的未知数，它在解题过程中消去了．
3.6.8★★在四点到五点之间，时针和分针在什么时刻重合？
解析设从四点开始，分钟后两针重合．如图所示，在四点整时，时针指向4，分针指向12，它
们之间的夹角是．根据常识，每60分钟，时针转动一格，即转了，那么一分钟转了；每5分钟，分针转动一格，即转了，那么1分钟转了．
如果时针和分针重合，那么，解得．
所以，时针和分针在4点分时重合．
3.6.9★某城市按以下规定收取煤气费：
⑴每月所用煤气按整立方米数计算；⑵若每月用煤气不超过60立方米，按每立方米0.8元收费，若超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，已知某户人家某月昀煤气费平均每立方米0.88元，则这户人家需要交煤气费（）．
A．60元B．66元C．70元D．75元
解析由于，所以这户人家用的煤气超过60立方米，设用了立方米，则
，
所以，（元）．
故选B．
3.6.10★★某寺院有甲、乙、丙三口铜钟，甲钟每4秒敲响一声，乙钟每5秒敲响一声，丙钟每6秒敲响一声，新年到来时，三口钟同时开始敲响且同时停敲，某人共听到365声钟响，若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别为次、次、次，求的值．
解析设敲钟持续的时间为秒，则在此期间
甲钟敲响的次数为：
；
乙钟敲响的次数为：
；
丙钟敲响的次数为：
；
甲与乙钟同时敲响的次数为：
；
甲与丙钟同时敲响的次数为：
；
乙与丙钟同时敲响的次数为：
；
甲、乙、丙钟同时敲响的次数为：
．
依题意得：
3，
因此，，代入、、的表达式得
．
，
．
所以，．
3.6.11★★准备将若干个零件放入盒子里，盒子至少10个，每个盒子中的零件个数必须相等，如果每
个盒子放12个，最后剩下一个；如果增加3个盒子，便可将零件全部放完．问原有多少个盒子？
解析设原有个盒子，则零件数是．增加3个盒子，盒子数是，每个盒子的零件数是
．依题意，是整数，即
是整数，所以，35能被整除．而，所以．于是，即．
所以，原有32个盒子．
3.6.12★★我们在运动场上踢的足球大多是由许多小黑白块的皮缝合而成的．如图，若已知黑块共12块，求白块有多少块？
解析黑块呈五边形，白块呈六边形，每块黑皮的五条边分别与五块白皮的一条边缝合在一起，而每块白皮的三条边分别与三块黑皮缝合在一起．所以封闭足球表面上的12块黑皮和若干块白皮紧密相连，白皮、黑皮的边数都不会有剩余或缺少．
如果设白皮有块，那么它共有条边．在条边里，一部分是白皮与白皮交连，另一部分是白皮
与黑皮交接．显然，与黑皮相接在一起的有条边．由于已数出的黑皮共有12块，每块黑皮有5条边，所以黑皮共有条边．根据题意，得，．
因此，白皮共有20块．
3.6.13★★★从两个重量分别为12千克和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，
把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等，求所切下的合金
的重量是多少千克？
解析1设所切下的每块合金的重量为千克，重12千克的合金的含铜百分数为，重8千克的合金
的含铜百分数为，于是有
，
整理得．
因为，所以，因此．
所以，所切下的合金的重千克．
解析2设从重12千克的合金上切下的千克中含铜千克，从重8千克的合金上切下的千克中含
铜千克，则这两个合金含铜的百分数分别为和．于是有
，
整理得．
因为，所以，因此，即所切下的合金重千克．
评注在解含参数的方程时，一般情况下可以把参数消去，转化为只含有待求未知数的一般方程，也就是说应用题的解答与参数的数值无关．
3.6.14★★★设有甲、乙两个杯子，甲杯中装有10升溶液，乙杯中装有10升溶液，现在从甲杯中取出一定量的溶液，倒入乙杯并搅拌均匀，再从乙杯中取出等量的混合液倒入甲杯，测得甲杯溶液和溶液的比为5:
1，求第一次从甲杯中取出的溶液是多少升？
解析1设从甲杯取出升溶液倒入乙杯，则乙杯中溶液与溶液的比为∶10．从这混合液中取出升，其中含溶液为升，溶液为升，所以
，
化简得．即．
故第一次从甲杯中取出的溶液是2升．
解析2注意到：
⑴经过两次混合后，甲、乙两杯仍各有10升混合液，甲杯中、溶液比为5:
1，说明乙杯中、溶液比为1:
5；⑵第一次混合后乙杯中的、溶液比就是1:
5．所以，设第一次从甲杯倒入升溶液到乙杯，则在第一次倒入后得，即（升）．
故第一次从甲杯中取出的溶液是2升．
3.6.15★★★★游泳者在河中逆流而上，于桥下将水壶遗失被水冲走，继续向前游了20分钟后他发现水壶遗失，于是立即返回，在桥下游距桥千米的桥下追到水壶．求该河水流的速度．
解析设该河水流的速度为每小时千米，游泳者每小时游千米，则游泳者自桥逆流游了千米到处，在返回中用了小时，比水壶在遗失后飘流时间导小时少20分钟，因此得
，
，
，
（利用了合分比），
所以，
．
所以，水流的速度是每小时3千米．
3.6.16★★★商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个小孩嫌自动扶梯太慢，于是在行驶的自动扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒钟向上走3个梯级，结果男孩用了40秒钟，女孩用了50秒钟到达楼上，当该自动扶梯静止时，可看到的自动扶梯的梯级共有多少级？
解析设自动扶梯每秒钟上升级，由题意得
，
解得，．所以，（级）．
所以，共有100级．
3.6.17★★★在一次象棋循环比赛中，每个棋手有一半的得分是在与最后三名次的棋手交锋中获得的．
试问，这次比赛有多少人参加？
（规定每一局对弈的得分全部属于胜者或由互成和局的对手平分，负者不失分．）
解析为叙述方便，称最末三名次的棋手为“弱手”，其余为“强手”，并设一局的得分为1分，那么弱手间彼此要赛三局，他们合计取得3分，依条件，这是他们全部得分合计的一半，因此弱手对强手合计取得3分．接下来，我们采用直接设元法来做这道题目．
设这次比赛共有人参加，强手同弱手共赛局，产生同样数目的分数。
其中3分由弱手取得，其余分由强手取得．
依条件，强手对强手的得分总数亦是．
强手对强手要赛局，产生同样数目的分数．因此
，
解得，或．
而的情况应排除，因为仅有一个强手不能对自己得分．
所以，．
故这次比赛共有9人参加．
3.6.18★★四位女孩——小陈、小周、小张和小严在演唱会上组成三重唱，即每次一人退出．小严唱了
7首歌，比其他任何一个人都多．小陈唱了4首歌，比其他任何一个人都少．问：
这三人组共唱了多少
首歌？
解析小严唱得最多为7首，小陈唱得最少为4首，所以，其他二人：
小周、小张唱的歌为5或6首，设她们共唱了首歌，则或或．
因为为正整数，故，．
所以，这三人组共唱了7首歌．
3．7含绝对值的方程
3.7.1★解方程．
解析原方程可变形为
，
，
，
所以．或．即，或．
3.7.2★解方程．
解析原方程可变形为
，
所以，，即．
所以或，解得或．
因为，所以原方程的解为．
评注解这类含绝对值的方程，先把方程的一边整理为只含有绝对值符号，另一边不含有绝对值符号的方程，再根据绝对值是非负数找出隐含条件，最后判别求得的解是否满足隐含条件．
3.7.3★解方程．
解析采用零点分段法，将全体实数分成，，三段，在这三个范围内讨论．
⑴当时，原方程为
，
解得，与条件矛盾，此时无解．
⑵当时，原方程为
，
解得，满足．所以是原方程的解．
⑶当时，原方程为
，
解得，满足，所以是原方程的解．
综上所述，原方程的解为或．
3.7.4★解方程．
解析式子的几何意义是：
数轴上表示的点与点、点6的距离之和等于
8，从数轴上容易看出满足条件的在与6之间，即，解得．
3.7.5★★解方程．
解析由，可得
或．
⑴当时，
，
则，即．那么
或，
解得（不符合题意，舍去），或．
⑵当时，得
，
则，即．那么
或，
解得，或（不符合题意，舍去）．
所以原方程的解为或．
3.7.6★★已知方程有一负根，且无正根，求的取僮范围．
解析设为方程的负根，原方程为，
即，所以应有．
设方程有正根，原方程为，即，所以应有．
综上所述，若使原方程有一负根且无正根，必须．
3.7.7★★若方程只有负根，求实数的取值范围．
解析⑴当时，原方程为
．
当时，方程无解；
当时，则，所以．
⑵当时，原方程为
．
当时，方程无解；
当时，得，所以．
综上可知，若使此方程只有负根，必须
．
3.7.8★★、为有理数，且，方程
有三个不相等的解，求的值．
解析原方程可化为，即
．
⑴若与均大于0，则方程的解为
，，
当时，这4个解两两不同；当时，原方程只有两解．
⑵若与中恰有一个为0时，那么先设，方程右3个解，，；
再设，方程只有1个解．
⑶若与中有小于0的，则方程的解少于3个．
综上所述，当时此方程有三个不相等的解．
3.7.9★★已知关于的方程为：
．
⑴解这个方程；
⑵若是一个奇质数的平方，证明这个方程的解是合数．
解析⑴当时，原方程的解是的一切实数；
当时，原方程可化为
，
由，得；
由，得，矛盾．
经检验，是方程的解．
综上所述，当时，原方程的解是的一切实数；当时，原方程的解是．
⑵设，其中是奇质数，由⑴知，这时方程的解为
．
当时，是合数；
当时，设，是大于1的正整数，则
为3的倍数（且大于3），是合数，
3．8分式方程
3.8.1★解方程
．
解析令，那么原方程为
．
去分母得
，
，
所以
或．
由得，即，所以，；由，得，即，所以，．
经检验，它们都是原方程的根．
3.8.2★解方程．
解析直接通分是非常复杂的，也是不明智之举．注意到，每项都是分子为1，分母为两因式的乘积，且各分母两个因式的差是一个相同的常数．对于这一类问题，我们可采取如下裂项相消法：
方程两边先同时乘以2
．
裂项得
，
，
，
，
所以，
解得．
经检验，它们都是原方程的解．
3.8.3★★解方程
．
解析设，则原方程可化为
，
，
所以或．
当时，，，故
．
此方程无实数根，
当时，，，故
，
所以或．
经检验，，是原方程的实数根．
3.8.4★★解方程
．
解析方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为
，
，
即
，
所以
，
解得．
经检验是原方程的根．
3.8.5★★解方程
．
解析注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简，原方程变形为
，
整理得
，
去分母得
，
解得，．
经检验知，，是原方程的根．
3.8.6★★解方程．
解析令，则上式可化为
．
去分母，并整理得
，
即．
所以．
解得，，，．
经检验，它们都是原方程的解．
3.8.7★★解方程
．
解析显然，原方程可化为
．
令，则方程可化为
．
解此方程得或．
于是，或．解得．
经检验，是原方程的解．
评注形式为的公式方程，均可变形为
，
再用换元法求解．
3.8.8★★解方程
．
解析形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为
，
即．
当时，解得．
经检验，是原方程的根，且也是原方程的根．
评注使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验．
3.8.9★★★解方程．
解析方程的左边是平方和的形式，可添项后配成完全平方的形式
，
，
．
于是或．
当时，得，无实数解．
当时，得，，所以，．
经检验，它们都是原方程的解．
3.8.10★★解方程
．
解析将原主方程变形为
．
设，则原方程变为
，
解得，．
当时，；
当时，．
经检验及均是原方程的根．
评注像这类特殊类型的方程可以化成一元二次方程，因而至多有两个根，显然时，与就是所求的根．例如，方程，即，所以，．
3.8.11★★★解方程
．
解析由原方程可得
，
即．
令，则上式即
，
所以或．
于是，或．
解得，，，．
经检验，它们都是原方程的解．
3.8.12★★解方程．
解析设，则原方程为，
又根据假设可得，即
．
韦达定理可得或
解得
经
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